DES COURBES DU 8BCOND DEGRÉ
§ l*r. Transformation des Coordonnées.
ai 6. Introduction. Nous nous proposons , dans ce chapitre et les deux suivans, de faire connaître la nature et les propriétés des courbes exprimées analy tiquement par des équations du second degré * deux variables ; mais, auparavant , il est nécessaire de résoudre une question qu'on doit regarder comme une des plus importantes de la Géométrie analytique-, c'est celle de la tranformation des coordonnées. *
En jetant les jeux sur les 4q«atto&8 de la ligne droite et du cercle , considérés dans les diverses situations que ces lignes peuvent avoir par rapport a deux axes, on reconnaît qu'une même ligne peut être représentée par une équation plus ou moins simple , suivant que sa position à l'égard des axes est plus ou moins simple , e& Suivant que lea axes eux - mêmes sont rectangulaires ou obliques»
Ainsi , l'équation la plus générale de la ligne droite étant y = ax + b , celle d'une droite passant par Forigine est yj=sax, a ayant, dans l'une et l'autre équations, une acception différente, selon que les axes sont rectangulaires ou obliques.
L'équation d'une parallèle a l'an des axes est xss, ou y =6;
De même , l'équation la plus générale du cercle étant. ... « (x — p)% + (y — q)% + 2 (a; — p)(y — q) cos £ = r% celle du cercle rapporté a deux axes rectangulaires menés par son centre , est x* + y*= r*.
On conçoit donc que, lorsqu'une courbe est déjà fixée de position sur un plan par le moyen d'une équation , si l'on s'aperçoit que cette courbe est dans une situation plus simple
bfes booBDOKKiEs. aSg
|tar rapport a deux nouvelles droites que par rapport aux axes primitifs , il est bon, pour faciliter la recherche de ses propriétés , de chercher à déduire l'équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes, de l'équation de la même courbe rapportée aux premiers. Tel est l'objet qu'on se propose dans le problème de la transformation des coordonnées, lequel peut "j
s*énoncer ainsi : Étant donnée l'équation, d'une court* rapportée à deux axes quelconques* trouver V équation de la même j courbe rapportée à deux nouveaux axe$.
217. Soient AX, AT {fig. 127) deux droites par rapport Fig. 1*7. auxquelles une courbe MM'M\ .... est fixée de position , an moyen de l'équation F(x , y) s= o , et A'X', À' Y' deux nouveaux axes dont la situation est reconnue plus simple k l'égard de la courbe. Nommons xfy les coordonnées ÀP, MP d'un point quelconque M de la courbe rapportée aux premiers axes., et x\ y les nouvelles coordonnées A'P*, MP'.
Si l'on parvient à exprimer x, y en fonction de x', y' et de quantités connues, il ne s'agira que de substituer ces valeurs dans l'équation ci-dessus, et Von obtiendra l'équation demandée.
Four trouver ces valeurs, soient menés A'X" et P'H parallèles ii AX, puis AT* et P'K parallèles k AT, en prolongeant toutefois AT" jusqu'à sa rencontre en B avec AX.
Faisons d'ailleurs AB = a, A'B = i, X'A'X" = « , Y'A'X'b*', et Y* A'X' as g; a, b sont des quantités connues j puisqu'elles se sont autre chose que les coordonnées de la nouvelle origine, qu'on suppose donnée de position par raptport aux anciens axes; il en est de même des angles a, a' que chacun des nouveaux axes forme avec l'ancien axe des x , et de l'angle C, qui. est égal à l'angle YAX des anciens axes.
Cela posé, la figure donne évidemment
AP ou x = AB + BP :*= a + A'K + PU,
MP ou y =z A'B + ML= b + P'K + MH;
ainsi , tout se réduit à déterminer AIL , P'K , P*H et MH.
Or, on a dans les triangles A' P'K , MP/H, en vertu du prin* cipe de Trigonométrie , n° 91 ,
a6o TRANSFORMATION
i°. A'K : A'P' :: sin A'P'K : «in A'KP' ;
ou , à cause de A'P'K = FA'Yf= C — « , et de ♦ . .
A'KP'tta A'LM = aoo* — MLX* = 2000 — C ,
A'K :^:: sin (É — «):sinff; d'où A* =*"*??£ -, *•. FK:A'F::sinFA'K:sinA'KP' -, d'oi FK=^^;
3». P'H :MF::8inP,MH:sinFHM;
ou, à cause de P'MH =* Y'A'Y* = f — *' , et de
FHM = A'LM =s=: 20o°— C ,
p'fl : y :: sin(C-o : tin c; d'où ^^"|fe^ »
4°.MH: MF:: sinMP'H:sinP'HM: d'ouMH=-^?^'.
Donc, en portant ces valeurs dans les expressions de x,y9on obtient
x* sin (C — *)-k/ sin (£ — et')
Xi — ,--,
sin b
od sin « + V «û *' 1 t ^ sin b
Telles sont les formules les plus générales de la transformation des coordonnées , dont il est facile de déduire les formules •particulières correspondantes à toutes les positions de la nouvelle origine et aux différentes directions des nouveaux axes par rapport aux anciens, en donnant a a, b des valeurs convenables positives ou négatives, et aux angles *, «' toutes les valeurs depuis o° jusq#à 200°.
Quant à l'angle £, il est toujours donné à priori, puisque c'^st l'angle des anciens axes.
Nous nous contenterons d'indiquer ici les cas principaux.
ai 8. Premisr cas. Le plus simple de tous est celui oit les deux nouveaux axes sont parallèles aux anciens; c'est-à-dire
DES COORDONNEES. a6l
nue les axes conservent la même direction : l'origine seule est
différente.
Dans ce cas, on a «t = o, et *'=£; ce qui donne sin (C— tf)=sinC, sin(£— *') = o, sin« = o, sin«'=sinC;
ainsi, les formules se réduisent kl , , i * ï (a)
On peut les yérifier directement d'après la figure. En effet, on reconnaît que [fig. 128) ÀP = ÀB + A'P#=a + x'; Fig.ia*. MP = À'B + MP's a +y'.
219. Second cas. On propose de passer d'un système rectangulaire à un système oblique.
Dans cette hypothèse, il suffit de faire {fig. 129) C = ioo°; Fig. 139.
d'où sinC = i, sin(C-— «)sscos«, et sm(ff — •/)=?CQs«t'j
et les formules deviennent f , . , ^ , . ... * J— 43)
l y=xsin*-t~y sinm+o. )
230. Troisième cas. Passer d'un système rectangulaire à un système aussi fectangulaire : c'est un des cas les plus usités.
On a> dans ce cas (fig. i3o) , € = ioo°, Fig. i3o.
*' ou Y'À'Xl'=yÀ'X'+X,À,X'ç=:io©«+«; d'où sinfsi, sin(ff — «)=?cosa,
sin (C— a') = sin (ioo° — ioo° — a) = — sin *, sinct's; sin (ioo° + «)=s cos et;
et l'on obtient pour formules correspondantes»
x = x,cosct — ysin# + a, 1
^ = a/since+ycos-i + &. J" W)
N. É. Ce dernier cas peut être déduit du second, en y faisant simplement *' = ioo° -f- *, ce qui donne cos *' = — sin J, et sin «= cos ce.
221. Quatrième cas. Passer d'un système oblique à un système rectangulaire.
3&*' TBANSFORMATION
' Fig. i3i. Il suffit de faire dans les formules générales (fig. i3i),
*' ou Y'A'X"=ioo°-|-*; d'où sin*'=cos#i, sin (ff — «) = sin (ff — ioo° — «)
= — sin[ioo°— (C— *)]:= — cos(C — *)^
Ces formules deyiennent «lors
X' S1 n (g ~ «) — y OQ8 (C — tt ) X — — — — — — .
tint
a^sia«-Hy co8* J = ^-? H**
SlQb
Chacun des trois systèmes précédons peut être obtenu directement au moyen de la figure; mais nous nous contenterons de rechercher celui qui correspond au dernier cas.
Soient toujours menées par les points A' et F , A'X# et FH parallèles à AX, puis AT et FK parallèles à AT. '
Il résulte de cette construction ,
AP ou x = AB + A'K — FH> MPou y = A'B + FK + MH.
On trouve d'abord, comme dans le problème général ,
" sin C sinC,
D'un autre coté, le triangle MP'H donne
i°. FH : MP' :: sin HMF : «in MHF; . ou , comme HMF=Y' AT*=Y'A'X'— Y" A'X'= i oo°— (C-«) *
FH : / :: cosX* — *) : "n 6; d'où P'H aa^00,.^r**) }
sinC
a°. MH *. MF :t sinMFH t sin MHF; mais MFH= MFA'— HFA'= ioo»— X'A'X* = ioo" — «;
ainsi MH : v' :: cos« : sin C; d'où MH = y .C0VC.
sin s
BUS COOBDOMNBRft. ^63>
a/sin(C-.^— yco«(C — •).
Donc enfin , ^ . . ,
ar sin a + y cos * ,
sin C
Dans Je second et le troisième cas , le* triangles À'P'R, MHP\ sont rectangles , et la détermination des lignes ÀTL, FR, FH et MH n'en est que pins facile.
222. Enfin , si , dans les formules générales et celles <[ui en ont été déduites, on suppose asso et ft = o, on obtiendra de nouvelles formules qui correspondront au cas où l'on veut changer seulement la direction des axes, sans déplacer f origine.
.. . x = x'cQS*+y'co$m , j:=?5a/cos«— ^ysin*,
Ainsi* f . . / • / et •. ./
y=?sx sract-f-ysina, y=x smA+y cos«>
sont les formules propres à faire passer d'un système rectangulaire à un autre système oblique ou rectangulaire de même origine*
En général .on distingue deux espèces principales de transformations de coordonnées | le déplacement de F origine et le changement de direction d'axes. Lorsque la question exige cette double transformation, il y a souvent de l'avantage à ne les exécuter que successivement; nous en verrons bientôt des «xemplo.
223. Nous terminerons cette théorie générale par l'examen de deux cas particuliers : i°. on peut demander de passer d'un système oblique à un système rectangulaire, l'origine restant
la même, et taxe, des x {fig. i3a) restant aussi le même. Fig. i3a.
Dans ce cas. on a a=o>, fr=o, *=o, «'=ioo#; d'où Pon tire sin«=o, sin *=i> sin (£—«)= sinC, sin (C— *')=— cosC;
a/ — y'ootC ,
cosècÇ.
y = -f^-s = y cose< J sin C J
On fait usage de celles-ci; lorsqu'une courbe étant rapportée
