TRANSFORMATION
à un système d'axes obliques, on veut rendre le système rectangulaire.
a°. On peut , en conservant le même système d'axes * exiger que Vaxe des y' se confonde avec celui des x , et réciproquement. Fîg. i33. Dans ce cas , on doit avoir «' = o et « s= ff (fig. i33 ) \. d'où sin a = sin £ , sin *' = o, sin(C— *)x=o, sin(C— » *')=sin£ On a, en outre, a ss o, b = o ; ainsi , les formules (i) se réduisent à x = y' ety — x'-y ce qui est d'ailleurs évident j car on ne fait ici que changer les dénominations des axes.
On tire deèlà cette conséquence : Lorsque les équations de deux courbes sont telles que la seconde est composée en y et x > comme la première Test en x et y, on peut affirmer que les deux ' courbes sont identiques * puisqu'on passe de l'une à l'autre équation , en changeant x. en yi et , réciproquement , y en x. Il n'y a réellement , dans ce cas » que ta position de la courbe par rapport aux axes qui soit renversée..
2^4* Première remarque. Gomme, pour une même question, on a .souvent besoin d'effectuer plusieurs transformations de coordonnées, nous conviendrons de supprimer lés accen9 dans les seconds membres, des formules relatives à ces diverses transformations, c'est-à-dire que nous désignerons toujours par x et y les anciennes et les nouvelles coordonnées, quoique leurs valeurs et leurs positions soient différentes; mais l'emploi successif des formules suffira pour indiquer que la courbe, étant rapportée à un premier système, se trouve ensuite rapportée à un second , à un troisième , . . . . système.
Ainsi , pour passer d'un système oblique ou rectangulaire à un système de coordonnées parallèles , nous ferons dans l'équation de la courbe, x^= * + a, et y ==y + h y tes x et y du second membre désignant les coordonnées rapportées aux nouveaux axes , dont l'origine a d'ailleurs a et b pour ses coordon-» nées rapportées aux anciens axes.
De même , pour passer d'un système rectangulaire à un sys.tènic oblique de même origine, nous ferons usage des formules
x m x cos * *\-x cos #' > et y =r x sin * -4: y sln *'.
DBS OOOBD0KNÉE*. ^65
Cette convention a pour bat de simplifie* les calculs en évitant la multiplicité des aocens.
' 2a5. Seconde remarque. Les quantités a, b, «, *r qui entrent dans les formules , sont des constantes dont les valeurs fixent la position de la nouvelle origine et les directions des nouveaux axes par rapport aux anciens dont l'angle est exprimé par C. Ces quatre quantités doivent être regardées comme connues et données* à priori j toutes les fois qu'on veut rapporter la courbe à de nouvelles lignes, dont on a reconnu que la position par rapport k cette courbe est plus simple que celle des anciens axes.
Mais il arrive souvent qu'on exécute une transformation de coordonnées, avec le dessein d'introduire un changement déterminé dans l'équation de la courbe; par exemple, pour faire disparaître certains termes. Dans ce cas, a, b, «, m sont des constantes* indéterminées pour le moment, que l'on tâche ensuite de calculer de manière qu'il en résulte les simplifications exigées. Quant à l'angle C, on ne peut en disposer, puisque c'est l'angle des deux axes primitifs, lequel est toujours donné à priori»
Le nombre des termer a faire disparaître de l'équation , indique le nombre des indéterminées à introduire dans le calcul, et, par conséquent, le système de formules dont il faut faire usage.
Tout ceci s'éclaircira par les applications nombreuses que nous aurons occasion d'effectuer par la suite.
§ II. Notions préliminaires sur les Courbes du
second degré.
Afin de présenter la théorie des courbes du second degré d'une manière simple et tout -à- fait élémentaire, nous commencerons par rechercher les équations de trois courbes dont chacune jouit d'une propriété qui lui est particulière. Nous ferons voir ensuite que ces courbes sont les seules que
a66 notions sur l'xllipsb.
- paisse représente? une équation quelconque du second degré à deux variables. Enfin , nous démontrerons que ces mêmes* courbes sont celles qu'on obtient en coupant par un plan le cône droit ou oblique, tel qu'on le considère en Géométrie; oe qui leur a fait donner aussi le nom de actions coniques.
De tEUipseK
226. On demanda l'équation d'une courbe telle, que si Von* Fig.i34.yomf chacun de ses points M (fig. i34) à deux points fixes F et V j la somme des distances FM + FM soit égale à une. ligne donnée si A.
Cette courbe est ce qu'on nomme une ellipse* Les points FK F en sont dits lesjbyers, et l'on appelle rayons vecteurs les distances FM, F/M. Nous verrons plus loin la raison de ces démn mination8.
Pour construire cette courbe d'après sa définition , prenons, le milieu Ode la distance FF., et, à partir de ce point, portons, la moitié de aA^ de O en B, et de O en A j les points A et B appartiendront d'abord à la courbe. En effet, il résulte de.
cette construction ,
OB — OF, ou FB = OA— OF, *« FA, c'est-à-dire FB = F A ; donc ,
i°. FB + FB = FA + FB = aA, a0. FA + FA s FB + FA = aA.
De même, si des points F, F, commme centres, avec un rayon égal à A, l'on décrit deux circonférences qui se coi*-pent aux points C, D , ces points appartiendront encore à la courbe ; car on aura évidemment
FC + F/C = aA et FD + FD = *À.
Ces points se trouvent d'ailleurs sur 1? perpendiculaire élevée "du point O.
Pour obtenir des points intermédiaires, marquez sur AB et
NOTIONS SUB I*'UJ4PSB. 967
entré les pointe F* F** un point quelconque L; puis de* pointe F' et F comme centres, et avec de* rayons respectivement égaux ' à ALj LB, décrives} deux circonférences qui se eoupent en M , m ; vous aurez deux nouveaux points de la courbe.. En effet > la construction donne
i°. FTM+FM=AL+LB=aA, a0. F'm-f Fm=aA.
Ces points sont symétriquement placés par rapport a AB.
Réciproquement y si des points F, F* comme centres, et avec les mêmes rayons AL, LBA voua décrire* deux circonférences* vous obtiendrez deux nouveaux points M', m', qui seront, avec les points M, m , dans une position symétrique par rapport à la ligne CD, Gela est évident.
Après avoir ainsi déterminé une série de points suffisamment rapprochés les uns des autres, on pourra les joindre par une ligne continue ACBDA, qui sera la courbe demandée.
N, B. Pour que la construction précédente puisse s'effectuer, il faut que la distance des centres FF' soit moindre que la somme des rayons ou a A , et en même temps plus grande que leur différence. Or, je dis que cette dernière condition exige que le point L soit entre O et F. En effet , prenons , par. exemple, un point L' qui soit placé entre F et B ; on aurait
AL'>AF et L'B<FB;
d'où l'on déduirait
AL'— L'B>AF— FB> AF — FA, ou >FF';
donc la distance FF* serait moindre que la différence des rayons AL', L'B; et les deux circonférences décrites seraient intérieures l'une à l'autre, sans se couper.
3^7. On peut encore construire l'ellipse d'un mouvement continu, ainsi qu'il suit :
Fixe* aux points F et Ff, par le moyen de deux épingles* un fil dont la longueur soit égale à a A. Faites ensuite glisser un
268 NOTIONS SUR l'eLLIPSK.
style ou un crayon qui tienne ce fil toujours tendu; et la courbe ne troupe tracée quand l'instrument mobile a fait deux demi- révolutions j Vune au-dessus de FF"., et Vautre audessous. \
Enfin, si l'ellipse doit être tracée sur le terrain, on se sert d'un cordeau d'une longueur égale k 2À et* de trois piqueta , dont deux fixent les extrémités du cordeau aux points F, F 9 et lé troisième sert k tracer la courbe , en tenant le cor* deau toujours tendu.
228. L'ellipse étant ainsi déterminée de forme et de position, recherchons son équation, c'est-à-dire (n° 171) une relation entre les coordonnées de chacun de ses points rapportés à deux axes fixes.
Comme, d'après la construction précédente, la courbe se compose de points symétriquement placés par rapport aux lignes AB, CD, il convient de prendre celles-ci pour axes.
Soient OP = x, MPs^y, FM = «, FM=^a', FF'=2c, d'où OF = OF=c.
On a d'abord , pour les équations des deux circonférences qui ont leurs centres en P, F, et dont la rencontre détermine le point M ,
f + (x - cy = z% (1)
y + (* + cy =s z* (2)
En outre, la définition même de la courbe donne l'équation de condition
et si, entre ces trois équations, on élimine z et z', l'équation résultante en x,y sera (n° 214) l'équation cherchée.
Pour j parvenir facilement, ajoutons entre elles et retranchons l'une de l'autre les équations (1) et (2)* il vient
2y* + 2Xi4-2ct=a'a + a%.... (4)
4cr = a'*—- ** ;. . , . (5) .- -.j
NOTIOKS SUR l'xLLIPBX. 269
mais celle-ci retient k
(*'•+• z) (tf — z) sas 4CJ? > OU 2 A (*f — *) = fax ;
d'où Pon tire *'— s = -y- »
Or, on a déjà *'-f" a = aÀ j
.donc *'seA-f- — et * = A — -r--
Substituant ces valeurs dan» l'équation (4) > on trouve
eu , chassant le dénominateur et ordonnant,
Suivant ce qui a été dit plus haut, on doit avoir FF' ou •ac < 2A ; donc A* — c* est essentiellement positif, et 34 l'on pose
l'équation prend enfin la forme
A^-f-BV-sAW.... (6)
Telle est l'équation la plus simple de l'ellipse*
229. En la résolvant par rapport à y , puis par rapport 4 a? • ce qui donne
ton reconnaît, en premier lieu,, que la courbe est symétrique par rapport aux axes OX, OY, puisque chacun d'eux divise en deux parties égales toutes les cordes telles que Mm , MM' menées parallèlement i l'autre*
Secondement* comme pour y = o on trouve x =s ± A, et... ..*•.*.. pour x = o y =sl ±l B,
270 MOTfOfcft SUE l'xLL&SX.
il s'ensuit que la courbe rencontre l'axe des x aux points A. et B, l'axe des y aux points C, D, pour lesquels on a OC
ou OD=:B= l/ A*— C
En effet, le triangle isoscèle FCF' donne à cause de
FC = FC = A,
OC = y/cF — OF* = V/CF' — OF'*= V Am — c».
Troisièmement j l'hypothèse x = A ou x = — A, réduisant la double valeur de y à une seule, ^ssdbo, on peut conclure (n° 194) que la courbe est tangente en A et B aux deux droites RS, VS menées parallèlement à l'axe des y*
De même, y = B ou y=— B donnant x=±o, la courbe est tangente en G et D aux deux parallèles RR', SS' à l'axe des x.
Ilest visible d'ailleurs que , dès qu'on suppose x >A ou jC>B, la valeur de y ou de x , correspondante, est imaginaire. Donc la courbe est tangente aux quatre côtés du rectangle RSSU' et est entièrement comprise dans ce rectangle.
Soit encore proposé d'évaluer la distance du point O à un point quelconque (x , y) de la courbé.
On a pour expression de œtte distance, D = |/jd' +y* ;
B^ ou , mettant pour y% sa valeur -^ (A* — x9) ,
ML
En faisant x = of on trouve d'abord DsB ou OG.
A mesure que x augmente, la quantité D augmente, et elle acquiert son maximum , lorsqu'on donne à j; la plus grande valeur possible, qui est 4; =3 A; d'où l'on tire
B'+ " . A»=A, ouOB.
Ainsi lapins petite distance du point O à la courbe,, est OC, et la plus grande* OB; en d'autres termes, CD est la plus
NOTIONS SUE l'xMIPSB. 27 ï
petite corde qtfon poisse mener par le point O , et AB la plus grande*
Ces diverses circonstances suffisent pour donner aux comment çans une idée assez exacte de la forme de l'ellipse.
a3o. Les deux lignes aA, aB ou AB, CD ont reçu le nom d'axes principaux,' et l'équation (6) est dite V équation, de l'ellipse rapportée à sets axée.
On les appelle encore premier et second axes» ou bien, grand axe et petit axe'. La dénomination de grand axe vient probablement de ce qu'en effet, AB est la plus grande corde qui puisse être menée dans l'intérieur de l'ellipse.
Car , soit IS. une corde quelconque; si l'on joint le point O aux points I et K. , le triangle OIK donne IK < OI + OK; mai* on a tu plus haut que OK est <OB et CH<OA ; donc, à plus forte raison, l'on a IK < OB + OA < AB.
Les points A , B sont dits les sommets du premier axe, et les points C, D, les sommets du second axe.
Enfin, le point O pris actuellement pour origine des coordonnées, est appelé le centre de la courbe, parce qu'il jouit de oette propriété que toutes les cordes, telles que Mm.', qui passent par ce point, y sont divisées en deux parties égales.
Pour le démontrer, combinons l'équation Ay+ B*x* = A*B%
avec celle-ci : .....; yz=x.a&
qui représente une droite quelconque passant par l'origine.
En mettant pour y te valeur ax dans la première, on trouve
-fc AB (AV+B*)** = A»B*; d'où a? =
t/ÀV+B*
±:ABa et par conséquent, y&z ■ ,,.,= .
Ces valeurs de x et de y qui expriment les coordonnées M, m des points d'intersection de la droite avec la courbe, sont égales et de signes contraires ; donc, les distances OP, OP' et MP, m'V sont égales; et les deux triangles OPM, OP/m/ étant égaux, donnent OM sOm',
27a NOTIONS SUR l/siXIMB*
a3 1. Supposons que dans la recherche d'un lieu géométrique rapporté à des axes rectangulaires , on soit parvenu à l'équation
My*+Nx» = P,
M, N, P étant des quantités essentiellement positives.
dans cette équation , y = oetx=o;
et pour
Cela posé, soient \/\ = A, \/\-^\ à'oii Na= J,
M = sj ; l'équation ci-dessus devient , par la substitution ,
D'où l'on voit que l'équation proposée est celle d'une ellipse
dont les axes principaux sont aw «• et 3l/îr >* ou, en
d'autres termes, sont le double de la valeur x correspondante k y sas o, et le double de la valeur de y correspondante k x = o.
Connaissant les deu* axes aA, 2B ou al/ -, * v m '
pour obtenir les foyers , on a recours k la relation Ba = À*— c*, qui donne c = rfc l/A*"— B*.
Fie* i35. Soient pris sur deux lignes indé6nies k angle droit (Jig. i35) , OB=OA = A, et, OC = OD = B. Puis du point C comme centre avec un rayon égal k A , décrivons un arc de cercle qui coupe AB en deux points F, F; ce seront lesdenx foyers, car
of = Vcf*— OC = Va» — B».
Comme ! par rapporta l'équation tày % -f- Nx* =: P , on a
NOTIONS SUA l'sLUPSE. 2*}$
A* = ^r et Ba = .rj, il s'ensuit que
