DES TROU COURBES
Si c'est une ellipse , on a np sa -j-, 9 sa — ■— •
Enfin y dans le cas de l'hyperbole , on a
2*= a"' T+îp-
Par analogie avec la parabole , on nomme paramètre de
l'ellipse ou de l'hyperbole, la quantité ap ou — j-, qui forme le
coefficient de x dans l'équation de la courbe rapportée à l'un de ses sommets.
Cette quantité , qui peut être mise sous la forme -*— , ou
— *-r— , n'est autre chose qu'une 3* proportionnelle aupre-
mier et au second axe.
C'est aussi, comme dans la parabole, le double de l'ordonnée qui passe par le foyer F ou F'; car si l'on fait
o;=±:c=rfc /A»— B\ dans l'équation Ày+B'x*c=À*B*, par exemple, on trouve
Ay+AV-B^sA'B'; d'où y = ±^.
Même résultat pour l'hyperbole.
Ce dernier caractère du foyer, dans les trois courbes, sert souvent à fixer la position de ce point, et à en faire reconnaître l'existence en tel ou tel lieu du plan de la courbe.
a47 • Au reste, la liaison qui existe entre ces courbes peut encore être établie au moyen de la question suivante , dont celle qui a servi à la définition de la parabole n'est qu'un cas particulier.
On demande l'équation d'une courbe telle, que la distance de chacun de ses points M (Jig. ifo) à un point fixe F , soit àF\g.\l\i la distance de ce même point à une droite LL' donnée de position dans un rapport donné ml 1 $ en sorte que l'on ait
288 ÎJAISON
MF :mq :: m: i. .
Du point F abaissons FG perpendiculaire sur Ll/, et divisons cette distance FG dans le rapport m l x ; le point À est un des points de la courbe.
Pour construire d'antres points*, marquons un point quelconque P sur GF, et élevons en ce point une perpendiculaire; puis du point F comme centre avec un rayon égal à la 4* proportionnelle i l m II GP 2 x, décrivons un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire aux points M et M'; ces points appartiendront à la courbe; car on a, d'après cette construction,
FM ou x : GP ou MQ :: m : i ;
et ainsi de suite.
Afin de déterminer Péquation du lieu géométrique, nous prendrons pour axe des x la ligne GF, par rapport à laquelle la courbe est symétrique j pour axe des y la perpendiculaire élevée au point A qui appartient à la courbe, et peut en être regardée comme' 2* sommet.
Soient donc
AP.=a:, MP=.y, FM = zf AF = *; d'où AG=r"
(puisque l'on a FA l AG II m l î).
L'équation de la circonférence, qui a son centre en F et
pour rayon FM, est y* -f- (x— «)* = *•... (i)
'De plus, on doit avoir FM : GP :: z : i ;
d'où « t x H :: m : i, ou bien. *= m;r + «. . . (2)
Ainsi, en éliminant a entre ces équations, on obtiendra (n° 21 4) l'équation demandée. Il vient, toute réduction faite*
Cette équation est privée du terme indépendant de x et de y; et eela doit être, puisque, la courbe passant par l'origine, il
DES TROIS COURBES. 28g
fout que son équation soit satisfaite, lorsqu'on y fait^=o
et x = o.
Examinons successivement les circonstances qui correspondent aux trois hypothèses m < i , m == i , m > i.
Soit d'abord, comme le cas le plus simple , m = i.
L'équation (3) se réduit à y = Ipx , et est immédiatement comparable à oelle-ci, y* = 2px, en posant
4« = 2/>, d'où p = 2*.
Ainsi la courbe est une parabole dont le foyer) est en F, et qui a pour directrice LL'. Le point A est d'ailleurs le milieu de la distance FG , puisque l'on a
fg : ag :: i : i.
■Soit actttelï«embnt m < i , auquel cas le coefficient de x* est essentiellement positif.
L'équation peut se mettre sous la forme
et en la comparant à celle-ci , y*= jj (aAx — x*)$
on eu déduit A=- — —, Tî == f — lf|,î
Qi — m) i — ■ Tîi
Ainsi, la courbe est une ellipse dont les axes principaux
sont , l/i — m*. et le paramètre,
Le point F est d'ailleurs l'un des foyers dont la définition se trouve comprise dans celle de l'ellipse (voyez n° 226).
àgo ' MAISON t ' . £'
En effet , soit posé x = « dans l'équation
il en résulte y* = (i — n*) *'(' + ™) ^ ^ 1 + ^^
d'où jr s d: *(i + m) =3 :fc — ;
or , on a vu (n° 246) que < cette Valeur est celle de l'ordonnée qui passe par chacun dé» foyer*.
La construction du premier axe AB se réduit à trouver tsur G F deux points A et B tels , qu'on ait
i°. m : x :: fa : ag, doù i -^m : m :: fg : fa* ap. m : 1 :: fb : bg, d'où * — m : w* :: FG ; FB;
ce sont deux quatrièmes proportionnelles faciles a obtenir.
Quant au second axe, comme on connaît déjà le foyer F, il suffit de décrire de ce point comme centre et avec un rayon OAt moitié de AB , un arc de cercle qui coupe en deux points C, D, la perpendiculaire élevée par le point O.
Le second foyer F' s'obtient en prenant OF" = OF.
Soit entin m > 1 , auquel cas le coefficient de x% est nigat if dans l'équation (3).
Elle peut être mise sous la forme.
et comparée à y* = — (2ÀX + xÉ) ,
elle donne A =
— » •=ro,^,'
-«ta t
d'où — = *(m + 1) et B = rfc — - \/m* — 1;
donc la, cqurbe est un% hypprbolê dont le premier axe, pu
DBS «ROIS COUBBES. 29 1
l'aie transverse> est , le second, ym1 — i ,
et ^paramètre, a#(nt +0*
Soil dans l'équation , x = ce; il en résulte v
d'où y sas ±: #(ro -f- i) = ± — ;
ce qui prouve que le point F est un des foyers de la courbe.
La Construction des axes s'effectuerait connue pour l'ellipse ; + 'mais il faut observer qu'elle doit s'effectuer de droite à gauche du. poiat F} car si l'on fait dans Péquatîon , y = o , il Tient
- ■ X + JC* = o, ou xf — + x J = o:
ce qui adonne x = o et ae =s= —
. Ainsi les sommets A , B' sont situés d'un même côté, par rapport au point F. Le contraire avait lieu datis l'ellipse.
JV.< S. On peut trouver dans les caractères m < i , m = i , m 5> i , la raison des dénominations attribuées aux trois courbes.
L'hypothèse m.<[ i donne l'ellipse ou la courbé par défaut,
m =» i . . . . la parabole ou fa courbe par égalité j m > i . . • . l'hyperbole ou la courbe par excès*
On trouve encore œ. motif dans les relations y%<zpx9. y* == %px y y* > apx > déduites de l'équation y% = apx + jx* , suivant que 4 est <, o, = o, ou > o.
a4B. Dans l'ellipse et l'hyperbole, comme dans la parabole, Ja droite LL' (Jig. 142) porte le nom de directrice. Fig.142.
Dans la parabole dont l'équation est y%^=2px9 il suffit, pour» obtenir la directrice, de prendre a la gauche dé l'origine
2(p *£|>UCTION
une dislance AG = AF = -, c'est-à-dire une distance égale
au quart du paramètre j puis d'élever au point G une perperitliculaire.
Dans l'ellipse qui a pour équation k*y* + B*x* = A*Ba,
BB comme on a trouvé précédemment, yî = i — m1, os en dé-
fi» A* — B
«luit m* as i — £-, = A> - = £ï, d'oi m = £•
Le rapport mil étant connu , et les points A , F étant d'ailleurs donnés de position , il suffit , pour déterminer 'le point G, de construire la quatrième proportionnelle
c : a :: af : ag.
B* « On a de même, pour l'hyperbole, m* — i = — : d'où
m* s=s -j — , et par conséquent m =s --.
Enfin, il est évident que , dans chacune des deux derriieres courbes, il existe deux directrices qui sont situées à égale distance du centre, sur le prolongement de AB pour l'ellipse, et entre les points A, B', pour Phyperbole.
§ III. Réduction, par Id transformation <f es coordonnées, de l'équation générale du second degré à deux variables,
349. Nous allons faire voir maintenant que l'ellipse,. Hiy période et la parabole , telles que nous les avons définies précédemment, sont les seules courbes renfermées dans une équation quelconque du second degré à deux variables.
Il semble, au premier abord, difficile de concevoir nuftl
dx l'Iquat/on du second degré. 293
puisse y aroir identité entre toutes les courbes représentées par une équation aussi compliquée que celleci-dessus,etle8 courbes dont les équations sont de la forme
My+Nr* = P, ou y=Qr;
la première désignant une ellipse ou une byperbole, suivant que M, N, P sont positifs à la fois (n° a3i), ou bien, que M étant positif N est négatif et P négatif ou positif (n°9 23g , */{o)\ la seconde étant comparable à l'équation de la parabole
Mais observons que, si dans les deux équations précédentes, on net à la pUce de x et de y ,- les valeurs
x=5Xco8#+rcos«+a, . y zsz x sin « -f» y ain •' -f- b ,
au moyen desquelles (n° 219) on passe d'un système rectangulaire à un système oblique d'origine différente, l'équation qui en résulte est de même forme que l'équation complète. Or il est évident que cette transformation de coordonnées n'a pas ebangé la nature de la courbe 5 seulement, comme les nouveaux axes se trouvent dans une situation quelconque à l'égard de la courbe, l'équation qui la représente est plus compliquée que lorsque cette courbe est rapportée à ses axes principaux.
Voyons donc si par des transformations de coordonnées , ou ne pourrait pas simplifier l'équation la plus générale et la ramener à l'une ou l'autre des deux formes ci -dessus.
Telle est la proposition qu'il s'agit de développer.
25o. Remarquons , avant tout , que rien n'empêche de supposer que la courbe soit primitivement rapportée à des axes rectangulaires; car s'il en était autrement , on pourrait (u° 223) , en conservant la même origine et le même axe des x, les rendre rectangulaires j.$t l'équation résultante étant de même forme que la proposée, serait celle sur laquelle on aurait à opérer.
Cela posé, reprenons l'équation
2g4 Biputiriow •.
Ay+Bx^+Cr»-f D^ + Éx + F = o,....(0 •'*
et tâchons d'abord de faire disparaître le terme en xy* Pour cela, nous prendrons les formules
x = x oos * -"■• y sin «, «
y = x sin * + y \m *, . t
au moyen desquelles (nQ aab) on passe ifun sys&me rectangulaire à un système de même espèce', l'origine restant la métn£. L'angle * est ici une indéterminée (n'aaS) qu'il s'agit de cal? caler d'après la .condition que Véquation transformée, soit fri-* vée du rectangle xy , c'estra-dirè que le coefficient de ce ttrate soit nul. ' . •■*••"•
En substituant ces valeurs de x et de y dans Inéquation .(i) , ordonnant et égalant à o le coefficient de xy , on obtient , d'àbord pour l'équation de condition, ' •
a A sin et cos « -f- B cos* * *— B sin* « — aC sin • ces « s= o,
et pour l'équation transformée ,
M^* + Nj?* + Ry + &r + Fs=o;... (a)
en posant pour plus de simplicité ,
M = A cos'» — B sin 4 cos « + C sin*«, N = A sin*« + B sin * cos • + C cos*«, R = D cos « — E sin a , S = D sin * + E cos *•
[La quantité F est la même dans l'équation (a) que dans réqtt** tion (i).]
Traitons maintenant l'équation de condition.
Elle revient à (A-~ G), a sin a cos a 4- &(?<****-- sin**)^50* ou* à cause de a sin « cos «=± sin 2*, eos*#— sin* * =7: cos 2»>
(A — C) sin 2* + B cos aa == o , équation d'où l'on tire, après avoir divisé par cos 2* ,
D0 L'éQVATIBJVr m* SECOND DEOHK. ag£
Or, cojnme une tangente peut passer par tous les états de
grandeur possibles et même être infinie , il s'ensuit que l'angle
«est susceptible d'une détermination réelle, quels que soient les
coefficîén9 A, B* G* Par conséquent, il est toujours possible de
' faire disparaître le terme en xy.
Soient AX, Aï (Jlg. i43)'les axes primitif; pour consr Fîg. 143. tpuirele» nouveaux, menons par le point A une droite AL qui
B forme afee AX un angle ayant pour tangente, — -g ( ce
qui retient' A" prendre1 tfnfe partie AG = 1 , puis à élever une
perpendiculaire OH =£ — ■■■■ * - j 1
Divisons ensuite eet angle LAX en deux parties égales par la ligne AX' ; cette dernière droite sera le nouvel axe des x, et AT', p0rpendicnlaîre à AX', lé nouvel axe des>:
iï\ B, De ce que l'expression tang 2*= — A r corres-
pond à deux angles différens a#, aoo°+ 2», il semble résulter
qu'on peut prendre à volonté pour nouvel axe des x,la droite
qui divise l'angle LAX ou la droite qui divise l'angle. . . .
- 2oo° + LAX en deux parties égales. Mais observons que les
deux demi-angles étant -LAX et ioo°+-LAX, leur différa a
rence est égale à ioo°; donc si l'une de ces droites correspond au nouvel axe des ar, l'autre doit correspondre au nouvel axe des y, et réciproquement
. Ainsi,, il n'y a réellement, qu'un seul système d'axes rectangulaires par rapport auxquels l'équation de la courbe peut être débarrassée du terme en xy.
a5i. Wons reviendrons par la suite sur cette transformation de coordonnées. Mais il' est nécessaire de calculer dès à présent les valeurs de M et de N , d'après la valeur obtenue
ag6 BiovcrioN .
pour tang 2*, parce que nous en aurons besoin pour le «levé- . loppement de notre proposition.
Les formules du n° 49, cos a — jttmrrr — -^2 .
|/i4-tang*«. .» «■«
donnent cos 2* = „ =s ' • • ,
l/i4-tang»a* l/(A-*-C)* + B*
sinui=tangafltXcosa4t=g ■ , , =^.. ,
D'un autre côté, les équations
M = A cos' «t — B sin « cos « -f- C sin* «, N = A sin** + B sin «cos* +> C cos4»,
étant d'abord ajoutées entre elles, on obtient, k cause de la relation cos9 * «+• sin*# = 1
On trouve également en les soustrayant l'une de l'autre,
M — N = (A — C) (cos*« — sinA«) — B. 2 sincteos*» ou, à cause de cos 2* = cos' « — sin' 4, sin 2* =? 2 sin «cos «,
M — N = (A — Qcosa* — Bsiiia*; ou remplaçant 00*2*, sin&t par leurs valeurs,
ou bien enfin, supprimant le facteur VA — C + B',
Connaissant les valeurs de M + N et de M — N, on en déduit successivement
M = ^- + iV/A==~c + B', 2 2
DJE i/iQOATlOlf W SBCOND DSGkL 2g 7
d'où f multipliant ce* deux équations membre i membre et réduisant,
Ce dernier résultat prouve, 1 °. que les deux, eoefficiens M et N sont de mime signe ou de signes contraires j suivant que la quantité B* — 4AC est négative ou 'positive; a°. que l'un de ces coeffieiens est nul* toutes les fois que l'on a B* — 4 AC = o, et ne peut être nul que sous cette condition.
N. JR. On ne saurait avoir en même temps M = o, N = o; car il en résulterait , M+N;=o, M — N = o, et par conséquent
A + C = o, (A — C)*-f BÉ=o.
Or, cette dernière condition entraîne les deux suivantes,
et celle-ci , combinée avec A -f- C = o , donne , A = o, G as 0.
Ce serait donc supposer que l'équation primitive ne renfermerait aucun des trois termes en y*, xy etx*) ce qui n'est pas admissible , puisqu'alors l'équation ne. serait que du premier degré.*
25a. Revenons à notre objet. L'équation étant déjà débatrossée du terme en xy, essayons, par une translation d'origine, de faire évanouir les termes du premier degré en x et y *
n>ur œla , faisons dans l'équation (*) (n° ai o)
•• • • * . • • x = x + ûf
et égalons séparément à o les deux coeffieiens de x et de y qui résultent de cette substitution.
ag8 aèDUorjûw
Il vient, d'abord T»pr les deux équations de condition ,
aM4 + R = o, aNa + Sc=o,
et pour l'équation transformée , •
My*.+ V& + F « o. .... (3) (en posant F==M&» + Na*-f.R& + Sa + F).
Oa déduit des dette Ajnttians de condition,
Or ! ces valeurs de a et de â'aeront toujours réelles et finie*, tant que M et N seront différeng de o , cfast-à<<diip (n* 7S1) tant
que Pou aura B* — 4AC ^ 0. On pourra -donc , dans ée
cas, transporter l'origine en un nouveau point A' (^. .14^)
ayant pour coordonnées, — -=j, — -jt= , et pour lequel
Féquation de la courbe, rapportée aux axes A'X*,>A'Y* parallèles à AX', AT, sera de la forme
(P désignant ee que devient —-F' lorsqu'on y a remplacé a çt & par leurs valeurs).
On pourrait avoir, soit Rsao, soit Sèof auquel cas b ou a serait nul, et la nouvelle origine serait située sur AX' •H AT.
. Aucun de cet eoeffietens R , S ne saurait d'ailleurs être infini* d'après leur .composition (n*.a$o).
Concluons de Jà que toute* les fois que* dans 1-lquation complète du second degré , la quantité B*— »4AC est différente de o, il est possible de faire disparaître les deux termes en x et lis y, et, par conséquent, de ramener V équation primitive à la forme My* + Na^ = P. •
*a53. Supposons actuellement. que l'un des deux coefficient
■ *" ' US l}k&A>TIQ& J)U sJpO** DEOK& «99
M ou N. soit nul, ce qui exige (a° .^!}ïqnift,Po» |it*eiitre „ Jbs cpeiBcîens A, B, C de la, proposée la relation
Dans ce cas, l'une de* valeurs as*-a, fcsss — — -, se
présente sous la forme de V infini; et comme on ne saurait transporter l'origine à une distance infinie^ il est hnpftssitfe d'exécuter la transformation proposée* t- Et en effet , admettons , pour fixer les idées, que Pon ait
* L'équation (a) du n° a5o se, réduit à
My + % + Sx + F=«o;
. • et sM*oii. suJbplitue dans cette équation les valeur» »»*+c, jr = y-4*0, ilyient
Or, lé coefficient de xy dan* cette équation , étant îndé~ -. .pendant des indçtexpaïnées a et b , on- ne peut: disposer de celles-ci de manière a faire disparaître ce terme* , Mais ne pourrait-on, pas, du 190ÂD*, d*M ce- cas* faire évanouir le, ternie enjf.et la quantité indépendante de as et ;dey?. . f.. . . • ••"
Il suffi* * pour, cela, de poser , les équations de condition ,
aUfft + R==o, M6»+R4+Sa+F = o; d'où Ton déduit iss— -^r, a = — 7T T ■ ■
' De ces deux valeurs . celle de b est nécessairement réelle et finie, puisque (n° a5i) on ne peut avoir M=o en même temps que' N = o.
Quant à la valeur de a > si le coeflfcient S n?e& pas nul en même temps que 17 ; cette valeur est aussi réelle et fini*.
3oO MDUCTION
Ainsi, lorsque la disparition du terme en xy aura donna lien à celle du terme en a1, en laissant Subsister le terme en x , la transformation précédente pourra s'exécuter , et l'équation| de^la courbe, rapportée aux* nouveaux axes, sera ramenée à la forme
Mjr* + Sx = o ,
ou plutôt a celle-ci,
y =0* (en posant Q = — jj).
N. B. Dans le cas où l'on aurait M = o et R différent de o, on reconnaîtrait de même que l'équation pourrait être ramenée à la forme -
Nx* + fty œ o.
Mais en y changeant^ en x et x en y, ce .qui reviendrait (n° 2*3) à renverser la position des ases , on. retomberait sur Péquation
Ny*+Rx=o, ou ysaQx (en posant Qa= — §)•
254* Les deux cas particuliers de N = o, S = of ou de M=o, Rcso, font exception k la • transformation précédente, puisqu'alors la valeur de l'une des coordonnées a, b de la nouvelle origine se présente sous formé infinie. '.
Mais remarquons que l'équation (2) du n° 25 1 se réduit .à l'une des deux formes
My» + Ry + F=o, Nx» + Sx + Fsso; '
et comme chacune de ces équations ne renferme qu'une seule variable , elle représente (n° 1 76) un système de deux droites parallèles, soit k Taxe AX'ftfig. 143) , soit à l'axe AT.
255. Eh résumant tout ce qui précède, on doit regarder comme rigoureusement démontré que toute équation du &*-
j'E l'équation du s£conp bt.ckL dot
cond degré à deux variable* peut, par une' doubU transformation de coordonnées, être ramenée à l'une des deux formée
My' + Nar^P, y = Qr,
excepté dans un cas tout particulier, celui où, par la disparition du ternie en xy , le carré et la première puissance d'une même variable disparaissent également. Mais on sait qu'alors l'équation ne représente plus une courbe, mais bien, un système de deux droites parallèles.
On parvient a la première forme d'équation , toutes les fois que M et N sont différens;de o, c'est-à-dire (n° a5i) lorsque, dans [l'équation primitive, la * quantité B* — 4AC n'est pas nulle; et à la seconde forme, toutes les fois que les coefficiens* A, B, C sont liés? entre eux par la relation
B* — 4AC ss o.
On a vu d'ailleurs que, suivant que M et N sont de même
signe ou de signes contraires dans l'équation Mv'+Nj^s^P,
la courbe est du genre des ellipses (n° 23 1) ou du genre des
hjperboles (n° 239). Or, pour que M et N soient de même
signe, il faut (n° 25 1) que L'on ait Bs — 4AC<o,
■ et de signes différent, B* — 4^ > ° •
Dtoù l'on'peut conclure enfin que, dans l'équation générale Ày*+ Bxy + Cx»+ Dy + Ex + F = o ,
la condition B* — ^A£ < o caractérise les ellipses,
Bm — 4^C > o les hvperbales >
et B* — t\k£» s= o ...'...«.. les paraboles.
256. Ges courbes renferment d'ailleurs certaines variétés qu'il est bon de faire connaître.
Considérons d'abord l'équation *
%ft4-Nx» = P,
qui représente en général une ellipse ou une byperboje , suivant les signes des coefficiens M , N , P.
3o* . MÉlieCTlOK
. On pèojt toujours «opposer M positif , puisque , s'il était négatif, |t «uffifafe'dte changer les signet des dea* membres.
Cela poaé> il .peut se présenter difféfens «éas, par rapport aufc signes et vu valeur» dçs autres coefficient.
. Eixttssv. M^N poèitifi.
Soit P positif en même temps que M et N.
l/éqnation My*-4- N.ç* t= P représente (n* *3i) une . ellipse qui , dans le cas .particulier de M ses N , devant t/a ~ cercle (n° a3a).
I« cercle çst donc une première variété de l'ellipse. ' S! l'on a M et fit positifs et P négatif, l'équation est é?i-, demment impossible; c'est-à-dire qu'à des râleurs de x réelles il ne peut correspondre que des râleurs imaginaires pour^, * et réciproquement. Donc la courbe est imaginai™, on, en- • \ d'acres termes , l'équation nfa pas ^è Ken géométrique, où ' n* représente rien, » '•' •
. Soit Peso-, Péquation se réduisant à ' ■ '.. .*• i .
ne peut évidemment' être satisfaite que par le système* . ... .,'. - . (rssso, jf&=o). Donc la courbe se réduit a m/i point.' . '• *<
Ainsi Fettipse renfermé sgtnineyamtts, U eerohj une courbe imaginaire ou un point
Htterboi,E3. M positif, H négatif.
*' P petit être négatif ou posift/".
Dans le premier cas , Péquation My< — Kjî* == — P rep,&ente (n* 289) une hyperbole rapportée à ton ose trank^' * veree comme axe des X) $t dans le second (n° a4°) nne hyperbole rapportée à ean second axe. . t
Le cas particulier de Jï négatif, et numériqnehient égal à M , donne Y hyperbole èquitaiire*
Soit Paao. L'équation se réduit à
EU L*f QVATWtf DIT SBCONll DBGftL 3oS
et Ton «il lire y=s:fc xi/=rr.
Donc , dans ce cas, la courbe dégénère en un systelh* de deux
droites qw Me\fOupent.
'v Ainsi , les vanétés dé ^hyperbole sont l'hyperbole équtiatère
GlAUtnyitèm* de deu* droites qui et coypeuL ♦ Passons £ Féquation da» famj&quw :
Il peut arriver que Q soit posUifou négatif.
Dans le premier cas , l'équation représente évidemment une parabole dont le paramètre zp est égal au coefficient Q.
Dans k second , comme en changeant a;en*-ï, l'équation ^2= — Qx devient y*szQfc, il s'ensuit 90e. la courbe est encore une parabole ; seulement, elle est dûsjgea dans le sens des x négatif*, flfais en pliant la' figure suivant l'ax^ des j, on remet la figure dans. la situation ordinaire*
Le cas particulier discuté n° a54> et dans lequel on suppose / Naao, S*s* eu M = o, R = o, est regardé comme uns ' varUti fle la parabole, par. {a raison que M ==10 ou N 5= o est le caractère général de cette courbe*
Comme IN^ualiou Hy* +• fty »f F =t»o,
correspondante à ce cas, donne par sa résolut ir>n
il en résulte que j suivant que Pou a
R» — 4MF>o, =0 ou <o,
l'équation représente d*ux droites paralttksj une seule droite j * ou deux droites imaginaires.
Telles «ont les variété* de la parabole.
^57. Remarque sur la discussion précédente.
Dans la double transformation de coordonnées que nous
So4 BÉDUCTIOlf •&
avons exécutée pour ramener féqua tion générale du second degré à l'june ou l'autre des deux formes
nous sommes partis de la supposition que la courbe était d'abord rapportée A des aies rectangulaires; et ïe troisième système auquel op est parvenu était lui-même rectangulaire. Les trois genres de courbes du second degré se sont trouvés alors déterminés d'après des hypothèses faites sur les coefficiens M, N, P t r ' ■ '
Mais si nous supposons qu'une- courbe rapportée à des axes obliques, soit exprimée par l'une des équations ci-dessus, peut-on affirmer que. y pour les mêmes hypothèses faite* sur les coefficient, la courbe est du même" genre que dans le cas où les axes sont rectangulaires? i
Pour ré]fthdre à cette question» U suffit d'observer que chacune des trois courbes du .second degtfé offre dans son cours un caractère qui lui est propre, et qui peut servir à la distinguer des deux autres. t
Ainsi y l'ellipse , telle que nous Pavons définie (n° 236) , est une courbe rentrante- et fermés, ou trae courbe Umitie dans tous les sens.
L'hyperbole est «bft'<e0u*be composée de 4mx parties distinctes, égales et opposées, qui s'étendent l'une et l'autre indéfiniment.
Enfin , la parabole s'étend indéfiniment dans un êeul sens, et die n'a qu'une seule branche.
Or, ces trois caractères géométriques se reproduisent immédiatement par la discussion des deux équations ci-dessus.
En effet , considérons d'abord Féquatiou
et supposons M, N positifs. (On doit aussi regarder P comme positif , autrement l'équation serait impossible.)
Cette équation , étant résolue par rapport à y> doifne
de l'équation nu second degré. 3o5
*t/ï(ïr-)»
et l'inspection seule de ce résultat prouve qu'à des Taleurs de x positives ou négatives, numériquement plus grandes que
^ , il correspond des râleur, imaginaire» poorjr. Ainri , I.
courbe est limitée dans le sens des x positifs, et dans celui des
* négatifs f par deux parallèles a l'axe «tes y (fig. i44) menéea Fig. 144.
aux distances OB = + */^, OB'=— tA.
En véaelvavt l'équation par rapport à x , on reconnaîtrait de même qu'elle est limitée, dans les deux sens des y positifs et négatifs , par deux parallèles a l'axe des x menées aux distances OC = + y/|, OD^-^/|.
Dose la courbe est uns ellipse.
Soient actuellement M positif, N négatif et P négatif ou positif
L'équation résolue par rapport à y donne
Dana le premier es*, on voit que pour des valeur* de
x positives ou négatives, numériquement moindres que t /— • , les valeurs correspondantes de y sont imaginaires. En donnant à x des valeurs plus grandes que * /& »
on obtient pour y des valeurs toujours réelles, quelque grande que soit d'ailleurs la valeur de x dans les deux sens* Donc la courbe n'a aucun point situé entre les parallèles à l'axe
desjr {fig- i45), menées aux deux distances OB=-f- t/^, *lg.i45j
OB'=: — t/ai mais elle s'étend indéfiniment à droite et à
gauche de ces deux parallèles.
3o6 MOTIONS SUR LE8 DIAMETRES.
Dans le second cas, il est évident que, quelque valeur qu'on donne à x, on aura toujours pour y des valeurs réelles. D'ailleurs , si l'on fait x =±= o , ce qui donne
=- yw
oh doit regarder ces valeurs comme les plus petites de celles
fîg.i4& que peut recevoir y. Donc la courbe (fig. 146) n'a aucun
point compris entre les parallèles à l'axe des x menées aux
distances OB = -f» |/ïlï» ^'=— \/m> ma'8 c^e '*"
tend indéfiniment au-dessus et au-dessous de ces deux parallèles.
Ainsi , dans les deux cas, la courbe est une hyperbole*
Quant à l'équation
/ssQij d'où y s= dbi/Qx,
Fig.i47« 11 est clair qu'elle représente (J!g. 147) une courbe indéfinie dans le sens des x positifs, si Q est positif, et dans le sens des x négatifs , si Q est négatif.
a58. Notions sur les diamètres dans les courbes du second degré.
On appelle , en général, diamètre d'une courbe, une ligne, droite ozt courbe , quipo&se par les milieux de toutes les cordes parallèles entre elles, et menées sous une direction arbitraire.
Il résulte de cette définition que ehacun des axes auxquels la courbe M y* + Nx* = P se trouve rapportée, est un diamètre. En effet , puisqu'à une même valeur de x i\ correspond deux valeurs dey égales et de signes contraires, et réciproquement , il s'ensuit que l'axe des x passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à l'axe des y\ que celui-ci passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à l'axe des x.
On donne la dénomination de diamètres câfjvovis à deux
MOTIONS SUR LES DIAMàtHBt.' 36)
diamètres tels que chacun feux divise en deux parue* igateè toutêe les cordes parallèles à Foutre; et, d'après cette définition , les deux axes ci-dessus forment un système de diamètres conjugués* On dit , dans ce cas , que l'équation
My* + Nx* as P
représente une ellipse on une hyperbole rapportée à nu système de diamètres conjugués.
Quant aux deux axes pour lesquels l'équation d'une courbe est de la forme y9 = Qx , il est évident que l'axe des x seul est un diamètre; l'axe des y est tangent à la courbe > puisque pour x = o , on trouve y* s= o.
Le système de ces deux axes s'appelle* dans la parabole, un système d'axes conjugués.
259. Nous allons faire voir maintenant que , dans les .trois courbes du second degré, tous les diamètres sont des fignes droites qui, pour f ellipse et V hyperbole, passent par le centre* et pour la parabole, sont parallèles entre eux et à Faxe principal.
Pour reconnaître celte propriété par l'analyse, nous nous proposerons cette question générale :
Trouver dans l'une quelconque des trois courbés, le lieu géométrique des points milieux d'une suite de cordes parallèles entre elles et menées sous une direction arbitraire.
Cette question est facile à traiter : elle se réduit à combiner l'équation de la courbe ( rapportée à ses axes ) avec celle d'une droite quelconque , à déterminer les coordonnée* des deux points d'intersection, et à en déduire ensuite les coordonnées du point milieu de la distance comprise entre ces deux points.
Considérons a la fois l'etlipie et l'hyperbole dont Péquation est ( n°* 220 et a35 )
Ay ±, B'x* s= ±. A»B* (1)
(Les signes supérieurs se rapportant à l'ellipse et les signes inférieurs à Fhyperbole.)
3oÇ KMHiM WA un mAxtoaas.
&Mt MM' upttlr*itoquel<»iiqtte ($f. i46, 149) ayant pour
équation • y = ax -f-4. . . • (a)
Substituons dans l'équation (1), pourjf, s* valeur tirée de l'équation (a) j il vient
(A*oi±:B»)a^ + aA,ai.^+ A^q: A»Bt«= o. . . (3)
Cette équation résolue donnerait les abscisses des deux points ft£, M'; mais ce calcul est inutile. En effet , soient x',y' et x*t y* les coordonnées de ces deux points; on a (n° 190) pour celles «, C du point milieu N de la droite MM',
ffmk autre eAté, Fon sait que, dans tonte équation du second degré , le coefficient du second terme , pris en signe contraire^ est égal à la somme des racines ; on a donc
Aâas :*: B»'
et par conséquent, « «s — " t ■ ,
Pour obtenir la valeur correspondante de Ç, remarquons que | Je point («, C) ae trouvant sur la droite y ss» *#-+*(, ce qui donne la relatipn Qz=:a<L + b7 tout se réduit à mettre pour « sa valeur dans cette relatipi*, et il vient
r AVi • ■ - - ±B»&
Ç — AVilF + ^Av'i B*'
Divisant actuellement Ç par •, on obtient
g rpB* ï"~ AVr '
Or» comme ce résultat est indépendant de la quantité b qui fixe la position de la corde MM' ( a en déterminé la dire©-
lion ), il Cessait que fi Fou désigne par ef9C9fk 9 ff\ . . ii s coordonnées des points milieux d'autres cordes parallèles à la première, on trouverait pareillement
C 3rB* C =B*
Àâa ' m" À*a
Donc , en représentant'géaéralement par x , y les coordonnées de tous les points milieux, la relation
convient à chaéun d'eux, et représente par conséquent leur lieu géométrique; mais cette équation est évidemment (n* 173) celle d'une droite passant par l'origine. Ainsi tous les diamètres de l'ellipse et de l'hyperbole sont des lignes droites passant par le centre.
Réciproquement , toute droite menés par le centre est un diamètre; car si l'on désigne par d la tangente de l'angle que forme cette droite avec Taxe des x, et qu'on pose la relation
et en menant une suite de cordes parallUes qui tendant avec l'axe des x un angle ayant pour tangente cette valenr du «v on anra, d'après ce qui vient d'être dit, pour l'éqoation du lieu géométrique des points milieux de ces cordes ,
qui n'est antre chose que l'équation de la droite donnée* Nous reviendrons tout à l'heure sur cette équation.
