Passons à la parabole

Son équation .étant ^ssapx, (0

et celle de la droite MM' 0^. i5o), y=szax + b> (2)*Vi5°<

3io wnnn m u» BUKftntn.

pn déduit de celle-ci , x = /"""" i

d'où 9 substituant dans l'équation (i) ,

ce qui donne pour la valeur de l'ordonnée Ç du point milieu N ,

résultat indépendant de la quantité b> et qui convient, par. conséquent, au point milieu de toute autre corde parallèle à MAI .

Donc, en appelant y l'ordonnée générale de tous les points

milieux, on a y=- pour l'équation de leur lieu géomé-

trique ; mais cette équation est évidemment celle d'une droite parallèle à l'axe des x. Donc enfin tous les diamètres de la pa? rabole sont des droites parallèles 4 l'axe principal.

Réciproquement , toute droite parallèle à Vaxe principal est un diamètre f car soit y' 1 ordonnée constante de cette droite.

En posant ycs*-9 on en déduit a = -7 ; et si l'on mène

des cordes faisant avec l'axe des x un angle qui ait pour tan-* gente cette valeur de a, l'équation du lieu géométrique de leur* points milieux sera

y—^> ^est-à dire y =/,

pu l'équation de la droite donnée.

261. Conséquences de la proposition précédente. Considérons une suite de cordes parallèles au diamètre II'' Fig. ifô(jig. 148 et i49)» dont l'équation est de. la forme

y = ax.

^'équation du lieu géométrique des points milieux de toutes,

NOTIONS lUE LIS DIAMETBXS. 3ll

ces cordes est, connue nous Parons ?u (n° a5g),

en posant a'= ^— ; ce qui donne la relation

Àfta

aa ss t-»«— .

entre les tangentes des angles que forment, avec Paxe des x, le diamètre II' et le diamètre hV passant par les milieux des cordes parallèles à IF.

Mais si l'on cherche ^ réciproquement, l'équation du lieu géométrique des points milieux de toutes les cordes parallèles à LL' ( dont l'équation est y = a'x ) , on obtiendra pour cette équation ,

yzs^-yx, et par conséquent , y = aa?? d'après la relation ad = zp — ,

On voit donc que les deux diamètres II', LL' forment un système de diamètres conjugués (n° 258).

De là résulte un moyen, connaissant la direction d'un diamètre , de fixer celle de son conjugué :

Soit II' le diamètre donné. Tracez une corde quelconque MM' parallèle à IF, puis joignez le point O au point milieu dç MM'. La ligne de jonction LL' sera le diamètre demandé.

26a. Comme le diamètre II' a été tracé arbitrairement, il s'ensuit que, dans toute ellipse ou hyperbole > il existe une »/ifinité de systèmes de diamètres conjugués.

Mais de tous ces systèmes, un seul est rectangulaire, c'est celui des axes principaux qui, d'après la forme de l'équation de la courbe, forment aussi un système de diamètres conjugués.

Pour démontrer que le système des axes est en effet le seul

3 1 a mmsr s sua u» *»i amàysss.

système de diamètres conjugués perpendiculaires smêm eu** me

considérons d'abord que l'ellipse.

Pour que deux diamètres soient perpendiculaires entre eux , il faut (n° i55) qu'entre a et a' On ait la relation

aa'=z— i.

De plus, pour qu'ils soient conjugués , on doit avoir

au = — — .

Or , il est évident que ces deux relations ne peuvent ,

en général , exister simultanément que dans le cas de

— sa x , d'où A = B ; et cette dernière condition n'est vraie

que pour le cercle.

A la vérité , si l'on fait a ss o dans les deux équations , on trouve pour l'une et l'autre, a' = 00. Ainsi ces équations s'accordent entre elles pour ce cas particulier; mais alors le système se confond avec celui des axes principaux*

Donc ce dernier système est le seul système de diamètres conjugués qui puissent se couper à angle droit.

Dans le cas tout particulier de A = B, la relation aa=z~ 1 est satisfaite, çuel que soit le système de diamètres conjugués; ce qui prouve que , dans le cercle , il existe une infinité de systèmes de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux : et , en effet, l'équation du cercle rapporté à un système quelconque d'axes rectangulaires passant par le centre, est toujours de la forme

y* -f- xa = Aft (A étant le rayon ). .

Quant k l'hyperbole, il est clair que les relations ûd'as— 1,

B* aa'= + ~ ne peuvent exister simultanément que lorsqu'on y

fait a ar o , ce qui donne a' as 00 , ou réciproquement , a =s 0 , ce qui donne ûs=oo; mais , dans l'un et l'autre cas, on retombe sur le système des axes principaux* Dans la parabole, l'équation d'un diamètre quelconque LL'

«BOB .&■* BlAMÈmMi. 3l3

iflg. 1 5o) étant (nq a6o) fîS l5c-

^ = 2, d'où esc?, •

pour que les cordes divisées en deux parties égales par ce diamètre , lui soient perpendiculaires, il faut que la tangente a relative à la direction de ces cordes soit infinie, ce qui ne peut avoir lieu évidemment que pour y^zo.

Donc l'axe principal est le seul diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales.