T = T' ^TV
nous montrent que plus x augmente, plus les ordonnées Y et y augmentent; et lorsqu'on suppose x infini, Y et y deviennent elles-mêmes infinies.
Cependant nous allons faire Toir que la différence de ces ordonnées peut, par la supposition de x suffisamment grand, devenir plus petite que toute ligne donnée, et qu'elle se réduit rigoureusement à zéro lorsque x est infini.
En effet , des équations
on tire
Y*-^ = B'; d'où Y-y^^-j--.
Or ï et y augmentent en même temps que xt et deviennent infinis quand x est infini ; donc , dans les mêmes circonstances , la différence Y — y diminue et finit par devenir nulle. C. q.f. d.
D'où Ton voit que la droite y = — x est telle que l'ordonnée de la courbe, ou -r x. y ï -, approche de plus en-
plus de devenir égale à celle de la droite; et elle lui devient en effet égale dans le cas de x= co.
Ainsi la courbe se rapproche sans cesse de la droite RRr, et autant que Von veut* sans pouvoir jamais l'atteindre autre part
qu'à l'infini.
Comme la même chose a lieu par rapport à la droite SS', nous pouvons conclure que les droites RR'; SS' sont asymptotes
à la courbe.
N. S. 11 résulte évidemment de la discussion précédente» que l'hyperbole est entièrement renfermée dans les deux an*
3a6 HOTLOha «g* L*S ASYMZTOTSS.
gles ROS, R'OS', c'est-à-dire qu'elle n'a aucun point situe dans les angles ROS', R'OS*
265. Je dis actuellement que ces droites sont les seules asymptotes rectilignes qui existent dans le plan de l'hyper— bole.
Pour le démontrer, il suffit de combiner l'équation de la courbe
A*/ — B'js' = — A'B*, ... (i)
avec l'équation générale d'une droite
y = ax + b9... (a)
puis, d'exprimer que les points d'intersection de cette droite avec la courbe sont situés à l'infini; ce qui est la propriété caractéristique des asymptotes.
Substituons dans l'équation (1), à la place de^y, sa valeur tirée|de l'équation (2) , il vient
(Àfaa — B») x* + zk'ab . x + Aa6a + A9B* = o . . . (2)
Or on sait , d'après la théorie des équations du second degré, que les deux racines ne peuvent être infinies à la fbi*> qu'autant que l'on a en même temps
À8aa — B* = o, A*ai = o.
La première de ces deux conditions donne
Quant à la seconde , comme A et a ne sauraient être nuls* elle donne nécessairement
Ces deux valeurs de a et de &, portées dans l'équation (s),
donnent enfin
Rg, 1 jj> ce sont les équations des droites RR', SS' (fig. 149)-
yothv» mtb Lts A^rtfrttatw, 317
Ainfi Ott droites «ml iee seules asymptotes (rcctilîgnfesyqu'ô puisse «voir la courbe.
N. B. Si Pou avait seulement la condition
AV- B«=o,
le coefficient de x étant différent de o , l'une des racine* de Péquatibn (3) serait infinie * et l'antre se réduirait à une quantité finie, {
L'équation (a) deviendrait d'ailleurs, dans cette hypothèse ,
y 2=t zh y * + *
(i restant arbitraire) , et représenterait nne droite parallèle a l'une ou à l'autre des asymptote» JRB,'r .$&'; ne qui démontre que les parallèles anx asymptotes jouissent àe* la propriété de rencontrer la courbe en deux pofa$e situé** Kitn m une -distance finie * l'autre à une distance infinie*
266. On pourrait demander si fa parabole , qui est nne" courbe indéfinie dans Un sens, a des asymptotes ( recU-r
Pour le reconnaître , combinons l'équation de la courbe
y%=s zpx (1)'
a?ec l'équation d'une droite y = ax + b. • . (2)
Cette combinaison donne
a*x» + a(aA — p) x + ^= o. . . . (3)
Or , pour que la droite soit asymptote , il faut que les deux valeurs de x % tirées de l'équation (3), soient infinies* et, par conséquent! que l'on ait à» la fois
<j = o, ab — peso, d'où i=^.
Ce qui démontre que, si la parabole a des asymptotes , elles nç peuvent être que parallèles àfaxe principal et situées à une dis-
3l8 DBFUlITION ANALYTIQUE
tance infinie du sommet de la courbe; en d'autres terme*, qu'elle n'en a pasj puisque la construction de ces droites sur le plan * de la courbe est impossible.
Dans le cas où l'on aurait seulement a = o , le coefficient de x restant d'ailleurs quelconque dans l'équation (3), l'une des deux racines de cette équation serait infinie > et l'autre une quantité finie.
Donc toutes les droites qui ont pour équation1
c'est-à-dire tous les diamètres (n° a5o) , jouissent de la propriété de rencontrer la courbe en deux points situés , l'un à une distancerai*, l'autre à une distance infinie.
267. Définition analytique de* foyers. En recherchant l'équation de chacune des trois courbes du second degré (n°* 228, a35 et 242) d'après leur définition géométrique , nous avons trouvé pour les expressions des rayons vecteurs & et *', savoir :
dans l'ellipse,... . 4= A — -j-, *' = À+ — ,
dans l'hyperbole,.. a±= — — A, a/ = --- + A,
et dans la parabole qui n'a qu'un seul foyer, s x= x -f- -.
Ces résultats sont remarquables en ce que chaque rayon vecteur est exprimé en Jonction rationnelle de l'abscisse du point que l'on cousidère sur la courbe.
Les foyers jouissent, exclusivement à tout autre point, d'une semblable propriété, et pour le démontrer, nous nous proposerons la question suivante : l'une quelconque des trois courbes du second degré étant rapportée à ses axes principaux j trouver dans son plan un point tel que sa distance à un point quelconque de la courbe soit exprimée en fonction rationnelle de l'abscisse de ce dernier point.
(Cette propriété pourrait servir de définition aux foyers dans
• DBft VOTMM». * 3lÇ
les courbes du second degré, si l'on supposait que l'on fût parvenu aux équations A*y% zh B*x* = db A*B*, y* =ss ipx , par la transformation des coordonnées.)
Traitons d'alx>rd la question par rapport à l'ellipse.
Désignons par x'y y les coordonnées du point cherché ,' et par x,y celle d'un point quelconque de la courbe. L'expression générale de la distance entre ces deux points est y comme on l'a vu (n° 117),
D%=,\/(x-x'y + (y-sy,
ou, développant et mettant à la place de y sa valeur tirée de l'équation de la courbe Ay + Bax' = A*B%
k*-j^x*>-i.x'x+x'*+&+y''— 2/. Il/A*— x\
Or, puisqu'on demande que la valeur de D soit rationnelle
en x y il faut, à plus forte raison, que son carré soit rationnel,
ce qui ne peut avoir lieu, quel que soit x> qu'autant que le
terme %y . — y A* — x* . disparaîtra; mais on ne pieut avoir |/A* — x* = o, puisqu'il eh résulterait
i=±A, d'où jr = o ;
et alors ce serait considérer un point particulier de la courbe.
Donc il faut que l'on ait y'±=oy ce qui démontre déjà que s'il existe des points susceptibles de satisfaire à l'énoncé de la question , ces points doivent se trouver sur l'axe des abscisses.
La condition j/ = o réduit la valeur de D à
/A* — Ba D = y A% x* — 2x'x-r-x" + B*.
Or, on sait déjà que pour qu'un trinôme du second degré, mx* + nx+p> soit un carré parfait, fl faut que les coeffi-
ciens m, n, p soient liés entre eux par la relation
n* — fimp = °;
3ao viwixmaa analytique
appliquant cette condition à l'expression ci-dessus, on doit
avoir 4*"-- 4.^=2!.(^»+B*)=:o,
équation d-ok Ton tire , toute réduction faite,
x'â = Aft — B% et par conséquent, j!=±.\/Il*— B*, ou , posant pour plus de simplicité Àâ— B* == c*t
Portons cette double valeur de x$ dans l'expression de D ; il vient .
D= \/ ^x»=p2ça?+A§, .
donc D = ± (— zp À \
Comme on ne doit avoir égard qu'aux valeurs positives 4e
D, et que l'on a c < A, d'où -r- < Aâ pujsque a? est tout
au plus égal à A, il s'ensuit que si Ton appelle z et %' le^ deux valeurs de D correspondantes à ar' = -f- c et j/z=—c9 on obtient enfin
A C* ' A l Ca? '
Ainsi l'on voit que les points qui jouissent de la propriété énoncée sont au nombre de deux* qui se trouvent placés sur le premier axe, à droite et à gauche du centre, à une distance
. c = |/Am— B*.
En répétant absolument les mêmes raisonnemens , par rapport à I'hyperbole, on serait conduit au résultat
a/«±V/A»+ B* = d=c (l/A*-T-B»=:c); et les deux valeurs de O seraient , à cause de — > A ,
DW fOYEBS. 321
ex , ex
Quant à la parabole, on obtient par la substitution de la valeur y = dz{/zpx dans l'expression générale de D ,
D = V** — 2 (x'— p) a: 4- x'a+/*+ a/ \/apx.
Comme le terme %y^ipx doit d'abord disparaître, il faut que Fon ait y as o , ce qui réduit D à
D = v/x* — 2(x' — p)jc-+.;r'*;
et pour que cette fonction de x soit rationnelle , on doit avoir la relation
d'où l'on déduit ^=-,
râleur qui , reportée dans celle de D , donne enfin
x* + px -+- y- = x + - .
A*. 2?. L'équation de condition étant du second degré jeu x/, doit donner en apparence (deux valeurs ; mais comme les deux termes en x'* se détruisent , il s'ensuit que l'une des racines est infinie, et par conséquent, que le second foyer est situé k l'infini sur l'axe principal : cela tient a l'analogie établie (n° a44) entre la parabole et l'ellipse.
On trouvera peut-être que nous nous sommes trop étendu
sur ces premières notions; mais nous avons cru devoir en-
* trer dans tous ces détails, afin de donner aux commencans
des idées nettes sur les élémens des trois courbes du second
degré.
3a?. DES SECTJOPS DU CÔNX.
§ IV. Identité des courbes du second degré avec les
sections du cône.
268. Les courbes du second degré sont aussi appelées sac* tions coniques,, parce qu'on les obtient en coupant un cône par un plan, et que ce sont les seules lignes qu'on puisse obtenir.
Pour le démontrer , proposons-nous de rechercher l'équation de la courbe qui résulte de l'intersection d'un cône droit Fig.i5i. SÀDBE (fig. i5i ) par un plan quelconque.
Soient SG l'axe du cône, CD le rayon de la base, LL' la trace du plan sécant sur celui de la base, et OMOTtf' la courbe d'intersection.
Abaissons du point C, CG perpendiculaire sur LL'; puis, par SG et GG conduisons un nouveau plan (que nous appellerons plan principal; c'est ainsi qu'on nomme tout plan qui passe par l'axe du cône); l'intersection de ce plan arec celui de la courbe est une droite O'OG perpendiculaire à LL', d'après une proposition connue des plans, et c'est 'cette ligne OC que nous prendrons pour l'axe des x\ OT parallèle à LL', ou perpendiculaire à OCX, sera l'axe des y.
Par un point quelconque P de OO', concevons un plan parallèle à la base, et dont l'intersection avec le cône est, comme on le sait déjà , une circonférence de cercle. Ce plan coupe le plan principal suivant 1H parallèle à AB, le plan sécant suivant une ligne MPM' parallèle à LL', et, par conséquent, perpendiculaire à la fois à OQf et IH ( puisque LL' est eBemême perpendiculaire à GO et à GC).
Maintenant , faisons
OP = *, MP = y, SO=a9 angle SOO' = «,
angle OSO', ou ASB = C: d'où ASC =ic,
et SAB = ioo° — if.
DM SECTIONS 00 COKE. 323
Cela posé,'Comme MP est ane ordonnée commune au cercle et à la courbe, on a (n° 166)
/ = IPX PH,.... (t)
et la question se réduit à déterminer IP, PH en fonction de x et des quantités données.
Or, le triangle OIP donne *
ip : op :: sin iop : sût oip,
ou, à cause de sin IOP sa sin SOC = sin «,
sin OIP aa sin SAB = co* - g.
ip:x:: siri«:cosic; donc ip = ^±în-?.
2 cos £ £ *
Ayant de déterminer PH, recherchons la valeur de OCon a, d'après le triangle SOC, '
oa : os :: sin ose : «noo's, ou oo' : a :: sinff : sin(«+g);
d'où oc ss a8ÏnC
sin(*+g)-
Onendéduit PC = OC — OP = — î!*ï£ ^
sin(#+g) x#
Actuellement, le triangle PO'H donne
ph : PC :: sin pch : «n phc,
ou bien, ^ :8l^^x::8in(# + C):c08ie;
donc PH g«ng — giinfa + ft
cos^g
Substituant les valeurs de IP, PH dans l'équation (i), on obtient pour l'équation de la courbe cherchée,
» a? sin et /flsin g — a:sin(g4- g) \ cosig\ cSsl? /'
324 D£8 seotions du cOnb.
sin
ou
y* = y ^ [asinC.x — sin (< + {).«*].. .. (a)
269. Cette équation étant du second degré/ il s'ensuit d'abord que toutes les sections coniques sont des courbes du second degré.
De plus» en la comparant à l'équation yB = zpx + <}**> qui (n° 246) représente une ellipse, une parabole, ou une hyperbole, suivant que q est négatif, égal à o , ou positif, on reconnaît que la section est une ellipse , toutes les fois que le
coefficient — sin«* . , „ est négatif; une parabole,
cos ïb ° r
si ce coefficient est nul; et une hyperbole, lorsqu'il est positif.
Mais remarquons que, dans l'expression de ce coefficient,
cos* - € est une quantité essentiellement positive; il en est de
même de sm ce, tant qu'on suppose a, compris entre o° et 2000. ( Or, nous Terrons tout à l'heure qu'il est inutile de lui donner des valeurs plus grandes. ) Ainsi le coefficient de x* dépend uniquement du signe de sin (et -f- £)•
Gela posé, afin de mettre le plan sécant dans les situations propres à donner toutes les sections coniques possibles , nous supposerons que ce plan tourne autour de la ligne OT (fîg* *5i ) comme charnière, en sorte que la ligne 00', cPabord couchée suivant OS , forme ensuite tous les angles possibles avec OS.
En premier lieu, la droite OG étant couchée sur OS, la trace du plan sécant sur la base est une tangente KK' à cette base, et il est visible que le plan touche la surface suivant AS; ainsi la section est, dans ce cas particulier, une ligne droite.
En effet , soit et = o , l'équation se réduit à y% = o.
Supposons actuellement que la droite GOO* soit dans une position telle, qu'elle rencontre les deux génératrices SA, SB
DM SXOXJONS OU CÔW5. 3&5
d'un même cèté du point S ; on a évidemment , dan* oe cas , * + C<aoo°, d'où wi(« + C)po«fc/, et — sin (« + 0 négatif; donc, la courbe est un* ellipse. En effet, on obtient alors une courbe rentrante et fermée.
Dans cette même circonstance! l'angle « peut être égal à l'angle SOR, c'est-à-dire qne la droite OC peut devenir parallèle à AB; or, *=SOR = SAB = ioo°— -C, donne
sin* =cos - C,et sin (• + £) = «inf iooa+i£j = eos^tf; „ , sin « sin (• + C)
doù — coTIT™
L'équation devient alors de la forme ^* = arx — x*j et l'ellipse dégénère en une circonférence de cercle, ce que nous savons déjà.
Lorsque la droite OG , continuant de tourner , vient dans une position parallèle à la génératrice SB (fîg. i5a), le plan Fig.i*sécant devient lui-même parallèle a cette génératrice, et le triangle SOO' cesse d'exister, ou son sommet (f est situé à une distance infinie ; on a, dans ce cas,
« -f. £ = aoo#, d'en sin (• + C) = o .
Ainsi, la courbe est une parabole. Cest en effet une courbe qui s'étend indéfiniment au-dessous de la charnière OT.
Mais quand la droite OG (fig. i53) se trouve dans uneFîg.i53. position telle, qu'étant prolongée au -dessus de la charnière, elle rencontre la génératrice SB dans son prolongement en O' , on a évidemment alors
« + C> 200° , d'où sin (« + C) négatif, et — sîn (« +0 positif
La courbe est donc , dans ce cas, une hyperbole. On voit , eu effet , qu'elle se compose de deux branches opposées- qui s'étendent indéfiniment sur l'uQe et l'autre nappes de la surface conique.
3a6 DU SECTIONS MF CÔMB.
La droite OG Tenant à se confondre avec Oà, la trace du plan sécant redevient tangente en A à la circonférence de la base; et la section se réduit de nouveau à une droit*.
En effet, «= 200° donne sin «= o , d'où y* = o.
Lorsque l'angle « devient plus grand que 2000, la droite GO
Fig. i5i. (fig. i5i ) prolongée, reprend les positions qu'elle avait prises
d'abord ; et J'on retombe sur les mêmes courbes. L'angle * doit
donc rester compris entre o° et 200% comme nous l'avions
établi plus haut.
Soit, comme cas particulier, a = o; ce qui correspond à la supposition que le plan sécant passe par le point S.
L'équation générale devient alors
J COS'ï* ' v
et il peut se présenter trois cas :
On l'on a (Jlg. i5i)
*-+"£<2oo°, d'où sin(« + C)>o et — sin («+£)< **
on négatif. Dans ce cas, il est visible que l'équation ne saurait être satisfaite que par x=o, y = o-f ainsi, la courbe se réduit à un point qui , comme on l'a vu (n* 256) , est une variété de l'ellipse- Cette circonstance* lieu, lorsque la droite GO prend une position SN intérieure à l'angle A'SB, puisque
l'on a évidemment A'SN -J- ASB ou « + C < 200°.
Fîg, i5a. Ou bien, l'on a *+C=20o°, d'où sin (**\-C)=o (fig. i52);
et l'équation se réduisant à y* = o , la section devient encore une ligne droite j qui n'est autre cbose que SE Cest une variété de la parabole.
Enfin, on peut avoir « -f" £>2oo°j d'où — sin(«+C) positif.
L'équation (3) prend alors la îormey=dbxt/ ~s — - >
et représente un système de, deux droites qui se coupent.
