DIS MOTION» DV CTLXKDH

- Cette circonstance a lien lorsque la étroite OG passant par le point S [fig. i53) , rencontre AB entre les points A et EL 11 Rg. i£3. est visible que le plan sécant détermine alors sur la surface du cône , deux génératrices SD, SE; c'est un cas particulier de l'hyperbole.

Nous pouvons conclure de cette discussion, que le cône droit j par ses intersections avec un plana donne lieu aux différentes courbes du second degré et à leurs variétés. Les dimensions de ces courbes dépendent de trois élémens principaux» savoir : l'angle au centre du cône , ou C, qui peut être aussi petit ou aussi grand que l'on veut; la distance a du sommet au point de la génératrice SA , par lequel on fait passer le plan, et cette distance peut croître depuis o jusqu'à l'infini; enia>, l'angle * qui doit rester compris entre o* et ao©°.

N. B. Le système de deux droites parallèles qui est, comme on l'a vu y une variété de la parabole , semble faire exception à la conclusion précédente» Mais nous allons recoanattse qu'on peut également l'obtenir dans la supposition de C = o , supposition qui fait dégénérer le cône en un cylindre.

370. Cherchons d'abord l'équation des sections cylindriques. Avant d'introduire la condition C= o dans l'équation fâ) , il est nécessaire de lui faire subir une légère modification.

On a trouvé (n° 268} , pour la distance OC ,

ruv a sm C

sm (ce -f- b)

Désignant par aA cette distance, on peut donner à l'équation, (a) la forme suivante :

sin«sin(«4-g) y côs**C (*Ax — *■)... (4)

Cette équation est, en apparence > plus simple que l'équation (a); mais il n'eut pas été aussi facile d'en déduire toutes' les sections coniques, parce que À devient infini, dans l'hypothèse de la parabole.

3*8 DIS MICTIONS DV CTUNDBB.

Faisons maintenant C=o; ce qui réduit le cône à un cy- R*i5flindre0^. i54).

Il en résulte sin (# + C) = sin « et cos - C = i. D'un autre côté, le triangle rectangle OO'K donne

OCX ou 2A= -r-7v77iF = -:

sin O OK. sin «

(r désignant le rayon de la base); donc l'équation (4) se réduit à

j^rrsarsina.x — x*sin*a... (5)

Telle est l'équation' générale de F intersection d'un cylindre par un plan.

On peut y parvenir directement d'après la figure actuelle.

On a d'abord MP ou y* — PI X PH ;

mais les triangles OIP, 0/PH donnent IPaexstn*,

PH = PO' sin cl = (a A — x) sin «;

ou, à cause de aA = -r— ,

7 sin#

PH=/-: — — x )sin*=:2r— «sin*. Donc, Asin a /

/=* sin * (ar — - a: sin ») = 2r sin a. . x — x* sin'a.

Comme dans l'équation (5), le coefficient de x* est essentiellement négatif (excepté pour « = o , cas que nous examinerons tout à l'heure) , il s'ensuit (n° ifô) que foufe section cylindrique est une ellipse; et si l'on compare cette équation avec celle

B* de l'ellipse rapportée à son sommet, ^*=— (aÀx — xft), on

reconnaît que le premier axe aA a pour valeur —

sin a

Pour obtenir le second , il faut poser -j- = sin* «; d'où. . .

B* = A* sin* a = r*; ce qui prouve que le second axe est constant et égal au diamètre de la bas*.

DBB SXCTIONS DU CTUNDUS. 3*)

Ainsi! les sections cylindriques sont des ellipses ayant un axe commun.

Actuellement, il s'agit de déduire de l'équation (5), le cas particulier du système de deux droites parallèles.

Si Ton fait « = o dans cette équation, elle se réduit à /=o, qui n'est autre chose que l'équation S une seule droite; c'est celle de la droite AA'. Tant que l'on supposera que le plan sécant tourne autour du point O de la génératrice , il est clair que, dans l'hypothèse de * = o, on ne pourra jamais trouver que y* = o; mais si l'on fait tourner le plan autour d'un autre point de OC , le plan donnera évidemment deux génératrices de la surface , dès qu'on fera a sa o.

Prenons, par exemple, le point G pour centre de rotation, et par conséquent , pour origine des coordonnées.

Soient

CG=6, CA=r, d'où AG=i — r, OG=^^ = ~;

sin GOA sin »

nous poserons dans l'équation (5), xsx-^ ; et il

sin «

viendra

3^= 2rsin« f x : } — (x — — : J sin*«,

\ sin«/ \ sin a y

ou

^*=arsin a . x — *r(b—r) — x* sin* «+2(6 — r) sin « • x — (A — r)tt , ou simplifiant , y* = — x* sin* « + ai sin et . x -f- r* — b*.

Telle est l'équation générale des sections cylindriques rapportées au point G , comme origine.

Soit fait maintenant et = o , d'où sin « = o ; l'équation se réduit à

y*=r*— b\ d'où y = ± V> — *'.

Ce résultat exprime évidemment la position d'un système de deux droites parallèles (fig. i55); mais pour que ce système Fig.i 55.

33o des mmums nv efas oauqpB.

soit réel , 0 fcat que l'on ait A,<r, c'est-à-dire que b distance GG soit moindre que CA..

Si l'on suppose * = o, l'équation devient yzz db r; c'est le système de deux génératrices dont le plan passe par l'axe du cylindre. Dans le cas général, on a deux génératrices quel» conques, telles que EE', FF'.

De la section anti-parallèle à la base, dans le cône

oblique.

371. Le cône oblique, à base circulaire, donne également lieu aux trois courbes du second degré; mai» il fouit en outre d'une propriété qui n'appartient pas. au cône droit : c'est que le plan sécant y produit des circonférences de cercle, son* deux inclinaisons différentes par rapport à la base.

Commençons par rechercher l'éguation générale de l'intact section.

Fig.i5& I^>urcela,nousrépéteronssurkc6neoMiqueSADBE(l/^>.i56)^ la même construction que sur le cône droit (n° 267); seulement, nous observerons que , comme l'axe du cône , SC , n'est plus perpendiculaire à la base, la trace LL' du plan sécant sur celui de la base est bien perpendiculaire k GC par construction, maisne l'est pas nécessairement à GO' ; d'où il suit que la ligne MM' intersection du plan sécant avec le plan parallèle a la base, mené par le point P, est perpendiculaire à IH, mais oblique par rapport à OO'.

D'après cette observation, puisque MP est toujours perpendiculaire à IH, on a la relation y* = 1P X PH.

Or, on trouvera comme précédemment t IP = — : — j- ,

00'=r^îs, d'où PO'=00'-OP = ^i™£__x,

(sin« + w) sin(«-f~»)

et par conséquent,

BBS SSO'fJDIfS DU CONB OBLIQUA»

__ PO* sin (• -f- €) a sin C — x sin (* + £) ~ 6in PHCX — sinB '

[les angles A , B, formés à la base du cône , sont liés avec l'angle C par la relation

A-M + Cssaoo*; d'où sinB = sin (A+C)].

Ainsi, la valeur de j<* devient, toute simplification faite,

sin « sin (« + Q / c»i*g A

* sinAsin(A + e)XVsin(«4-0 J

Cette équation représente une ellipse, une parabole ou une hyperbole , rapportée à un système d?amt% obliques * suivant que sin 0 + C) est positif, égal à o,ou négatif \ ou bien, [suivant que l'on a

« -f» C < 200°, = 2oo°, > 2000.

(Voyez ce qui a été dit n°* 2S7 et 258, en supposant toutefois l'ellipse et l'hyperbole rapportées à l'une des extrémités d'un des diamètres conjugués.)

27a. Je dis maintenant que la courbe d'intersection peut être un cercle de deux manières différentes.

Pour le démontrer, mettons l'équation sous la forme

. sin m sin (ce •+- O ft * *i™ «c sin C

r + sinAsin(A + C)#a? "~ sin A sin (A + O**"

Gela posé, soit d'abord * = A, ou le plan sécant parallèle à la base; il en résulte

sin « = sin A, sin (* + £) = sin (A+C)

,, , sin « sin (* + C) .

' sin A sin (A + C) — * '

Soit encore « = B = 2000 — (A + C)j.

il en résulte sin « = sin (A 4- £),

et sin (# -f- C) = sin (200° — A — C + C) = sin A;

332 DEff SECTIONS DU C&iB OBUQUB*

„ , sitl « sin (* •+- C)

d'où - — > '. — £- = i .

sin (A + *j «a A

Dans ces deux hypothèses , m == A, « = B, l'équation prend la forme ^y* -f- xâ as Kx de l'équation do. cercle (n° 166), lorsque l'origine est placée à l'extrémité d'an diamètre pris pour l'axe des x.

A la vérité > pour que cette équation représentât réellement une circonférence de cercle , il faudrait que l'ordonnée PM fut à la fois perpendiculaire a OO' et à IH; mais il est facile de mettre le plan sécant dans une situation telle , que cette condition soit satisfaite.

Fig.157. En effet y soit ST (fig. iS*] ) la perpendiculaire abaissée du sommet S sur la base. Joignons le centre C de la base au point T , puis en un point quelconque G de CT , menons LL' perpendiculaire à cette droite, et conduisons un plan sécant quelconque par LL' -, il est évident que, pour tous les plans passant par LL' , la condition dont nous Tenons de parler sera remplie. Si donc on suppose en outre, le plan tellement dirigé que l'angle SOG soit égala l'angle B, l'équation y*+x* = Kx sera celle d'une courbe rapportée à des axes rectangulaires , et par conséquent représentera une circonférence de cercle.

On est convenu de désigner la section OMC/M' ainsi obtenue , sous le nom de section anti-paraUkle à la base.

A". B. Il est aisé de reconnaître que les hypothèses * = A ,

« = B. sont les seules ou le coefficient -. — r — : — A , >x- puisse 9 sinÀsin(A + C) r

être égal à 1 .

En effet, posons

sin « «in (• + £) , . . . . , ,^

fin A sin (A + g) = l' àoh «■ •«■(•+«)=»» A •*(*+*)•

Or, on a trouvé (n? 74)

cos (a — b) — cos (a *f~ *) = *sin a 6În £j ' et si , dans cette formule, on fait

FROPfil&FÉS FfcINCItALBS DBS SECTIONS CON1Q.TOS. 333

a = 4 + C, &=«, d'où a + b=** + C, a — b=Cf on en déduit asin « sin (# + £) = <*>* C — cos (a« + £)•

On trouverait encore

a sin  sin (A «+» £) = cos C — cos (aA + Oî

ce qui donne l'équation de condition

cos (a# + C) sa cos (aA -f- C).

Or, cette équation ne peut être satisfaite, à moins que l'on n'ait

i°. a« 4- C = aA + C; d'oh *=A,

a°. a#+C=4oo°— (aA+Qj d'où •Bsaoo0 — (ArK)»sB.

Donc , etc.

Nous verrons, dans le huitième chapitre , que cette propriété du cône oblique n'est qu'un cas particulier de celle dont jouissent les sur faces du second degré.