DE L'ELLIPSE ET DE L HYPERBOLE

§ Ier, Propriétés de ces Courbes rapportées à leurs

axes principaux.

♦ *a*}3» Caractères analytiques des points pris sur la courbe,

au*dedans ou au-dehors de la courbe. L'équation de l'ellipse

Fig.i5& rapportée à son centre et à ses axes principaux, étant (fig. i58)

Ay + b*x* «a AêBa,

on a d'abord , pour chacun de ses points M , la relation

Ay + BV — A** = o.

Maintenant, si l'on considère un point N intérieur à cette courbe, comme l'ordonnée HP de ce point est moindre que l'ordonnée MP correspondante à la même abscisse OP, il s'ensuit

que A* «HP est moindre que A*.MP; ainsi) Fon a pour le point N, Ay + BV — A*B» < o.

Pour un point N' extérieur, l'ordonnée N'P est pins grande que MP , et l'on a nécessairement Ay + B*** — AaB* > o.

AT. JB. Sx le point extérieur avait la position N#, pour laquelle il n'y a point d'ordonnée delà courbe, correspondante,* comme l'abscisse de ce point serait déjà plus grande que OB9 ou A, il en résulterait BV > A'B*} d'où, à jortion,

Ay + BV — A* > o.

On démontrerait de même que, dans l'hyperbole

CARAOtiUfS DES JOINTS I>E LA COURSE. 335

le caractère des points pris sur la courbe, est

Ay — B*x* + AmB* = o, au-dedans Ay — BW + A*B* < o,

. au-dehors Ay — BV -f- A*Bâ > o.

Les deux inégalités sont évidentes pour des points tels que "H et N' , pour lesquels on a NP< MP , et NT> MP (fig. 1&9). Fig. i5g. Quant au point N* , dont l'ordonnée tombe entre les points A et B, comme on a OQ'<OB on A, il en résulte A*Ba— B»x*>o;

d'où, à plus forte raison, Ay — B\r»+ A*> o.

174. Les définitions de l'ellipse et de l'hyperbole fournissent encore pour les points pris sur la courbe* au-dedans on andehors, un caractère qu'il est important de connaître.

Pour chaque point M de l'ellipse , on sait que la somme des distances F'M+FM (fig. 1 58), est égale à 2 A. Fig.i53.

Pour un point R intérieur, comme on a

FR + RF <FM + MF, il en résulte FR + RF < *À.

Pour un point R' extérieur, on a, au contraire,

FR' + R'F > FM + MF; d'où FR' + R'F > aA.

Considérons aotaeUemcnt l'hyperbole. Pour un point quelconque M de la courbe, la différence des distances, FM— MF, est égale à a A.

Soit un point intérieur RC/%. i5g); en joignant ce point Fig. i5g. aux points F et F, on a FRs=FM+MR, et RF<MF+MRi d'où l'on déduit FR — RF>Flf + MR — MF— MRt ou Fit— RF>FTil — MF>aA.

Mais si l'on a nn point extérieur tt' , comme la figure donne FH'sbFM — MR', et FH'>MF — MR', il eu résulte

FR'— FR' < FM — ME'— MF + MR'< iA.

336 BEUS.TION *KW* U» CABftis.