MP* B
donc
APXPB- A*-
Ainsi , la propriété ci-dessus a également lieu pour l'hyperbole. La seule différence, c'est que dans l'ellipse , le pied de l'ordonnée est situé entre les points A et B, tandis que dans l'hyperbole le pied de l'ordonnée est placé sur le prolongement de AB, soit à droite, soit à gauche.
DIS ORDONNEES. 33)
bans l'hypothèse dé Bc A, ou de l'hyperbole éqtiilatère, la relation se réduit a ^*^e(j:+ A) (a>— A); ee qui signifie que & carré de F ordonnée est égal au .rectangle des segment du premier axe j compris entre les sommets de la courbe et le pied de l'ordonnée; propriété analogue à celle du cercle»
Au reste, la propriété précédente n'est qu'un cas particulier d'une autre plus générale dont jouissent les* courbes du second de^ré rapportées à des axes quelconques, et que nous démontrerons dans le 6* chapitre.
•x^6. Décrivons sur le grand axe AB (jpg. 160) d'une ellipse Fig. 1G0. comirie diamètre, une circonférence de cercle } on a pour équation de cette circonférence, ^*= Aft~ jc*.
B* L'équation de l'ellipse, étant d'ailleurs y* = — (A* — x*) ,
il s'ensuit que, si l'on désigne par jr l'ordonnée d'un point quelconque de l'ellipse, et par Y l'ordonnée du cercle, correspondante à la même abscisse x , on a la relation
c'est-à-dire que Vordonnée de l'ellipse esta t ordonnée du cercle décrit sur son grand axe,, dans le rapport du petit axe au: grand axe*
De là résulte un moyen assez simple de décrire l'ellipse par points , lorsque ces deux axes sont connus :
Sur* les axes AB., CD., décrivez deux circonférences de • vercle ; élevez en un point quelconque P du grand axe^ une per~ pendiculaire PMy tirez le rayon OM., et par le point L où ce rayon coupe la petite circonférence, menez LN parallèle à AB; le point N ou cette parallèle rencontre PM, appartient à l'ellipse.
En effet, on a, d'après là construction ,
om : ol :: pm : pn, ou a : b :: y : pn;
d'où PN= ^.Y=*y/
336 CONSTRUCTION DE l'êLLIMX FAR POINTS.
Prolongeant ensuite PM d'une quantité P/t égale à PN, on obtient n pour nn nouveau point de la courbe ; les pointa n et n* symétriques des points N et n peuvent être ensuite facilement déterminés.
Voici un autre moyen de construire l'ellipse par pointa, qui est fondé sur la même propriété, et qu'en emploie souvent avec avantage* Fig.161. Soient ÀB, CD (J2g. 161) les deux axes de la courbe. Âpres avoir marqué sur CD un point K tel qu'on ait OK*a A-— 'B , prenez un point quelconque I situé entre O * t K j puis de ce point comme centre , avec un rayon égal à A — B^ ou QK., dé- . crivez un arc de cercle qui coupe ÀB en L et L'y tirez IL., IL'., et prenez sur ces deux lignes prolongées IMz=IM' = A; les points M, M' appartiennent à la courbe.
En effet, si l'on mène IH parallèle à AB , et MQ perpendiculaire à IH , les deux triangles semblables IQM , LPM donnent
MI:ML::MQ:MP; d'où l'on tire MPas^ , MQ~5; • MQ> mai* en posant OP c= IQ = x , on a
MQ = \/mï — IQ = i/à*— *• j donc MPc=^V/A*~ x*j
d'où Ton voit que MP est l'ordonnée de l'ellipse qui correspond à l'abscisse OP.
En prenant Ol' = OI, on déterminerait au-dessous de AB deux autres points m, m! symétriques des points M, M' par Tsppi rt à AB.
On Toit aisément d'ailleurs pourquoi le point I doit être placé entre O et K.
On ne peut obtenir pour l'hyperbole des moyens de oons-
truction analogues; Car son équation étant y\= — (x* — À*),
ne peut être comparée qu'à celle-ci y%:ss #* — A.* >
MSSVttB DE LA SCKtkC* DE l'eLLTFM. 339
c'esNa-dire, à celle d' une hyperbole équilatèrc décrite sur Fax* transverse de la première hyperbole. Il faudrait donc savoir déjà construire une hyperbole équilatère, pour en déduire ensuite la construction d'une hyperbole quelconque*
