NN'PP' B MM'PP'~""A
On reconnaîtrait,' de la même manière, que chacun des trapèzes dont se compose le polygone inscrit à l'ellipse, est au trapèze correspondant du polygone, inscrit au cercle, dans le rapport B : A ; d'où l'on peut conclure que la somme de tous les premiers trapèzes, ou le polygone inscrit à l'ellipse, est au
ftfo MIStfBK DX LA SUBftWCft BJt 1,'eLUFS£.
second polygone, dans le même rapport; ainsi , soient f* et P ces
D fi
deux polygones ,enap = -r.
Comme cette relation est vraie d'ailleurs , qvel que soit le nombre des côlés des deux polygones, elle existe encore pour leurs limites, qui ne sont autre chose que la surface de l'ellipse et celle du cercle. Donc, en désignait par s et S ces deux surfaces! on a nécessairement
filais on sait que , w représentant le rapport de la circonférence au diamètre, ou la surface du cercle dont le rayon est i ,
«-. A* exprime celle d'un cercle qui a pour rayon À; par Conta
séquent, «••À*, -r ,' ou *• . A . B, est l'expression de la surface
entière de l'ellipse.
B ' four tfhypérbolev on obtiendrait également s-à*-? .9)
s désignant Y aire comprise entre la courbe et une corde quelconque parallèle au second axe , S , l'aire correspondante d'une hyperbole équilatère décrite sur le premier axe. Mais cette relation ne peut rien apprendre sur la quadrature de l'hyperbole, puisqu'il faudrait d'abord connaître celle d'une hyperbole équilatère. ' - »
Propriétés des cordes supplémentaires j et de leurs teintions avec les diamètres conjugués.
Yig.ith. 278. Si des extrémités A et B (fig. 16a) du grand âxe, on mène deux droites à un point quelconque M de la courbe, ces lignes de jonction sont ce qu'on appelle des cordes suppU^ mentaires. Ces droites font ayec le premier axe deux angles qui ont entre eux une relation remarquable. / D'abord, la droite BM passant |>ar le point B dont les 000»-
COmUEf SlTPrLillKNTAIRRV 344
ces sçnt^=?=o, x=cA;|i pour équation,
jr=a(a?-r->A);
celle de la droite AM, passant par le point C7=*o, x=x^- A),
est j = a'(x+À).
Gela posé, désignons par a:',/ les coordonnées du point M-, comme elles doivent véri6er les équations précédentes*
on a
y=a(^r + Â) J or — A' a; «+-A
par conséquent , ad = -7^-
Tut
mais puisque le point (as*, y) se trouve aussi sur la courbe, oua A^+WbA»} d'où gç^TT*^— £5'> donc enfin, 00^ = — %— . .•. (1)
Dans la cas de B = A, cette relation devient <wi~ — r> ce qui prouve que, dans le cercle, les cordes supplémentaires sont à angle droit; c'est une proposition connue en Géométrie.
Au reste, la même relation (1) existe entre les angles de deux cordes supplémentaires partant des extrémités d'un diamètre quelconque EE'.
En effet, soient of, y* les coordonnées du point E; celles du point E' seront (n* a3o) — ai*,— »y'; et les équations de deux droites menées des points E, E' à un point quelconque M' de la courbe, seront de la forme
JT — Y es a(x — x*), y + y = <t(oc + *•)..
Comme le point M7 ou (x' 9 y) se trouve à la fois sur ces droites, on a les deux relations
34^ COUDES SUlfVLéMXNT AIRES.
•/# . m ,, 0 . »v f don <za = *t^ — :Ltz»
Mai* les points M' , £, E' se trouvant aussi sur la courbe, on a également
Ay + bv* = i-», 1' ^ y-/* b*
A»/ » + BU» s A'B* ; J a .x'V- x'* A*' et par conséquent, aa = — -^j .
270. Reprenons les deux cordes supplémentaires ÂM, BM, et proposons-nous de déterminer l'angle qu'elles forment entre
elles; il suffît pour cela de cakmler l'expression — r— > > <* d&ignant la tangsnteJe MBX, et a celle de MAX.
Or, on a trouvé plus haut, a = ;* , a' == ■,* ;
-£. Zl
donc 7qrg= ^-.a^-^-^+j*""
Mais l'équation Ay+BVsA'B1, donne
-.'» ai ^y .
ainsi Ton obtient
a — a' aAv' — aABa , %
L'inspection seule de ce résultat prouve d'abord que, si l'on considère un point quelconque M de la courbe situé au-» dessus de AB, auquel cas y' est positif, la tangente de l'angle AMB est négative; donc cet angle est nécessairement obtus* Cela doit être, puisque tous les points de t'el-
COSDSS SUPFliWKTAJRSS. 343
lipse sont intérieurs à la demî-oiroenférence décrite sur AB <yM»mi> diamètre.
On voit en outre que plus y est grand , plus 1a valeur numérique de l'expression (a) est petite, et, par conséquent» plus l'angle est considérable ( puisqu'un angle obtus est d'au-' tant plus grand que sa tangente est numériquement plus petite).
Le maximum de cet angle correspond à celui de y y c'està-dire à y = B 5 ce qui donne pour la valeur correspond dante de l'expression (a) ,
— aAB* — aAB
ou
(A* — Ba)B' A* — B*"
Les valeurs de a , cl deviennent d'ailleurs, dans cette hypothèse,
a =5 — y> d = T' puisque y' = B donne x' = o. A t A
Concluons de là que les cordes supplémentaires menées des extrémités du grand axe,, forment au point C le plus grand angle possible.
Dans l'hyperbole, on trouverait, pour la relation entre les
B* angles des cordes supplémentaires, wt =s j~9 et pour l'expression de l'angle qu'elles forment entre elles,
aAB*
(A* + B»)/ ^ l63 J* ' Fig.i63.
Ce dernier résultat démontre que l'angle AMB ou AM'B
de deux cordes supplémentaires est toujours aiguj et qu'il
diminue de plus en plus à mesure que y augmente. Lorsqu'eux
fin on suppose jr = oo , cet angle devient nul.
B* Cest ce que prouve encore la relation ad s n En effet ,
le produit des deux tangentes a et a* étant positif, il s'ensuit que ces tangentes sont de même signe; donc les angles correspondons MBX, MAX, ou M'BX, M'AX sont tous les
344 RELATION EtfTBB UB9 «0MD1S SUPfI.ilf2MTi.lRKS
deux aigus ou tous les deux obtus } la différence de-ces angle* * qui n'est autre chose que AMB ou AM'B, est alors nécessairement un angle aigu.
Spît a === —.; il en résulte aussi, a! = —»; les deux çor-:
des supplémentaire» devenant à Ia*foi* parallèles à l'asymptote OL, font entre elles un angle nul9
