Conséquence sur les diamètres conjugués. Si du centrç
Fîg.iGj. dtyne ellipse^ on mène deux diamètres GG', HH' (jjg* *6^)
respectivement parallèles aux cordes supplémentaires AM,
BM, on a entre les angles quç forment ces deux diamètres avec
le grand axe, la même relation on' =sd — — •
Or, cette relation est précisément (n° 263) celle qui caractérise deux diamètres conjuguée
Donc deux diamètres respectivement parallèles aux cordes supplémentaires d'une ellipse * forment toujours un système, de diamètres conjugués*
D'après cela, connaissant un diamètre quelconque GG% pour obtenir son conjugué x il suffit de mener^ du point A une corde AM parallèle à GG'., de tirer la seconde corde supplémentaire MB> puis.de tracer le diamètre HH' parallèle à MB.
La même conséquence s'applique à l'hyperbole x pour laquelle la relation des cordes supplémentaires et celle de deux dtamè-
très conjugués, est également aa' =.—. Toutefois, on observera que, plus le point par lequel on mène les deux cordes supplémentaires s'éloigne du sommet, plus les deux diamètres conjugués, dont l'un est au-dessous et l'autre au-dessus de l'asymptote (n° 265) , se rapprochent l'un de Vautre; et lorsque le point est situé à l'infini, c'est-à-dire lorsque les cordes supplémentaires sont (o° 279) parallèles à l'asymptote, les deux diamètres conjugués se confondent en un seul,
281» Remarque. Dans l'ellipse, comme on a vu (n° 278) que l'angle AMB (fig* 1.64 ) de deux cordes supplémentaires.
BT Ut» WÀTkfàniES CONJUGUES. 344
est toujours obtus , et que cet angle atteint son maximum «u point C, il en résulte que l'angle' GOH, formé par les parties de deux diamètres conjugués, situées du même côté par rapport au grand axe ,. est nécessairement obtus, et que les deux diamètres conjugués H', LL', parallèles aux cordes AC, BC, forment entre eux le plus grand angle possible.
Pour un système quelconque GG' , HH', l'angle GOH ayant pour supplément GOH', il est clair* que plus le premier angle est grand, plus le second est petit; ajnsi, deinême que l'angle ÎOL est un maximum parmi les angles obtus que forment deux diamètres conjugués, de même l'angle IOL' est un minimum parmi les angles aigus que formant ces mêmes diamètres.
D'où l'on peut conclure enfin, que Y angle de deux diamètres conjuguée d'une ellipse quelconque * est toujours compris entre les 'deux limites IOL' ou BCA' et IOL ou BCA.
Nous verrons plus loin les autres conséquences qui résultent de, ces propriétés*
Problème des tangentes.
282. Proposons-nous maintenant de mener une tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole, par un point donné sur le plan de la courbe*
Pour résoudre cette question , aous emploierons une métbode analogue à. celle du na 196. Soient xA9 y* les coordonnées du point
donné; l'équation de Fellipse étant k9y* + BV=A*Ba,, , • (1)
celle de la droite cherchée ser£ de la former— y'=a(x— a;');— (a)
et il s'agit de déterminer a de manière que la droite, considérée d'abord comme sécante, devienne ensuite tangente.
Ou déduit de l'équation (2) > j/= aar -f- ,/ -— oa/; d'où, substituant dans l'équation (1), et ordonnant par rapport à x9
(ÀV+B*)x>+ aAfa(/— ax')x+ A»(/— axj— A*B'=o. . .
Cette équation étant résolue, donnerait deux râleurs de x qui ne seraient autre chose que les abscisses des points d*ïto-
346 nowrftHB
ter section avec la Courbe, d'une droite correspondante à la valeur particulière que Pou aurait d'abord attribuée a a.
Mais comme ou veut que la droite «oit tangente, il faut (n° 195} qu'on ait entre les coefficient de a:, la relation
4AV(/— aafy— 4A*(A9a»+B*) {{y'— aV)*— B'] = o , , . .
ou, supprimant les deux quantités, 4A<«* (y' — ax*)*t — •^Hq% (y' ~ax')%, qui de détruisent, et divisant par 4A*B*,
— ty a^y + A*a* + B" = o,
nubien encore, développant et ordonnant par rapporta a%
(Ag — x'«K + *x?y .a + B* —y» = o. . . (3)
Telle est la condition générale du contact d'une droite menée par un point quelconque (x',yf) , avec l'ellipse.
(lia «marque du n° 197, relative à cette condition, est applicable, mot pour mot, à la question qui nom occupe; ainsi il est inutile de la répéter. )
On déduit de l'équation (3) , toute implication faite,
f.jt
xy
n l/ly + W—A*»',. • . (4)
Fig.i(& résultat qui démontre que par un point donné N (Jig. i65), on peut, en général, mener deux tangentes HM, KM'. Mais pour que la question soit possible, il faut que Ton ait Ay» + BVâ — A»B» > o , c'est-à-dire (n° 373) que le point N soit situé hors de la courbe, et non en dedans » puisqu'alors on aurait Agy'*-|- B*a/*-— A*B* < o, et le radical deviendrait * imaginaire»
Ceci prouve encore que la courbe doit présenter sa concavité vers le centre; car autrement, il est aisé de voir que la tangente devrait être située en dedans de la courbe.
Si l'on suppose Aya+B*x'* — A*B* = o, auquel cas le point donné est sur la courbe, en M par exemple, l'exprès-
x'y' sion (4) se réduit à a = — ~ — ,; ; ou bien, convenant
DES TANttSHTXS. 347
d'appeler xn et y les coordonnée* da point 4e qagtagt, «t ayant égard à la relation A y* = B* (A* — x*É) ,
A* jr
On obtient donc, dans ce cas, pour l'équation de la tangente »
283. On peut parvenir directement à cette équation par une méthode analogue à celle du n° 198.
Soient (a/, y), {pc?>ya) les coordonnées de deux points de la courbe y dont F un doit devenir un point de contact La droite ,qui joint ces deux points est représentée par le système des
* f y-f^ÇE^i*-"*)*-- « }
trois équations 1 Ay +*&-**. ,. (a) \
Retranchant (3) de (a) , on trouve A'( / + /) W - y') + B»(*' + ff) (*' - a^) = o, . . , (4)
équation qui peut remplacer Inéquation (a).
Or, la relation (4) donne ~ — ^ = — -rr • / -T #> Jonc
x x — x A* y nr y
la sécante est encore représentée par le système des équations
Pour exprimer que cette sécante devient tangente, il faut poser y = y", x' ses jc* j ce -qui donne enfin
pour Ponnation de ia tangente , en y joignant toutefois .la relation Ày-fBVsBÀ'B».
5^6 paoblAks
On trouverait par rapport k l'hyperbole,
a ayant pour râleur, as—,.
B* x# a84« Reprenons l'équation jr — ^#=— — • -5(05— x"), et
fichons de la simplifier. Il rient d'abord , par la disparition des dénominateurs , A^y* — À1/1 = — BV&s* H- B*jp#* j mais on * 4 y + B'x*A = A*Bft; donc l'équation se réduit a
Jf y y9 + B*xx" as A']
Les mêmes calculs effectués sur l'équation de la tangente à l'hyperbole, la réduiraient k A*yy* — Wxx0 = — A*Bft.
Ces équations ne diffèrent de celles de l'ellipse et de l'hyper- Jx>le qu'en ce que les carrés y* et x% 7 sont remplacés par tes rectangles jj'* et xo?#«
Soit fait j =s o dans l'équation simplifiée de la tangente k
Fig. i65. l'ellipse ; on troure a? = -? . (fig, i65 )j c'est l'expression de
l'abscisse OR du point ou la tangente rencontre l'axe des x.
Si de cette distance OR on retranche l'abscisse x9 du point de contact ! il en résulte
OR — OP, on PR = =, — *'=--tÏ-:
la ligne PR est ce qu'on nomme la sautangente.
Comme son expression est indépendante du second axe aB, il s'ensuit que, pour toutes les ellipses construites sur le premier axe | les soutangentes qui correspondent à la même absr citées sont égales*
En d'autres termes, si d'un point P de l'axe AX, on élève une perpendiculaire qui rencontre ces ellipses aux point* M, M',. . . et que par ces points on leur mène des tangentes» celles-ci viendront toutes aboutir au même point de Vase des x-
DES THiOllWCS. 349
Or le cercle décrit sur AB comme diamfctre est une de ces ellipses; donc la soutangente est la mime pour l'ellipse donnée et pour ce cercle.
De la résulte on moyen assez simple de mener une tangente à l'ellipse par un point donné M: de ce point, abaissez la perpendiculaire MP, et au point M' où cette perpendiculaire ren± contre le cercle décrit sur AB comme diamètre, mené* une tan" gente qui rencontre en Hla ligne AB, et tiren MR; tous aures la tangente demandée.
Soit fait également y = o dans l'équation
K*yym — Bmxx# =— A'B*;
on trouve x as -? = OR (Jig. 166); donc OP -*- OR, ou Fig.iffiL
PR as y— ) 0 est 1 expression de la eoutangente dans
l'hyperbole; elle est constante pou* ton* lès points (correspond dans à une même abscisse) des différentes hyperboles décrites sur le premier axe a A*
a85. Remarque. La valeur de la soutangente peut s'obtenir directement d'après F équation non simplifiée de la tangente ; il suffit de supposer ^=0, et de déterminer la valeur correspondante dé x — x*.
Il vient en effet, par la supposition de yao, dans l'équa-*
tion relative à l'ellipse , x — x' = -5*7* > ou à cause de
Si , dans l'équation relative à l'hyperbole, on fait y = o, oit
A*— #ff* trouve également x— a^= *-— , résultat identique avec
celui qui correspond à l'ellipse, mais de signe contraire avec le résultat déjà obtenu dans le numéro précédent. * Pour interpréter cette circonstance, observons que, dan» l'hyperbole, la distance PR est située sur l'axe des x, à la gauche du point P (Jig. 16&) , qui doit être considéré comme le point s>
35o PROBLEME
partir duquel on compte la soutangente ; ainsr, cette distance dbi t
être exprimée négativement; et, en effet, comme on a toujours
Àm— x** pour l'hyperbole» x* > À, il s'ensuit que l'expression ? —
x* — Aa est négative > et revient à — ~9 — .
Concluons de là que le premier moyen employé pour déterminer la soutangente, donne sa valeur absolue, mais que le second fournit cette valeur avec le ligne dont elle doit être affectée, eu égard à sa position par rapport au pied de l'ordonnée.
A* — x9% Dans l'ellipse, t — est positif, parce que la soutangente
Fig. i65. est placée à la droite du point P {fig. i65).
( Nous supposons ici le point de contact M situé a la droite de l'axe des y\ s'il en était autrement, les conséquences que nous venons d'établir auraient lieu en sens contraire. )
286. Soit actuellement proposé de mener parle point de cou* Fig. 166* tact M 0%v 166) une perpendiculaire à la tangente, c'est-à-dire une normale) et recherchons l'équation de cette nonaaie, ainsi que l'expression de la sounormal* PS.
Puisque cette droite passe par le point (x% y") , ara équation est de la forme y — y" se d (x — x*yy , et comme elle doit être perpendiculaire à la tangente pour la*
B»x* quelle on a a = — .t ^ , la relation ûïz'-J- i = o donne
et l'équation de la normale à l'ellipse est alors
On obtiendrait de même pour l'équation de la normale a l'hyperbole, y — / = — b^(*~ *")•
DÉS TANOEtfTES.
ast
Si, daip la première de ces équations, on suppose ^ = o> et qu'on tire la valeur correspondante de x — x% il vient
x — x== — <rî«* *
c'est la valeur de la sounormale PS ; car x -~ x* représente évidemment, dans le cas de^ = o, la différence des abscisses du point S où la normale rencontre Taxe des x, et du point de contact M.
Cette valeur de la sounormale est d'ailleurs négative; ce qui doit être , puisqu'elle est comptée à partir du point P, dans le sens négatif*
La même hypothèse y ss o , introduite dans l'équation de la
B* normale à ïh yperbole , donne x •— x* = — • x*.
La sounormale est ici positive, parce que PS (fig* 166) estFig.i6& comptée à la droite du point P.
