Si nous considérons la valeur absolue de la sounormale

•-r-.x", nous voyons que pour l'ellipse, plus x" augmente, plus

cette valeur augmente.

Soit x* = 0, auquel cas le point de contact est à l'extrémité C du petit axe ; la sounormale devient nulle , ce qui prouve que la normale correspondante passe par le centre*

Soit xf as A, auquel cas le point de contact est en B ; la

B*A B* sounormale se réduit à —r- ou t-j et comme A est la plus

grande valeur que puisse recevoir l'abscisse x*, il s'ensuit que la sounormale est susceptible d'un maximum qui n'est autre chose que la moitié du paramètre ( n° &46 ) , ou f ordonnée

qui passe par le foyer. '

B* Dans l'hyperbole, au contraire, •— jest le minimum de l'ex-

pression de la sounormale \ on l'obtient en faisant x" = A. Pour toute autre valeur de x", celle de la sounormale est plus grande, et elle devient infinie quand x" est lui-même infini.

35s , PROBLÈME

288* Nous allons reprendre le cas oit il s'agît de mener une? tangente à ¥ ellipse ou à V hyperbole j par un point donné hotk de la courbe, afin de déduire des résultats , quelques propriétés analogues à celles qui dut été reconnues pour le cercle* (Voye* tes n" 200 , 202 » 2o3.)

Soient x\ y les coordonnées d'un point quelconque N fcig.167; (Jig. 167) , par lequel on veut mener une tangente à Pdlipse.

L'équation de cette tangente est de la forraejf— y=û(*-— j/) ;

a ayant (n° 282) pdùr valeur, ax=<— — . — 7 ;

et la question se réduit à déterminer x*9 y*, qui représentent les coordonnées du point de contact, en fonction de x*f y qui fexprinteitt celles du point donné.

Or, on a trouvé (n° 284) pour l'équation simplifiée de la tangente, A*yy*+ &xx*= À'B*; et comme , par hypothèse , elle doit passer par le point (a/, jr'), on obtient pour première relation en xÊ et y, A'//+ BVx'ti A'B* (1)

D'ailleurs* le point (jx'9y*) appartient à la courbe; ainsi l'on a pour seconde relation , ÈL*y"% + B'x^œ AfBf ... (2)

En éliminant x" et yé entre ces deux équations, ctont l'une est du premier degré, on trouve, tout calcul fait ,

^ A'ÇB'g' ±: / f/ A8/ « + BV ^A^)

' A'/* + BV" '

9mmm B^Ayqpa/l/Ay* +B*q:^~ A'B»)

( les signes supérieurs ae correspondent Ainsi que les signe» inférieurs).

Ces valeurs étant auhstitaées dans a as — -r-r— - . donnent

e -»» (B y ^ / V Ay » + bv — Ay

Ay q= *' ^Ay+B1^ — A*]?'

résultat qui, après avoir été multiplié haut et bas par. ..*.*. Ay±: x' {/ A*y •+ B\r» — A»Ba (pour que le dénominateur