PREMIÈRE MANIÈRE . D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PIAN TANCENT

I. Une propriété caractéristique des surfaces de révolution, et qui est indépendante de la nature de la courbe génératrice , est cjue le plan tangent est toujours perpendiculaire au plan mené par le ]>oint de contact et par l'axe. Nous nommerons ce dernier plan méridien,

, ! i^ équations domiées de Taxe de V- = Bc -h 6>

i"évolution, et .r', y\ z' les coordonnées du point de contact;

réquation du plan du méridien, en tant qu'il passe par le point de contact, est de la forme

et pour que ce plan passe par Taxe, les quantités M, N doivent être telles que les équations de Taxe et celle du plan aient lieu en même temps, quelles que soient les valeurs de a?, j, z ; ce qui donne

M [A {b — /) — B (a — x')] = b—y^ Bz',

N [A {b /) — B(a — x')] = — {a—x' + Az).

Ainsi l'équation du plan du méridien mené par le point de contact est

= {b —y' -H Bz') {x — x') — {a — x'-\- Az') (/ — /').

Or, réquation du plan tangent est

et ces deux plans seront rectangulaires entre eux si Ton a

( 4 A(^^— /) — B(a — ar') = o;

donc cette dernière équation exprime qu'une surface est de révolution autour d'un axe déterminé de position par les constantes A, B, a, 6, indépendamment de la génératrice, qui d'ailleurs peut être ou n'être pas soumise à la loi de continuité.

2 . On peut être conduit à la même équation par la considération de la normale. En effet, les surfaces de révolution ont encore cette propriété, que leur normale coupe toujours l'axe de révolution.

\oiis avons vu que les équations de la normale sont

et pour que cette droite coupe l'axe, il faut que ces équations et celles de l'axe aient lieu en même temps, indépendamment des valeurs de .r, j, J3, ou que, en éliminant a:,/, z de ces quatre équations, l'équation résultante soit satisfaite. Or, l'élimination de or, j, z donne l'équation (A) ; donc cette équation exprime qu'ime surface est de révolution.

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

3 . Les surfaces de révolution ont un second caractère indépendant de la nature de la courbe génératrice ; c'est que, si on les coupe par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe de révolution, on a pour section la circonférence d'un cercle dont le centre est dans l'axe, et dont tous les points sont par conséquent à égales distances d'un même point pris sur l'axe. Or, les équations de l'axe de révolution étant, comme ci-dessus,

.r = Az -ha, j' = Bz -h h^

celle du plan perpendiculaire à l'axe sera

Ax H- Bj -T- z = a,

dans laquelle la quantité a qui détermine la position de ce plan est constante pour le même plan perpendiculaire, et variable d'un plan a un autre.

De plus, l'axe de révolution rencontre le plan des .r et y dans un

point dont les coordonnées sont a* = a, j* = 6, z = o ; et si l'on

regarde ce point comme le centre commun d'ime suite de sphères concentriques, l'équation générale des surfaces de ces sphères sera

dans laquelle le rayon (3 est constant pour la même surface, et variable d'une sphère à une autre.

Cela posé, si le point que l'on considère sur la surface de révolution se meut sur cette surface sans sortir du même plan perpendiculaire à l'axe, il ne sortira pas non plus de la même surface de sphère, et alors a et |3 seront toutes deux constantes ; mais si ce point, en se mouvant, sort du plan perpendiculaire à l'axe, il passera aussi sur la surface d'une autre sphère, et les quantités a et ^ auront toutes deux varié. Les surfaces de révolution sont donc telles que a et p*, ou les quantités Ax H- Bj + z et {x — a)^ + ( J — ^)" H- ^^ q^* leur sont respectivement égales, sont constantes ensemble et variables ensemble ; on a donc pour équation de ces surÊices

{x — ay -h {y—hy H-z' = (p(Aj: + BrH-z),

dans laquelle cp indique \me fonction quelconque, dont la forme dépend de la nature de la courbe génératrice.

Nous verrons par la suite que cette seconde équation, qui est de la même généralité que la première, en est l'intégrale complète.

Si l'axe de révolution passe par l'origine, et est parallèle aux r,

on a

et l'équation précédente devient

X' H- J-^ = (ps ou 3 = 4 (^'' "+" J" ) 5

les signes ^ et 4 indiquant des fonctions quelconques. Dans cette même hypothèse, il est évident que, si l'on ajoute à chacune des

ordonnées z de la surface de révolution F ordonnée correspondante d'un plan, on aura l'ordonnée d'une surface de révolution rampante, dont la génération est la même que celle de la surface des balustres rampants. Donc F équation générale de la surface des balustres rampants, rapportée à trois plans rectangulaires, dont deux passent par Faxe de révolution, est

la forme de la fonction 4 dépendant de la forme du profil du balustre, profil qui peut être ou n'être pas soumis à la loi de continuité.

Etant données les équations dune courbe à double courbure, troui^er celle de la sur/ace engefidrée par la révolution de cette courbe autour d'un axe donné de position.

Il est évident que la question consiste à déterminer dans F.équation générale des surfaces de révolution quelle doit être la forme de la fonction arbitraire cp, pour que la surface passe par la courbe donnée, et soit par conséquent la surface individuelle que l'on considère. Soient donc représentées par

les deux équations données de la courbe génératrice; les équations de la circonférence de cercle engendrée par cliacun des points de cette génératrice seront, comme nous l'avons vu,

{x — ay + ( J — by + z^ = (poL ;

et pour que la surface de révolution passe par la courbe donnée, il faut que la génératrice soit coupée par la circonférence de cercle, quelle que soit la valeur de ^t ; il faut donc que les quatre équations précédentes puissent avoir lieu entre les quatre quantités a?, j, z, a. Donc, éliminant les trois quantités x, j, z, il restera une équation en flt et (pat, que nous représenterons par

f (a, <pa) = o,

et qui, donnant la valeur de cp^t en tf., déterminera la forme de la fonction cp. Donc si, dans cette dernière équation, on substitue pour a et (pet leurs valeurs en a;, j, j3, on aura T équation

f[Aa-+-B/4-2;, {x — a)' -+- {y — h)' -^z'] = o,

qui sera celle de la surface de révolution individuelle demandée.

EXEMPLE

Efi supposant que Vaxe de révolution passe par l'origine, et quil soit parallèle a taxe des z, trousser t équation de la surface de révolution engendrée par le mouvement d'une droite quelconque donnée de position .

Soient

x = A'z. -f- Uj

les équations données de la droite génératrice; celles de la circonférence de cercle décrite par chacun de ses points seront

z = et»

x' -hy' = cpa; éliminant .r,^)*, z entre ces équations, on a

(A' fit -h a')- — (IVfit -t- />')"' = tAj

cjui indique de quelle manière la fonction cpa est composée de la quantité a. Remettant pour eiet ^tt leurs valeurs, on a pour équation de la surface individuelle

Si, dans cette équation, on fait ou a: = o ou / = o, ce qui détermine une section par Taxe, l'équation résultante devient celle d'une hyperbole; donc la surface qvie l'on considère est celle d'un liyperboloîde de révolution.

Si , en conservant une des deux équations de la droite génératrice , on change tous les signes du second membre de l'autre, l'équation de la surface sera encore la même ; donc cette surface peut être engendrée par deux droites différentes, et parce que chacune de ces deux droites génératrices passe par tous les points de la surface, il s'ensuit que la surface n'a aucun point par lequel on ne puisse faire piisser deux lignes droites différentes qui soient toutes deux entièrement sur la surface.

Une surface courbe dont V équation est donnée, étant liée d'une manière invariable à un axe de révolution, et tournant ensuite autour de cet axe, trouver l'équation de la surface qui touche et enveloppe la surface mobile dans toutes ses positions.

La surface demandée est évidemment de révolution autour de Taxe donné, et elle touche la surface mobile considérée dans sa première position, suivant une courbe dont il suffira d'avoir les équations ; car la surface de révolution devant passer par cette courbe, la question alors sera réduite à la précédente.

Soit donc F (a?, j, z) = o l'équation donnée de la surface mobile considérée dans sa première position. Pour tous les points de la

ligne de contact de cette surface avec celle de révolution, F équation F (et, j, z) = o doit satisfaire à celle des surfaces de révolution;

donc, si tirant de cette équation les valeurs ^^ (^~ ) ^* ( jT )» <>ï^

les substitue dans l'équation (A), page i8, l'équation qu'on obtiendra, et que nous représenterons par f (a?, j, z) = o, appartiendra à la courbe de contact. Les deux équations de cette courbe seront

donc

Donc , traitant ces équations comme dans le cas précédent , l'équation

f[Ax + Bj + z, {.r - ay + (j - by ^ z^] = o,

à laquelle on parviendra de la même manière, sera celle de la surface demandée.

DES SURFACES ENGENDRÉES PAR LE MOUVEMENT D UNE DROITE QUI EST TOUJOURS HORIZONTALE, ET QUI PASSE TOUJOLUS PAR LA MÊME VERTICALE.

Les surfaces engendrées par le mouvement d'une droite qui est toujours horizontale, et qui passe toujoui^ par une même verticale, se rencontrent souvent dans les arts. La surface du conoide de la voûte d'arête en tour ronde, les surfaces supérieure et inférieure de la courbe rampante circulaire, la surface inférieure des marches de la vis à jour circulaire, etc. , sont toutes soumises à cette génération, et elles ne différent entre elles que par la courbe qui , dans chacune

d'elles, dirige le mouvement de la droite génératrice. Nous nous proposons d'exprimer cette génération.