PREMIÈRE MANIERE, D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PLAN TANGENT

Un caractère général des surfaces doqt il s'agit, et qui est indépendant de la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la génératrice, c'est que si, par le point de contact, on mène dans le plan tangent une horizontale, cette droite passe toujours par la verticale, puisqu'elle est la droite génératrice dans une de ses positions. D'après cela, si l'on suppose que le plan horizontal soit un des trois plans rectangulaires auxquels la surface est rapportée , et que la verticale donnée passe par l'origine, et soit l'axe des 2, on aura l'équation de la droite horizontale menée dans le plan tangent, en faisant - = 3' dans l'éqviation de ce plan ; ce qui donnera

Or, pour que cette horizontale passe par la verticale donnée, il faut (|ue sa projection horizontale passe par l'origine, ou que, dans l'équation de cette projection, les termes sans x et sans r deviennent nuls ; il faut donc que l'on ait

f]ui est r équation demandée.

SECONDE MANIÈRE. EN QUANTITÉS FINIES

Un autre caractère des surfaces que nous considérons, et qui de même est indépendant de la courbe qui dirige le mouvement de la génératrice, c'est que si on les coupe par un plan quelconque mené |)ar la verticale, on a pour section une droite horizontale. Or,

r équation d'un plan quelconque mené par la verticale est

y y = ax. ou - = a,

dans laquelle a est le paramètre qui détermine la position de ce plan; paramètre qui est constant pour le même plan, et variable d'un des plans verticaux à un autre. De plus, l'équation d'une ligne horizontale est z == p. Si donc le point que l'on considère se meut sur la surface sans sortir du même plan vertical , ce qui suppose que a est constant, il ne sortira pas non plus de la même ligne horizontale, et |3 sera aussi constant; mais si, dans son mouvement, il change de plan vertical, ce qui suppose que a est variable, il changera aussi de ligne horizontale, et ^ sera aussi variable.

L#es sur&ces que nous considérons sont donc telles que a et ]3, ou

les quantités ^ et z qui leur sont respectivement égales, sont con-

stantes ensemble et variables ensemble. Donc ces quantités sont fonctions l'une de l'autre. Donc l'équation générale de ces surfaces est

dans laquelle la forme de la fonction cp dépend de la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la génératrice.

Nous verrons par la suite que cette seconde équation est l'intégrale complète de la première.

Étant données les équations de la courbe à double courbure qui dirige le mouvement de la droite génératrice y trouver l équation de la surface individuelle.

D'après ce que nous avons vu pour les surfaces précédentes, il est évident que si les équations données de la courbe à double cour-

bure sont

F {x, j, z) = o, et /(.r, j, z) = o,

il faudra éliminer ^r, j , z entre les quatre équations suivantes,

z = ^ût ;

c*e qui donnera un résultat que nous représenterons par

f (a, Ça) = o;

puis substituer dans cette équation pour etet(p<t leurs valeurs : ainsi l'équation demandée sera

ii' ') = »•