PREMIÈRE MANIÈRE, D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PLAN TANGENT

1 . Chacun des plans tangents de l'enveloppe étant aussi tangent à un des cônes enveloppés, il s'ensuit que tous ces plans formeiît avec le plan horizontal un angle constant. Or, nous avons vu que pour cet angle on a

cos =

donc il faut que cette expression soit égalée à une constante ; ce qui , en nommant a la tangente de l'angle, donne pour équation générale de toutes les enveloppes produites par cette même génération

2. La caractéristique delà surface, c'est-à-dire la ligne de contact de cette surface avec chacune des enveloppées, est évidemment un des côtés du cône enveloppé, et par conséquent une droite perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent correspondant : elle est donc, comme dans le cas précédent, la ligne de plus grande pente de la surface ; donc sa seconde équation sera de même

3. L'arête de rebroussement étant touchée par toutes les caractéristiques, et celles-ci étant des droites qui forment avec le plan horizontal un angle constant, et dont la tangente est a, il s'ensuit que, quelle que soit la courbe qui dirige le sommet du cône enve-

loppe, chacun des éléments de l'arête de rebroussenient fait avec sa projection horizontale un angle dont la tangente est a. On a donc pour toutes les arêtes, et pour chacun de leurs points,

sjdx* -h dj*

L'équation générale des arêtes de rebroussenient de toutes les surfaces soumises à cette génération est donc

Ces mêmes arêtes de rebroussement sont susceptibles d'une génération plus simple. En effet, après avoir mené dans un plan vertical quelconque une droite qui fasse avec l'horizon l'angle dont la tangente est a, si l'on plie ce plan siu* la surface d'un cylindre vertical à base quelconque, la courbe à double courbure cpie la droite formera par son application sur la surface sera évidemment celle qui est exprimée par l'équation (c).

De la caractéristique.

Nous avons dit (§ VII) que dans tous les cas Téquation [h) de h caractéristique pouvait être déduite analytiquement de l'équation [a) de l'enveloppe. Nous allons le démontrer.

Pour abréger, nous représenterons désormais par p et q les différences partielles de z, de manière que pour toute surface on ait

dz =pdx -h qdy.

L'enveloppe touchant dans chacun de ses points une des enveloppées, et ces deux surfaces ayant pour leur point de contact le même plan tangent, il s'ensuit que pour ce point de contact les valeurs des cinq quantités ^,/, z,/?, q sont les mêmes, soit que l'on considère le point comme appartenant à l'enveloppe, soit qu'on le

regarde comme appartenant à l'enveloppée : ainsi l'équation (a) de Tenveloppe, qui n'est, en général, composée que de ces cinq quantités, appartient non-seulement à toutes les enveloppes différentes soumises à la même génération, mais encore à toutes les enveloppées comprises sous toutes ces enveloppes. Considérons-la d'abord comme appartenant aux enveloppées.

Des cinq quantités a:, /, js,/?, y, les deux dernières, p et ^, sont les seules par lesquelles peuvent différer entre elles les équations individuelles de deux enveloppées différentes; elles sont donc les seules qui dépendent de la valeur de la quantité a, qui, pour une même enveloppe, indique la position de l'enveloppée individuelle. (3r nous avons vu que, [)our avoir l'équation de la caractéristique, il faut différentier l'équation de l'enveloppée, en regardant a comme seule variable. Donc, si l'on représente par

Pdp -H Qdq = o

la différentielle de Téquation (a), prise en ne faisant varier que p et (/, sa différentielle, prise en regardant a comme seule variable, sera

or on a d'ailleurs

dz z=L pdx -h qdy^

et par conséquent

donc, éliminant y-j-y (t^ )' ^*^ ^^^^ pour équation de la caractéristique

Vdy — Çldx = o.

C'est cette équation qui, dans tous les cas, produira Téquation (b) de la caractéristique.

Considérons actuellement l'équation (a) comme appartenant aux enveloppes. Des cinq quantités ^, /, z, p^ q^ les deux dernières sont encore les ^ules par lesquelles peuvent différer entre elles les équations individuelles de deux enveloppes différentes; elles sont donc les seules qui dépendent de la forme de la fonction <p qui particularise l'enveloppe. Ainsi, en supposant que la fonction ^ renferme un paramètre y qui soit constant pour une même enveloppe , et qui varie en passant d'une enveloppe à une autre, les quantités Pj q sont, dans l'équation (a), les seules qui dépendent de la valeur de 7. Or, si l'on voulait trouver la ligne d'intersection de deux enveloppes consécutives, il faudrait différentier l'équation (a) en regardant y comme seule variable; ce qui donnerait évidemment

et parce que l'équation

dz=prfx -h qdy donne également

{^^"^^^^yy^"'

en éliminant ( -r^ b ( -^ b on aurait encore

Pdf — Qdx = o,

qui est la même équation que celle que nous avons trouvée pour la caractéristique. Donc la caractéristique jouit de la double propriété d'être l'intersection de deux enveloppées consécutives inscrites dans la même enveloppe, et d'être l'intersection de deux enveloppes consécutives circonscrites à une même enveloppée.

Il est facile de vérifier ce résultat sur toutes les surfaces dont nous avons étudié les générations ; nous allons le faire sur celles de révolution prises pour exemple.

Une surface de révolution est l'enveloppe d'une suite de sphères dont les centres sont sur l'axe, et dont les rayons sont variables suivant une certaine loi. Pour une même siu'face de révolution, c'està-dire pour une même enveloppe, la ligne suivant laquelle se coupent deux sphères consécutives est évidemment la circonférence d'un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et dont le centre est dans l'axe. Ensuite, si l'on suppose que la coiu'be qui sert de méridien à la surface vienne à changer, il en résultera une nouvelle surface de révolution qui, si elle coupe la première, la coupera évidemment encore dans la circonférence d'un cercle dont le plan sera perpendiculaire à Taxe, et dont le centre sera dans l'axe. C'est cette circonférence de cercle, ayant pour axe une droite constante de position, qui est la caractéristique des surfaces de révolution autour de cette même droite , et qui est en même temps , comme on voit, l'intersection de deux sphères consécutives sous la même enveloppe, et celle de deux enveloppes consécutives autour de la même sphère.

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

L'équation d'une surface conique droite à base circulaire, dont le sommet est dans le plan horizontal, et dont l'axe est vertical, est

dans laquelle a et |3 sont les coordonnées du sommet, et a est la tangente de l'angle que le côté du cône fait avec le plan horizontal. Si l'équation de la courbe que le sommet doit parcourir dans le plan horizontal est représentée par

on attra

et l'équation générale de l'enveloppée sera

différentiant trois fois de suite, en regardant a comme seule variable, on aura les trois autres équations

(B) ' (j — <pa)(p' d-^- X — fit = o,

(D) ' {x — (pa)(p'"ti—^(p'<t(p''ct=o,

desquelles on déduira, comme nous F avons vu, T équation de l'enveloppe, celles de sa caractéristique et celles de son arête de rebroussement.

S'il était question de déterminer la forme de la fonction ^, de manière que l'enveloppe individuelle passât par une courbe don- *iiêe ou. ceignît une surface donnée, on le ferait par la méthode qui a été exposée dans l'exemple des surfaces des canaux circulaires.

Nous terminerons ce qui regarde les surfaces dont la ligne de plus grande pente est une droite d'inclinaison constante, par exposer une propriété remarquable dont elles jouissent toutes relativement à leur quadrature. Le plan tangent de chacune de ces surfaces faisait toujoiu^ le même angle avec le plan horizontal, l'aire de chacun des éléments est à sa projection horizontale dans le rapport constant du rayon au cosinus de l'inclinaison du plan tangent, n suit de là que \aire dune portion finie de cette surface ^ terminée par une courbe quelconque, soumise ou non à la loi de continuité, est à sa projection horizontale dans le rapport du rayon au cosinus de V inclinaison constante de la surface. Ainsi la quadrature de cette

sur&ce ne dépend que de celle de l'aire d'une courbe plane.

Cette propriété ne convient qu'aux surfaces que nous considérons; elle pourrait être regardée comme un de leurs caractères, et servir à leur définition. **