COURBURE

Si Ton conçoit qu'une surface courbe quelconque donnée, et constante de figure, se meuve le long d'uiie courbe quelconque , sans éprouver de mouvement de rotation, c'est-à-dire de manière que deux plans non parallèles entre eux et fixés à la surface restent toujours chacun parallèle à lui-même pendant le mouvement, la siirfece qui enveloppera l'espace parcouru aura une propriété*^ dépendante de la courbe qui dirigera le mouvement de l'enveloppée, et l'équation qui exprimera cette propriété sera celle de cette espèce de génération. C'est cette équation que nous nous proposons de trouver. Nous commencerons par des cas simples. Nous supposerons d'abord que l'enveloppée se meuve le long d'une courbe plane tracée sur un des plans de projection, et i^ sur le plan des Jo, y, que nous regarderons comme horizontal.

La courbe qui dirige le mouvement de l'enveloppée étant plane et horizontale, si, par un point quelconque de l'enveloppe, on mène un plan tangent à cette surface; puis si, considérant l'enveloppée dans sa position primitive , et pour laquelle on a son équation , on lui conçoit de même un plan tangent, mais parallèle au premier, le point de contact de ce dernier plan sera, pour l'enveloppée, celui

qui, par le mouvement, doit venir se confondre avec le point pris ittr l'enveloppe. Ces denx points de contact doivent donc être à la mêiçe hauteur, quelle que soit d'ailleurs la courbe qui dirige le mouvement. Cela posé, représentons l'équation donnée de l'enveloppée, considérée dans sa position primitive, par

et représentons par F'(ar, j) et F"(a:, j) les coefficients de djo et cly dans la différentielle de cette équation, de manière que l'on ait, par la difierentiation ,

dz = F'{x,y)ih:-hF"{x,y)dy;

enfin, soient oc\y\ z' les coordonnées du point de contact de l'enveloppée, x^y^z étant celles du point de contact de l'enveloppe,

on aura

le parallélisme des deux plans tangents donnera les deux équations

et les deux points de contact devant être à la même hauteur, on aura

Ces quatre équations ayant lieu simultanément pour tous les points de l'enveloppe, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de ;r',^j', z', il s'ensuit que, si l'on élimine ces trois quantités entre les quatre ëquatiofts, l'équation résultante, qui sera nécessairement de la forme

sera celle de l'enveloppe demandée.

TfîPWP

■•vJ

Ol.^

Mai% dans le cas dont il s'agit, on peut avoir l'équation de la caractéristique indépendamment de l'équation (a) et de la forme de la fonction f. En effet, si l'on circonscrit à l'enveloppe une surface cylindrique horizontale, et qui la touche en une ligne courbe, cette courbe de contact sera évidemment la caractéristique demandée; car, étant tangente à l'enveloppe, elle sera aussi tangente à deux enveloppées consécutives, et elle comprendra la courbe suivant laquelle ces deux enveloppées se coupent. Or, l'équation de la surface cylindrique horizontale est, en général,

Où étant une constante qui indique la direction de la surface cylindrique : donc la caractéristique devant se trouver sur cette surface, on aura pour elle cette seconde équation

dans laquelle io est la constante dont la valeur particularise la position de cette courbe.

En raisonnant d'une manière analogue, on trouvera que si la ligne qui dirige le mouvement de l'enveloppée est une courbe tracée dans le plan des a:, z, l'équation de l'enveloppe sera le résultat de l'élimination des deux quantités .r', j' entre les trois équations suivantes :

et qu'elle sera par conséquent de la forme

(«) Hr^p^q) = ^^

dans laquelle la forme de la fonction f n'est pas la même que celle

du cas précédent. Réciproquement, toute équation de la forme de la précédente est celle de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par une surface courbe, constante de figure, et quî, sans tourner, se meut le long d'une courbe plane tracée dans le plan des .r, z.

L'équation de la caractéristique se trouve de même indépendamment de la forme de la fonction f ; car cette courbe est, sur une siu*face cylindrique, parallèle au plan des ^, js, et qui est cit^onscTite à r enveloppe. Son équation est donc

dans laquelle cù est une constante qui particularise chaque caractéristique.

L'équation de l'enveloppe en quantités finies est évidenunent le résultat de l'élimination de l'indéterminée a. entre l'équation

(A) z — (i = ¥[x — ^tf,/)

et sa différentielle (B), prise en Regardant a. comme seule variable. De même, si la courbe qui dirige le mouvement de l'enveloppée était tracée dans le plan des j, z, l'équation de l'enveloppe serait le résultat de Télimination des deux quantités .r', y' entre les trois équations

et serait par conséquent de la fomie (a) t'(j;, /?, y) = o;

celle de la caractéristique serait

et l'équation de l'enveloppe en quantités finies serait le résultat de l'élimination de l'indéterminée x entre l'équation

(A) z — a = F (or, j — (pa)

et sa différentielle (B), prise en regardant a comme seule variable. Passons enfin au cas général. Supposons que la courbe qui dirige le mouvement de l'enveloppée soit tracée sur une surface courbe quelconque donnée, et dont l'équation soit représentée par

r indiquant une fonction donnée des trois variables j?, j, z. L'enveloppée n'ayaiN: aucun mouvement de rotation, chacun de ses points décrit le même arc d'une même courbe; mais cet arc, pour les cKflerents points, est placé, sans tourner, dans différentes parties de l'espace. Si donc on mène à l'enveloppe, et à l'enveloppée considérée dans sa position primitive, deux plans tangents parallèles entre eux , ce qui donnera les deux équations

le point de contact de l'enveloppée sera celui de tous les points de cette surface qui, dans le mouvement, viendra se confondre avec le point de contact de l'enveloppe ; et les trois quantités x — x'\ y — y ^ z — z' seront respectivement égales aux trois coordonnées d'tm des points de la surface sur laquelle est tracée la courbe qui

dirige le mouvement. On aura donc entre ces trois quantités

l'équation

on a d'ailleurs, par supposition, entre les trois coordonnées du point de contact de l'enveloppée, l'équation

(^es quatre équations devant avoir lieu simultanément pour tous les points de Tenveloppe, par conséquent pour tous ceux de l'enveloppée, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de a;', j', z', il H ensuit que, si l'on élimine ces trois quantités, l'équation résultante Hcra en 0?, j, z, )» et (/ celle de l'enveloppe demandée. , #

Supposons que des deux premières équations et de la dernière, on ait tiré en p et q les valeurs de x\ x\ z\ et que ces valeurs Hoienl

v\\ It^H Hulmtituant dans la tmisième, on trouve que réquation de l'uiivi^loppo peut toujoui^i otiv mise sous cette forme

dniiii liu|ut^ll(^ It^H tr(MH Jonctions f, /, F ne sont point indépendniilrti, iimiN houI liées eutit^ elles par une loi qu'il est facile de

dérouvrir.

I^Ji ellel , quelU*H (|U0 soient et la nature de l'enveloppée et celle Ai^ lu Murliu^e Hur la(|ut*lle est tracée la courbe qui dirige le mouveiiM^nl, e'ml-h-dire (|uelleH (jue soient les formes des fonctions F et r, il Mut évideiil que des trois qiumtités x — x'y y—y', z — z', ou deM lnii»i Huivaules, ciui leur sont respectivement égales,

'' n/>t V)» .r - J\p^ V)» - — t'ip^ 7)» si deux quelconques MiMl iiup|ioHét*H (MMiHtantes, ce qui fixe le point que l'on considère ^uy Teiivelopp^s la troisième est aussi nécessairement constante. Il liiul quii %\ le»i dilVénMitielles de deux d'entre elles sont égales à zéro, <*iillii dii la IroÎNiiNme soit aussi égale à zéro, et par conséquent que

l'on ait en même temps les trois équations suivantes :

dx — df{p,q) = o^

^kr — ^f{p^ 9) = o>

pdx-\-qdy — dF{p, q) = o;

il faut d'ailleurs que ces trois équations aient lieu, quelles que soient les valeurs de dx et dy^ qui sont arbitraires : donc, si entre ces trois équations on élimine dxetdy^ l'équation résultante

^^{P^ q) =pdf{p, q) 4- qd/{p, q)

exprimera la condition qui lie entre elles les formes des trois fonctions f , y, /^.

Donc, si l'on a une équation aux différences partielles du premier ordre de la forme

(a) T[x — {{p,q), jr—/{p^q), z — F{p,q)] = o,

dans laquelle r indique une fonction quelconque donnée de trois quantités, mais dans laquelle les trois fonctions f, y, F satisfassent d'ailleurs à la condition suivante :

dF = pdî -h qd/j

cette équation sera celle de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par une autre surface courbe, constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d'une courbe quelconque tracée sur ime troisième surface courbe donnée, l'équation de cette dernière sur&ce étant

Quant à l'équation de l'enveloppée, il est facile de la déduire de l'équation (a) de l'enveloppe supposée donnée. En effet, l'enve-

loppe peut toujours coïncider avec l'enveloppée ; elle y coïncide lorsque pour tous ses points on a en même temps

.V — x' = Oj y — j' = o, z — z' = o,

ou, ce qui revient au même, lorsqu'on a les trois équations suivantes :

Ces trois équations devant alors avoir lieu pour tous les points de l'enveloppe, et par consé(juent quelles que soient les valeurs de p et de 7, il s'ensuit que, si l'on élimine entre elles ces deux quantités, réquation en a?, j, z que Ton obtiendra sera celle

de l'enveloppée considérée dans sa position primitive.

Cette équation étant obtenue, si l'on diminue les coordonnées z, y^ X des quantités respectives a, ^a, -^ct, dans lesquelles ^ et 4 représentent des fonctions arbitraires, ce qui donnera

z — ût= F(j? — (pa, y — 4*)'

on aura l'équation de l'enveloppée transportée le long d'une courbe à double courbure quelconque, jusqu'en un point de cette courbe qui correspond a z = a; puis, si l'on élimine ime des deux fonctions (pflt, 4* au moyen de l'équation

r((pa, 4^^^ *) = ^5

la c*ourbe qui dirige le mouvement sera assujettie a être sur la surface donnée; enfin, si l'on élimine a de ce résultat au moyen de sa (lifFérentielle prise en regardant a comme seule variable, on aura

en quantités finies l'équation de Tenveloppe, et par conséquent rintégrale de l'équation (a).

Jusqu'ici nous avons supposé que la courbe qui dirige le mouvement de l'enveloppée était tracée sur une surface courbe donnée; si cette courbe était totalement arbitraire dans ses deux projections, la génération de l'enveloppe pourrait de même être exprimée; mais elle ne le pourrait être indépendamment de toute fonction arbi • traire qu'au moyen des différences partielles du second ordre. Nous nous occuperons incessamment de ce genre de différences , et nous aurons occasion de traiter cette même surface d'ime manière encore plus générale.

Comme ces recherches conmiencent à devenir compliquées , nous croyons devoir les éclaircir par un exemple simple.

EXEMPLE

Étant donnée une surface de révolution autour de laae des z, et dont l'équation sera, comme nous l'avons vu,

n indiquant une /onction donnée, et une courbe quelconque étant tracée sur cette surface; si Von suppose quune spfière de rayon constant se meuve de manière que son centre décrive cette courbe, trouver V équation de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par la sphère, indépendamment de la nature de la courbe parcourue par le centre.

Si l'on représente par a le rayon constant de la sphère enveloppée, l'équation de la surface de cette sphère, considérée dans sa position primitive, sera

les deux équations qui expriment que les plans tangents à la sphère et à l'enveloppe sont parallèles entre eux seront

Va' — x"— j"

celle qui exprime que les deux points de contact coïncideront dans un instant du mouvement sera

et éliminant x\y\z' entre ces quatre équations, on aura T équation demandée.

Si Ton tire des trois premières les valeurs de x\ y\ z\ on trouvera

donc, en faisant, pour abréger,

r équation de l'enveloppe demandée sera

Cette équation est de la forme de l'équation {a) du cas général; car,

pour ce cas particulier, on a

et en exécutant les difFërentiations indiquées, on trouve que V équation de condition

j a j ap I aq

est identique.

Actuellement, si F équation aux différences partielles que l'on vient de trouver était proposée, et s'il fallait en déduire, en quantités finies, les équations de l'enveloppée et de l'enveloppe supposées inconnues, on aurait d'abord celle de l'enveloppée, en éliminant petq des trois équations

—ag a

ce qui s'exécute facilement en carrant les trois équations et ajoutant, et l'on trouverait

On aurait ensuite l'équation de l'enveloppe en éliminant a entre i ^équation suivante :

CA) {œ — ciy + (r - (pay -h js - n[a^ -+- {<p^y]Y = ^%

sa différentielle prise en regardant a comme seule variable . Nous terminerons là ce que nous nous proposons de dire sur la génération des sur&ces courbes qui peuvent être exprimées par

<l('s (lifloreiices partielles du premier ordre, pour passer à celles<{ui ('xigent des différences partielles du second ordre; mais, en traitant i\v relles-ci, nous aurons encore occasion de voir un assez grand nombre de celles de la première espèce.

l)K LA SURFACE ENGENDRÉE PAR LE MOUVEMENT D'UNE DROITE QUI NE CESSE PAS D'ÊTRE PARALLÈLE A UN PLAN CONSTANT DE POSITION.

Si Ton <î()n(;oit dans l'espace deux courbes quelconques à double riMirbure, et (|u'une droite constamment parallèle à un plan fixe r»r ninive d(î manière qu'elle s'appuie toujours contre ces deux niurb(*H, ce (|ui déterminera la nature de son mouvement, la surliirr courbe (engendrée par la droite, par cela seul qu'elle résultera i\v nitle génération, aura une propriété indépendante de la nature di^ti diMiK c^ourbes qui dirigent le mouvement de la droite , et l'exlirmuion iuiiilyti({iie de cette propriété sera l'équation générale de liMih'M IrH »iiirfiiceH S(mmises à la même génération.

l/rMprrHHion i\v cette propriété peut être obtenue sous trois , Inniipi» li^H-diU'érentes : i*" Elle peut ne renfermer aucun vestige dp Im MMlin'c i\vH d(Uix courbes directrices; alors elle contient des

lIllriMirrH piniitîlIcH du second ordre, et elle est délivrée de toute ImiicIMMI ui'bitniire. •/* Klle peut ne renfermer des vestiges que d'iniM MMilo dp»i deux directrices; alors elle peut être exprimée en dllh'«riMMM«» piirtii^lli'H du premier ordre, mais elle contient une fonc- Mmii lU'bllniÎHS <•• ^*<''" P*'^** avoir lieu de deux manières essentielle- \\\v\\\ \MhV\\\v^* J" Knrm,elle peut ne renfermer que des quantités

finies : dans ce cas , elle conserve les vestiges des deux directrices , et elle renferme deux fonctions arbitraires. Nous allons donner toutes ces formes dans l'ordre suivant lequel nous venons de les énoncer.

Pour abréger, de même que nous représentons par p eX q les différences partielles du premier ordre de l'ordonnée z, de manière que nous avons

dz =pcLv -}- gctyj

nous représenterons aussi, dans la suite, par r, ^, ^ les différences partielles du second ordre, de manière que nous aurons

dp = rdx H- sdy^ dq = sdœ H- tdy^

où l'on voit que, comme on sait, le coefficient de dy^ dans la différentielle de /?, est le même que celui de dx dans la différentielle de q. On aura donc aussi

ddz = rdx'^ -\- isdxdy H- tdy'^.

Tant que les trois quantités a:, j, z sont considérées conune les coordonnées d'ime surface courbe, ce qui arrive toujours, lorsqu'elles ne sont liées entre elles que par une seule équation, deux quelconques d'entre elles, par exemple a? et j, peuvent toujours être regardées comme indépendantes; leurs accroissements dx^ dy sont donc, en général, indépendants et arbitraires. Lorsqu'on est obligé de considérer plusieurs de ces accroissements successifs , on est le maître de donner à chacun de ceux de la même suite la valeur que l'on veut, pourvu qu'on introduise dans le calcul la loi qui détermine la valeur de chacun des accroissements de la suite. La loi la plus simple est de supposer dx etdy constants; et l'introduction de cette loi dans les calculs s'opère en faisant ddx = o, ddy = o :

c'est pour cela que ces différences secondes n'entreront dans les recherches suivantes que lorsque nous parlerons des courbes à double courbure.

La surface que nous considérons jouit évidemment de cette propriété, I® que si par un point quelconque de cette surface on conçoit la droite génératrice et un plan tangent, ce plan passera par la droite; 2® que si le point se meut sur la surface, mais sans sortir de la même génératrice, le nouveau plan tangent, qui passera encore par la même droite, coupera le premier dans la génératrice ellemême. C'est cette propriété dont il s'agit d'avoir l'expression.

Pour cela, a:, j, z étant les coordonnées du point considéré sur la surface, ^Xx\ y\z' celles du point général d'un plan, soit •

Aa:' + B/ + Gz' = o

r équation donnée du plan fixe mené par l'origine, et auquel la génératrice doit constamment être parallèle. L'équation du plan tangent à la surface sera, comme on sait,

Si par le même point de la surface on mène un plan parallèle au plan fixe, son équation sera

A{x — x') -hB(j— 7') +C{z — c') =0,

et ces deux équations seront celles de la génératrice lorsqu'elle passe par le point que l'on considère.

Si le point de contact change de position sur la surface, quelle que soit d'ailleurs la direction de son mouvement , le nouveau plan tangent coupera le premier en ime droite, dont on aura l'équation

en différentiant T équation du plan tangent, sans faire varier ni ^', ni y\ ni jz' ; ce qui donnera

{x — x') [rdx ^- sdy) H- (j — y') {sdx -|- tdy) = o,

dans laquelle la valeur de ^ dépend de la direction du mouvement

du point de contact. Mais si Ton veut que ce point ne sorte pas dii plan parallèle au plan fixe, il faut que les quantités dx^ dy^dz aient entre elles la relation que donne l'équation de ce plan ; il faut donc que la différentielle de cette équation, prise en regardant aussi ^\x' j z' comme constants, soit satisfaite, c'est-à-dire que l'on ait

kdx H- ^dy H- G {pdx H- qdy) = o,

ce qui donne la valeur de ^- L'intersection des deux plans tangents consécutifs devant coïncider avec la génératrice, il s'ensuit que les valeurs de x\ y\ z' sont les mêmes pour ces quatre équations; or ces équations doivent avoir lieu pour tous les points de la surface, et par conséquent quelles que soient les valeurs de x^ y^ z

et -^^ Donc, si l'on élimine les trois quantités ^~^,? ■^~-^,> -^, l'équation résultante

(C^ H- B) V — 2 (Gy -h B) (G/; H- A) ^ H- (G/? H- A)^ ^ = o

sera aux différences partielles secondes et linéaires celle de la surface demandée.

Si le plan fixe avait été parallèle aux z, on aurait eu G = o dans l'équation donnée de ce plan; et l'équation aux différences secondes

aurait été

BV— 2AB^H-A'^ = o,

dont tous les coefficients sont constants, et qui, à cause de sa simplicité, paraît êtrg celle par laquelle nous aurions dû commencer

lO

ces nouvelles recherches; mais nous avons cru devoir leur donner dès à présent toute la généralité qui n'augmente pas leur difficulté. Les surÊices dont F équation est aux différences secondes ont leur caractéristique comme celles du premier ordre, et l'équation de cette courbe peut toujours être déduite de l'équation diflférentielle par la méthode générale que nous allons exposer.

De la caractéristique des surfaces dont V équation est aux

différences secondes.

Quelle que soit la génératrice de la surface, et quelle que soit la position dans laquelle on la considère, cette courbe coupe les deux directrices chacune en un point; par chacun de ces points menons à la directrice correspondante une tangente, puis concevons pour une autre surface soumise à la même génération deux nouvelles directrices, mais qui soient telles qu'elles touchent respectivement les premières chacune dans le point par lequel passe la génératrice, en sorte que les deux tangentes soient communes aux nouvelles directrices et aux premières. Gela posé, il est évident que les deux surfaces engendrées se toucheront dans toute l'étendue de la génératrice : elles auront donc une ligne commune qui ne changera pas,

lorsque tout ce qui particularise une surface individuelle éprouvera une variation, et qui sera par conséquent la caractéristique. Ainsi, pour avoir l'équation de cette ligne commune, il faudra difTérentier celle de la surface, en ne faisant varier que le paramètre, dont la valeur particularise la surface individuelle* Mais la ligne commune étant une ligne de contact dans toute son étendue, les cinq quantités ^, j, Zj fy q ont les mêmes valeurs pour les deux surfaces, et ne varient pas lorsque ce paramètre change ; les trois autres quantités r^ Sj t sont donc les seules qui en dépendent. Donc, pour différentier l'équation de la surface, en ne faisant varier que le para-

mètre, il fiiut la différentier d'abord en ne faisant varier que r, s^ t. Soit cette différentielle

Rdr-hSds-hTdt = o.

Comme les quantités p et q sont les mêmes pour les deux surfaces, leurs différentielles, prises de la même manière, doivent aussi être nulles; ce qui donne

drdx -h dsdy = o, dsdx -{- dtdf = o.

lilnfin, ces trois équations devant avoir lieu dans toute l'étendue de la ligne de contact, et par conséquent quelles que soient les valeurs

cie ^ ^t ^' si ï'oï^ élimine ces deux quantités entre les trois équa-

t:ions, on aura pour équation générale de la caractéristique d'ime surface dont l'équation est du second ordre,

R^/j2 Srf.rrfj -h Tdjc^ = o.

Cette équation étant du second degré algébrique par rapport à %^ il s'ensuit qu'en chaque point de la siu'face on a deux valeurs de

^ pour la caractéristique qui passe par ce point ; la caractéristique

a donc deux tangentes différentes en ce point, qui est par conséquent un point double de cette courbe.

Dans tous les cas où l'équation qu'on vient de trouver a deux

facteurs rationnels linéaires par rapport à ^^ il y a deux caractéristiques indépendantes, et dont on peut avoir les équations individuelles: mais, dans le cas général, ces deux caractéristiques sont les deux branches d'une même courbe, et ces branches se coupent toujours dans le ppint que-l'on considère sur la surface.

lO.

Dans le cas particulier de la surface dont nous nous occupons, on a

S = -a(Cy + B)(C/;-hA),

r équation de la caractéristique est donc

(Gy4-B)Vj^-h2(Gy-hB)(G/? + A)d^rf7-+-(G/?H-A)V^^=o,

qui peut être mise sous la forme

(Acte H- Bdy -h CdzY = o.

Gette équation a deux facteurs rationnels linéaires; mais ces deux facteurs étant égaux, il s'ensuit que les deux caractéristiques coïncident partout, et ont pour équation commune

Adr -h hdf -h Cdz = o,

dont l'intégrale est

Ax -h Bj + Gz = a,

dans laquelle a est la constante qui, variant d'une caractéristique à une autre, détermine la position de cette courbe. Gette équation est celle d'un plan parallèle au plan fixe, et qui coupe la surface dans la génératrice; donc la caractéristique n'est autre chose que la génératrice elle-même.

Pour trouver les deux équations aux différences partielles du premier ordre, concevons par un point quelconque de la surfece, i*" un plan tangent, 2^ un plan parallèle au plan -fixe; les équations

(le ces deux plans seront

Gela posé, il est évident que si le point se meut sur la surÊice, ce qui changera la position du plan tangent, tant que ce point ne sortira pas du second plan, les deux plans se couperont dans une même ligne droite. Il s'agit donc d'exprimer que si le second plan est constant, la droite d'intersection sera aussi constante. Mais cette droite, se trouvant sur un plan constant, sera elle-même constante si une seule de ses projections l'est : donc il suffira d'exprimer qu'une des projections de la droite et le second plan sont en même temps constants de position.

Le second plan sera constant de position si la quantité Aa:H-Bj^H-Gz est constante. Représentons cette quantité par a,

qui donnera

d =z Aœ -+- Bj 4- Cz.

On aiu'a l'équation de la projection de la droite sur le plan des 9 z, en éliminant/ entre les équations des deux plans; cette équa-

o>nsera

us laquelle on a

P B/7 — Aq

B(z—px—çy) + ccq '~ Bp — Àq

Donc il faut que » étant constante, les deux quantités |3 et 7 le

Soient aussi Routes deux; or, il y a entre *, |3, 7 une relation telle

^^{ue si deux d'entre elles sont constantes, la troisième l'est aussi né-

^ï€ssairement, puisqu'en faisant det=:o et d^=:o, onsi dy = o;ce

qu'il est facile de vérifier par la difFérentiation : donc il suffira d'énoncer que de ces trois quantités, deux quelconques sont constantes ensemble et variables ensemble, et par conséquent fonctions l'une de l'autre; donc une des équations aux différences du premier ordre sera

En opérant d'une manière analogue sur les deux autres projections, on aurait trouvé les deux nouvelles équations

|±4-^ = 4[A,r + B^ + Cz],

dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres : ainsi deux de ces trois équations, les deux premières par exemple, seront, aux différences partielles du premier ordre, celles de la surface demandée.

Si l'on regarde les fonctions ç, 4? "^ comme arbitraires, c'est-àdire comme susceptibles de toutes les formes possibles, chacune des trois dernières équations est de la même généralité que celle aux différences secondes, et deux quelconques d'entre elles en sont les intégrales premières.

Si l'une quelconque des trois équations aux différences partielles premières que l'on vient de trouver était proposée, soit que la fonction fût donnée, soit qu'elle fut arbitraire, et s'il fallait trouver l'équation de la caractéristique de la surface courbe à laquelle elle appartient, il faudrait, comme nous l'avons vu, différentier cette équation en regardant p et q comme seule variable ; ce qui donnerait un résultat de la forme Vdp + Q^ = o, et l'équation Pf/r — Qdlr = o serait l'équation demandée. Or, si l'on diffé-

rentie de cette manière chacune de ces trois équations, on trouve également pour chacune d'elles

P = C5r-+-B, —Q = Gp^A;

donc l'équation de la caractéristique est indifféremment, pour les trois équations,

{Cq H- B)d)r -h {Cp 4- \)dx = o,

ou, ce qui revient au même,

AcLv -+- Bdy -+- Gdz = o,

la. même que celle que nous avons trouvée pour l'équation aux différences secondes.

Enfin, pour trouver en quantités finies l'équation de la surface, il &ut observer que si le point que l'on considère se meut sur la Surface de manière qu'il reste toujoiu^ dans le même plan parallèle uplan fixe, il se mouvra en ligne droite, c'est-à-dire qu'il restera oujours dans un autre même plan mené par l'origine. Soit

z=^ ax -h bf

inéquation de ce dernier plan; il fout donc que si la quantité -^j;-i-By*4-Gs = a est constante, ce qui exprime que le point '^i^cste dans le même plan parallèle au plan fixe, les deux autres f^uantités a et ^ soient toutes deux constantes : donc ces deux quantités doivent être chacune une fonction de a; donc l'équation demandée est

z = x(p {Ax -h By -h Gz) -4- j4(A^ + B/4-Cz), dans laquelle les formes des deux fonctions ^ et 4 sont arbitraires ,

et ne sont pas les mêmes que celles des fonctions que nous avons représentées par les mêmes caractères dans les équations aux différences premières, quoiqu'elles en dépendent.

Cette équation est de la même généralité que l'équation aux différences secondes, et que chacune des trois aux différences premières, et elle est leur intégrale finie commune.

Deux courbes à double courbure quelcomiues étant données dans V espace, trouver, parmi toutes les surfaces engendrées par le moui^ement d'une droite qui reste constamment parallèle à un plan fixe, celle qui passe en même temps par les deux courbes.

La question consiste évidemment à déterminer dans l'équation générale de ces surfaces

2; = a;^(Aa:H-Bj-+- C^;) 4-/4{A^ H- Bj -h Gz)

les formes des deux fonctions arbitraires ^ et 4, pour que cette équation devienne celle de la surface individuelle demandée.

Soient

les deux équations données de la première courbe, et

(G) F(er, j, z) = o,

celles de la seconde ; si l'on fait

(E) Aa; 4- Bj -h Cz = «,

— 8i — l'équation générale de la surface deviendra

(F) z = x(pu 4- y'\u.

Cela posé, la surfoee devant passer par la première courbe, les quatre équations (A), (B), (E), (F) doivent avoir lieu entre les coordonnées de chacun des points de cette courbe; donc, éliminant entre ces quatre équations les trois quantités a:, /, s, on aura enu^ ^u^'\ii^ une première équation

à laquelle les formes des deux fonctions ^ et 4 doivent satisfaire pour que la surface passe par la première courbe.

De même, la surface devant passer par la seconde courbe, si entre les quatre équations (C), (D), (E), (F) on élimine les trois coordonnées a;, j, js, on aura une seconde équation

à laquelle les formes des fonctions ^ et 4 doivent satisfaire pour que la surface passe par la seconde courbe. Donc, d'abord, si des deux équations (G), (H) on tire les valeurs de (pu et ^u en u^ on aiu'a la forme de chacune de ces fonctions; mais sans faire cette opération, qui suppose la perfection de l'analyse, si, entre les quatre équations (E), (F), (G), (H), on élimine les trois quantités u,,<pu^'\u^ on aura enx^ y^z une équation délivrée de toute fonction arbitraire, et qui sera celle de la surface individuelle demandée.

Cette manière de déterminer les formes de deux fonctions arbitraires s'applique à tous les cas oii les deux fonctions <p et 4 sont composées de la même quantité .

Deiix surfaces courbes étant données, trouver parmi toutes les sur/aces engendrées par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallèle à un plan fixe, celle qui embrasse ces deux surfaces, c est-à-^lire qui les touche toutes deux suivant une ligne courbe.

La question sera évidemment réduite à la précédente, si l'on trouve sur chacune des surfaces données sa courbe de contact avec la siu^face demandée.

Soient

(A) mx,y,z) = o,

les équations des deux surfaces données. Pour tous les points de la lif;ne de contact de la première surface, les valeurs des quantités a, r, r,/;, f/, r, ^, t sont les mêmes, soit que ces points soient considérés sur la surface donnée, soit qu'ils soient regardés comme appartenant à la surface demandée. Si donc, en différentiant l'équation (A), on tire les valeurs àe p^ q^r, s^t, en .r, >-, z, et si l'on représente ces valeurs respectivement par P, Q, R, S, T, les points de la ligne de contact sont ceux pour lesquels on aura en .r, j, 3, P, Q, R, S, T l'équation aux différences secondes de la surface demandée : donc la seconde équation de cette ligne de contact sera

(G) (CQ-i-B)^R— 2(GQ-+-R)(CP + A)S + (GP+A)^T = o.

De même, si par la différentiation de l'équation (B) de la seconde surface donnée on tire les valeurs de/;, /y, r, ^, ^, et si l'on représente ces valeurs respectivement par P', Q', R', S', T', l'équation

( D) ((:Q'+ B)= R'— 2 (GQ'-^ B) (GP'-^ A) S'-+- (GP'+ A)= T = o

sera celle de la ligne de contact de la seconde surface.

une des positions de la génératrice, et dont les équations seront

si Ton conçoit que ce point change de position sur la surface, sans cependant sortir du second plan, le nouveau plan tangent coupera encore le premier suivant la même droite. H faut donc que dans ces deux équations les coordonnées a;', j', z' de la droite d'intersection ne changent pas lorsque celles x^y^ z du point de la surface changent, c'est-à-dire que les différentielles de ces équations, prises en regardant x\ y\ z' comme constantes, aient encore lieu; ce qui donne

j {rdx -h sdjr) {x — x') -h {sclx -h tdjr) {y — x') = o, \ x'dy=^ydx\

iL = y.

dx x'

Mais réquation y — y' = ^— (j; — a:') se réduit à xy^ = xy; elle

donnera donc

y j dj

x' X (Ix

Substituant, dans l'équation (i), pour ^ cette valeur, et pour

- — ^ son expression •-> on aura

jr — X * X

rx' -+- 2sxy -+'ty^ = o

pour l'équation de la surface demandée.

Nous avons vu que si la différentielle de l'équation aux différences secondes, prises en regardant r, ^, ^ comme seule va-

riable, est

Kdr-hScIs-j-Tck = o,

l'équation de la caractéristique est

donc, dans le cas présent, l'équation de cette courbe sera

x^dj' — 2xydjcdf -i-y'dx' = o.

Cette équation a les deux facteurs rationnels égaux xdf — ydjc=^o, dont l'intégrale y=i(tx est l'équation d'un plan mené par l'axe des :: ; a étant la constante arbitraire qui particularise la position de ce plan. Donc les deux branches de la caractéristique se confondent; donc cette ligne, étant l'intersection de la surface avec le plan vertical mené par l'axe des s, n'est autre chose que la droite génératrice elle-même.

Le plan tangent et le plan mené par l'axe des z, dont les équations sont

se coupant dans une droite qui ne change pas de position quand le point de contact se meut dans le second de ces plans, c'est-à-dire

quand la quantité — est constante, il faut que, dans la même hypo-

thèse, deux quelconques des trois projections de cette droite soient constantes. Or, si l'on élimine successivement x\y\ z' entre les équations des deux plans, on trouve que les équations de ces trois

projections sont

x' {p.v -f- (/y) = z\v — x{z — p.v — rjf).

x[r — ai)'' = o,

et ces trois projections seront constantes en même temps que ^, si

les trois quantités — ^ > ^^ — — ^ ? z — px — rjj' sont aussi con-

stantes; il faut donc que ces trois dernières quantités soient fonctions

de —' Mais, de ces quatre quantités, si trois sont constantes, la qua-

trième est aussi constante, puisque si de leurs quatre différentielles trois quelconques sont supposées égales à zéro, la quatrième Test aussi : donc il suffira d'énoncer cjue des trois dernières quantités

deux quelconques sont fonctions de ^; donc enfin les équations

z—px — qy= TT (^^,),

dont les deux premières se réduisent évidemment à une seule, sont les deux équations aux différences premières de la surface demandée .

Si les fonctions <p^-\^7r sont arbitraires, chacune de ces équations est de la même généralité que T équation aux différences secondes, et en est une intégrale première.

Si, pour trouver la caractéristique d'après une des équations aux (lifférences premières , on différentie cette équation en regardant p et q comme seules variables, on trouve également pour chacune des

-trois équations

xdp -+- ydq = o;

r équation de la caractéristique est donc

xd;)" — ydx = o

comme on Ta trouvé d'après Véquation aux différences secondes.

r^a génératrice de la surface étant constante de position quand le plan mené par Taxe des z^ et dans lequel elle se trouve toujours, est

fixe, c'est-à-dire quand la quantité - est constante , il est clair que,

dans la même hypothèse, une quelconque des projections de cette droite sur les plans des .r, c, et des j, j3, est constante. Or, les équations de ces deux projections sont nécessairement de cette forme

donc il faut que, dans Tune ou dans l'autre de ces deux équations,

les quantités p, >, ^ soient constantes quand ^ est constante, et que

par conséquent elles soient fonctions de cette dernière. Donc une quelconque des deux équations suivantes

est en quantités finies celle de la surface demandée.

Si les trois fonctions (p^'\^7r sont arbitraires, ces deux équations sont absolument équivalentes, et chacune d'elles est de la même généralité que l'équation aux différences secondes, et que chacune

TT

(le celles aux différences premières, et est leur iiitégi'ale finie commune. Ces deux équations pouvaient se déduire des trois équations aux différences premières, par le moyen de l'élimination des quantités/; et q.

Des deux formes que nous venons de ti^ouver pour f équation demandée, aucune n'est symétrique; il n'y a que leur système qui le soit. Cela vient de ce que les équations des trois projections de la génératrice n'étant pas de la même forme, puisque la projection sur le plan des x^ y passe par l'origine, tandis que les deux autres n'y passent pas, nous avons employé la première, avec une quelconque des deux autres, pour déterminer le lieu de la génératrice. Si l'on employait les deux dernières projections, le résultat serait symétrique. En effet, les trois quantités |3, 7, (T sont telles, que si l'une est constante, les deux autres le sont aussi ; et cela doit avoir lieu, ([uellc que soit la valeur de cette première : donc l'équation demandée est le résultat de l'élimination de l'indéterminée p entre les deux équations suivantes :

Ce résultat est symétrique, mais a l'inconvénient d'être représenté par le système de deux équations, tandis qu'il peut l'être par une seule de deux manières différentes.

x\u reste, quoiqu'on regarde ordinairement comme moins simples les résultats représentés par le système de plusieurs équations, entre lesquelles il faut éliminer des indéterminées, nous aurons occasion de voir, par la suite, que dans un grand nombre de cas ils ont l'avantage de rendre plus sensible la génération des surfaces qu'ils expriment, et de conduire à des constructions plus élégantes.

La surface n'ayant qu'une seule caractéristique, ou, ce qui revient au même , les fonctions arbitraires qui entrent dans ses différentes équations étant toutes composées de la même quantité, s'il

était question de trouver les équations de la surface individuelle qui passe par deux courbes données, ou de celle qui embrasse deux surfaces coiu'bes données , en les touchant chacune suivant une ligne courbe , on le ferait par le procédé que nous avons exposé en parlant de la siuface précédente.

Nous terminerons en faisant observer que la surface du biais passé et celle de \ arrière-voussure de Marseille, dont nous nous sommes occupé dans la coupe des pierres, sont Tune et l'autre un cas particulier de celle dont il s'agit ici ; car elles sont toutes deux engendrées par le mouvement d' une droite qui passe toujours par l'axe de la porte , et qui d'ailleurs s'appuie dans son mouvement sur deux cintres donnés arbitrairement.

§xn.

DES SURFACES DÉVELOPPABLES.

Les surfaces développables sont celles qui, étant supposées flexibles et inextensibles, sont de nature à pouvoir s'appliquer sur un plan , au moyen d'une simple flexion , et le toucher alors dans tous leurs points , sans rupture et sans duplicature. Les sur- Êices cylindriques à bases quelconques , et les surfaces coniques , sont développables ; mais elles ne sont qu'un cas infiniment particulier de ce genre de surfaces , qui ont toutes un caractère commun ou une propriété exclusive. C'est ce caractère ou cette propriété dont nous nous proposons de trouver l'expression analytique, I® en difierences partielles du second ordre ; 2*^ en différences partielles du premier ordre ; 3** en quantités finies.

On sait qu'il faut trois conditions pour fixer dans l'espace la position d'un plan , et que ces trois conditions servent à déterminer les trois constantes A , B, C , qui entrent dans l'équation du plan. Si de ces trois conditions, deux étant supposées invariables, la troisième est regardée comme pouvant varier suivant une certaine loi ; par exemple , si dans l'expression de cette condition entre une certaine quantité a susceptible d'avoir toutes les valeurs possibles : tant que cette quantité aura la même valeur , la position du plan sera fixe dans l'espace; et quand a» variera, la position du plan changera. Supposons donc que la quantité a prenne successivement toutes les valeurs possibles depuis — oo jusqu'à -t-oo, on aura une suite infinie de plans différents, qui tous satisferont aux deux conditions invariables , et qui ne différeront entre eux que par la troisième condition. Cela posé, l'enveloppe de tous ces plans, c'est-à-dire la surface qui termine la partie de l'espace qu'ils occupent, sera, en général, une surface développable. Avant que de le démontrer, éclaircissons ce qui précède par quelques exemples.

I . Soit donnée une courbe à double courbure quelconque , dont les équations soient représentées par a; = fz, y =fz^ f et /* indiquant des fonctions données. Si sur cette courbe on considère un point pour lequel on ait z = a , les deux autres coordonnées de ce point seront x = ffl6, y=fci. Gela posé, si l'on conçoit par ce point le plan normal à la courbe , ce plan sera déterminé de position ; car il passera par un point déterminé , ce qui est une condition; puis il sera normal à la courbe, ce qui équivaut aux deux conditions de passer par deux normales difiérentes. Les trois constantes A, B, G, qui entreront dans l'équation de ce plan seront donc déterminées, mais, en général, elles seront toutes trois des fonctions de a. En effet, si l'on donne à a une autre valeur, c'est-à-dire si l'on considère un nouveau point de la courbe, le plan normal qui passera par ce point ne sera pas parallèle au pre-

mier; les trois coefficients A , B , C de son équation n'auront donc pas les mêmes valeurs que pour le premier : donc ces coel- Bcients varient quand la quantité cl varie; donc ils sont, en général, des fonctions de a. Actuellement, si l'on donne à a toutes les valeurs possibles, c'est-à-dire si l'on opère de la même manière sur tous les points de la courbe, on aura une suite infinie de plans difierents qui satisferont tous à la condition double d'être normaux à la courbe; et l'enveloppe de tous ces plans, c'est-à-dire la surÊice qui termine la partie de l'espace qu'ils occupent, sera, en général, une surfoce développable. Proposons encore im autre exemple.

2. Deux surfaces courbes étant données, si l'on se proposait de mener un plan tangent en même temps à ces deux surfaces, la question ne serait pas déterminée , parce qu'on n'indiquerait que deux conditions pour ce plan, qui pourrait encore satisfaire à ime troisième condition arbitraire, comme, par exemple, de passer par un point donné. Supposons que ce point soit pris sur une droite donnée de position et corresponde sur cette droite à z = a. Tant que la valeur de a sera la même, c'est-à-dire tant que le point de la droite par lequel doit passer le plan tangent aux deux surfaces sera le même, ce plan tangent sera fixe; mais si ce point vient à changer de position sur la droite, c'est-à-dire si a varie, le plan tangent aux deux sur&ces ne sera plus le même. Cela posé, si Ton donne successivement à a toutes les valeurs possibles depuis flt== — 00 jusqu'à A =-+-00, c'est-à-dire si par tous les points de la droite donnée on conçoit des plans tangents en même temps aux deux sur&ces, on aura une suite infinie de plans différents, qui satisferont tous à deux conditions invariables, et l'enveloppe de tous ces plans sera, en général, une surface développable.

Il n'est peut-être pas inutile d'observer ici que chacun des deux exemples que nous venons de rapporter présente une définition

complète des surfaces dont il s'agit; en sorte qu'il n'y en a aucune qui ne soit comprise en même temps dans l'ime et dans l'autre de ces deux divisions.

L'enveloppée étant ici un plan variable de position, il est clair que la caractéristique de l'enveloppe, c'est-à-dire l'intersection de deux enveloppées consécutives, est une ligne droite: ainsi l'enveloppe demandée est engendrée par le mouvement d'une ligne droite; mais, de plus, deux caractéristiques consécutives étant toujours sur une même enveloppée, il s'ensuit que de toutes les positions de la droite génératrice, deux quelconques consécutives sont dans un même plan, et se coupent quelcjue part en un point. La suite de ces points d'intersection consécutif forme une arête de rebroussement à double courbure, à laquelle la génératrice est constamment tangente. Les surÊtces dont nous nous occupons peuvent donc être encore regardées comme engendrées par le mouvement d'une droite qui ne cesse pas d'être tangente à une même courbe à double courbure, et cette définition, qui les comprend encore toutes, est de la même généralité que les deux premières que nous avons déjà données. Faisons voir actuellement que ces surfaces sont développables .

Deux caractéristiques consécutives étant toujours dans un même plan, l'enveloppe demandée peut toujours être regardée comme composée d'éléments plans d'une longueur indéfinie, d'une largeur infiniment petite, et qui se coupent consécutivement en lignes droites. Cela posé, on peut toujours concevoir que le premier de ces éléments tourne autour de sa droite d'intersection avec la seconde, comme charnière, jusqu'à ce qu'il soit dans le même plan que le second; puis que le système des deux premiers éléments tourne autour de la droite d'intersection du second et du troisième, et ainsi de suite. Si l'on conçoit que cette opération soit continuée pour tous les éléments, il est évident qu'ils seront alors

cette valeur: donc, si Ton élimine ^ , le résultat de rélimination

rt — ^^ = o

sera aux différences partielles secondes T équation générale des surfaces développables.

Nous avons vu qu'étant proposée une équation aux différences ])artielles secondes, si sa différentielle, prise en regardant r, s ^ t c*oinme seules variables, est

Rrfr4-Srf^4-Trff = o, réquation de la caractéristique de la surface est

Rrf/*^ — Sdoody -h Tda:^ = o.

Or, dans le cas présent, nous avons

R = ^, S = — 2Sj T = r;

donc l'équation de la caractéristique des surfaces développables

est

rdx'^ -h isdxdy H- tdy^ = o;

mais parce que Ton a ^ = y r^, cette équation est un carré parfait dont la racine est

dx \r -+- dy \t = o;

donc, dans les surfaces développables, pour chacun de leui's points, les deux branches de la caractéristique se confondent et se réduisent à une seule. De plus, l'équation

rdx'^ 4- ^sdxdy -h tdy^ = o

est la même que celle-ci,

ddz = o ,

qui appartient 9 en général, à un plan. Donc la caractéristique des surfaces développables est une ligne plane. Nous allons voir, dans un moment, que c'est une ligne droite qui n'est autre chose que la génératrice elle-même.

Le point de contact pouvant varier sur les surfaces développables sans que le plan tangent change de position, les trois coefficients p^ q^z — px — qy de l'équation de ce plan sont donc constants ensemble et variables ensemble: ainsi, l'un quelconque d'entre eux est une fonction des deux autres. Mais nous avons vu que si deux de ces coefficients sont constants, le troisième l'est aussi: donc, dans les surfaces développables, si un de ces coefficients est constant, les deux autres le sont aussi; donc deux quelconques d'entre eux sont fonctions du troisième ; donc deux des trois équations

p = <p{z—px — qy), q=^{z—px — qx),

P = Trq,

dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres, sont aux différences partielles premières celles des surfaces développables.

Si les fonctions ^, 4? "^ sont arbitraires, chacune de ces trois équations est de la même généralité que celle aux différences secondes rt — ^^ = o, et en est l'intégrale première.

Il suit de là que l'équation aux différences partielles du premier ordre

^[p,q,z —px — qy] = o,

dans laquelle F indique une fonction quelconque de trois quan-

tites, appartient, en général, à une surface développable. U est facile de vérifier que les équations que nous avons trouvées pour les surfaces cylindriques, pour les surfaces coniques et pour les enveloppes de surfaces coniques dont le sonunet se meut dans un plan horizontal, sont comprises dans la précédente, et que les surfaces auxquelles elles appartiennent sont par conséquent développables.

Si Tune des équations aux différences partielles que nous venons de trouver était proposée, par exemple

et s'il fallait trouver l'équation de l'arête de rebroussement de la surface à laquelle elle appartient, il faudrait d'abord trouver l'équation de la caractéristique, qui, en faisant d.7rq'=7r^q.dqj est

dy -{- dx7r'q = o^

et éliminer pet q entre ces deux équations et la suivante :

dz z=pdx H- qdy.

Mais ces trois équations ne renferment que les cinq quantités/?, ç, dx^ dy^ dz\ donc, quelles que soient les formes de la fonction ir et du coefficient tt' de sa différentielle, lorsqu'on aura éliminé les deux premières quantités/?, q^ le résultat ne sera composé que des trois dernières : donc l'équation aux différences ordinaires de l'arête de rebroussement est nécessairement de la forme suivante :

{{dXj dfy dz) = o.

Nous verrons, par la suite, que réciproquement toute équation aux différences ordinaires de cette forme, c'est-à-dire dans laquelle il n'entre que les quantités dx^ df, dz, est toujours celle de l'arête

de rebroussement d'une certaine surface dëveloppable, dont la nature est déterminée par la forme de la fonction donnée f.

Une surface développable étant Tenveloppe de l'espace parcouru par un plan dont la position varie en vertu de la variation d'une seule des trois conditions qui la déterminent; et par conséquent des trois constantes qui entrent dans l'équation de ce plan, deux quelconques étant toujours fonctions de la troisième, il s'ensuit que cette équation peut toujours être mise sous la forme

(A) J3 = a'(pflt H- j4*+ *>

dans laquelle la quantité a qui détermine la position du plan est constante pour la même position, et variable d'une position à une autre. Si, considérant cette équation comme celle d'une enveloppée , on la différence deux fois de suite en regardant a comme seule variable, on aura

(C) x(p''cL + j4'^c4 = o.

Cela posé :

I. Regardant a comme une indéterminée dont la valeur variable est indifférente, le résultat de l'élimination de cette quantité entre les deux équations (A), (B) sera, en quantités finies, l'équation générale des surfaces développables; en sorte que si les deux fonctions cp et 4 sont regardées conune arbitraires, le système de ces deux équations est de la même généralité que l'équation aux différences partielles secondes rt — j^ = o, et que chacune des équations aux différences premières.

'A . Regardant a comme une constante arbitraire qui doive subsister, les deux équations (A) , (B) sont celles de la caractéristique de

la surÊice, ligne dont la position est déterminée par la valeur de la constante a. Des deux équations (A) , (B) , la première est celle d'un plan, la seconde est celle d'ime droite tracée sur le plan des oo^y. Donc la caractéristique est une ligne droite, et n'est autre chose que la génératrice elle-même.

3. Enfin, regardant encore et comme ime indéterminée, si l'on élimine cette quantité entre les trois équations (A) , (B) , (C) , il résultera, en 07, j, js, deux équations, qui seront celles de l'arête de rebroussement de la surface.

Nous avons vu que les surfaces développables sont susceptibles d'une autre génération, et qu'elles peuvent être engendrées par le mouvement d'ime droite qui ne cesse pas d'être tangente à une même courbe à double courbure. L'expression de cette propriété donne pour ces surfaces des équations en quantités finies qui ne sont pas de la même forme que les précédentes, et qu'il s'agit de trouver.

Soient j = ^z, a? = ^z les équations de la courbe donnée, à laquelle la génératrice doit être constamment tangente, et qui, d'après ce qui précède, sera l'arête de rebroussement de la surface; si l'on considère sur cette courbe un point qui corresponde à 2= a, les deux coordonnées de ce point seront j^ = ^a, x = ^ct; puis, si l'on considère ce point comme celui de contact de la tangente, les deux équations de cette tangente seront

y — ^a = {z — fit) ^'tf, X — '\[ût = (^ — ût)'\f.'a,

dans lesquelles a est une quantité constante pour chaque tangente, variable d'une tangente à une autre, et dont la valeur détermine dans l'espace la position de cette droite. Quelle que soit la valeur de ût, les deux équations précédentes sont donc toutes deux satisfaites pour les points de la surface. Donc, si l'on élimine a entre ces deux équations, le résultat de l'élimination sera, en j?, j, z, T équation générale des surfaces développables. Si les fonctions ç

et 4 sont regardées conmie susceptibles tle toutes les formes possibles, soumises ou non à la loi de continuité, ce résultat est de la même généralité que tous les précédents.

Trouver V équation de la surface développable qui passe en même temps par deua: courbes ci double courbure données dans l'espace.

La surface développable passera évidemment par les deux courbes données, si le plan mobile dont elle est l'enveloppe est, dans toutes ses positions, tangent aux deux courbes, c'est-à-dire s'il passe toujours en même temps par une tangente à la première courbe, et par une tangente à la seconde. Il s'agit donc de déterminer, dans l'équation z = xça -+- J''>let -^ ol de ce plan mobile, quelles doivent être les formes des deux fonctions ^ et 4, pour que ces conditions soient toutes deux satisfaites, quelle que soit la valeur de *.

Pour cela, si, représentant par j- = Fz, x = ïz les deux équations données de la première courbe, on prend sur cette courbe un point correspondant à z = |3, les deux autres coordonnées de ce point seront j= FjS, x = f{i; et si l'on considère ce point comme celui de contact d'une tangente, les deux équations de cette tangente seront

(B) X - t'fi ={z- /3) f f5,

dans lesquelles |3 est une constante qui particularise la position de la tangente.

De même, si, représentant par j= (F)z, ,v =/z les équaticms

— lOO —

données de la seconde courbe, on prend sur cette courbe un point de contact correspondant à z = 7, les équations de la tangente à cette courbe seront

(D) ^r:^fy=^z^y)f'y,

dans lesquelles y est une autre constante qui particularise la position de cette seconde tangente.

Gela posé, si le plan mobile passe par le point de contact de la première courbe, son équation sera

(E) z-^ = {a:- f^)(pct + ix - F|5)4«, c^e qui donne, entre a et ^3, la relation suivante :

(F) |3 — ffi^a — Ff34a = et.

Pareillement, si ce plan doit passer par le point de contact de la seconde courbe, son équation sera

(G) z-y = {x -/y) ?)« + [/- (F);.] 4^, ce qui donne, entre a et 7, l'autre relation

(H) y — /y<pci — {P)y4^ = *.

De plus, si le plan mobile doit passer par la tangente à la première courbe, il faut que les trois équations (A), (B), (E), qui sont celles du plan et de la tangente, soient satisfaites, quelles que soient les valeurs de j;,/, z. Donc, si l'on élimine entre ces trois équations

les deux quantités -^ "^ ^ j ~Er^' l'équation résultante

(j) r^cpût + F'|34a = I

établira entre les fonctions cpa, 4 et et la quantité ^ la relation pour que cette condition soit remplie.

telles que, si Ton élimine ^ entre les deux premières, on aura, en .r, j, s, réquation de la surface développable individuelle demandée; et que, si Ton élimine |3 entre les trois, on aura, en :r, j, s, les deux équations de l'ai'ête de rebroussement de cette surface.

La manière dont nous venons de détenniner les deux fonctions arbitraires pour que la surface passe par deux courbes données est analogue à celle que nous avons employée pour le cas oii il n'y avait qu'une seule fonction d'une quantité indéteiminée, et elle est applicable, quel que soit le nombre des fonctions arbitraires d'une indéterminée, pourvu que cette indéterminée soit la même sous toutes les fonctions. Nous verrons })lus tard que, quand les fonctions arbitraires sont composées de quantités différentes, la détermination de leurs formes dépend d'im autre genre de calcul.

Deux surfaces courbes étant données à volonté de figures et de positions dans l'espace y trouver l'équation de la surface développahle qui les embrasse toutes deu,v, c est-ci^dire qui, leur étant circonscrite, les touche suivant une ligne courbe.

Nous pourrions réduire cette question à la précédente, en déterminant sur les deux surfaces données les lignes de contact par lesquelles la surface doit passer; mais, comme c'est de ce problème que dépend la détermination des ombres, nous allons le résoudre directement.

Soient représentées par

les équations des deux surfaces courbes données, et supposons

— io3 —

que, par la différentiation , ces deux équations produisent les deux suivantes :

dz = f ' (cT, y) dx + î" (,r, y) dy.

Si l'on prend sur la première un point de contact dont la projection arbitraire sur le plan des x^y corresponde à ar=flfc, >^=|5, la troisième coordoimée de ce point sera z = F (a, ^), et l'équation du plan tangent mené par ce point de contact sera

(G) z-Y («, p) = {X - a) F' («, .-S) + Cr - ^) F" («, fi).

De même, si Ton prend sur la seconde surface un point de contact arbitraire correspondant à a; = et', j = p', la troisième coordonnée de ce point sera z = f (a', |3'), et Téquation du plan tangent à la seconde surface mené par ce point de contact sera

(D) z - f (*', ^') = {x - a!) f («', fi') -h (j - ^') r («', ^').

Si donc on veut que ces deux plans coïncident et ne forment

<ju'un seul plan tangent commun aux deux surfaces, il faut que les

'Crois coefficients de l'équation de l'un soient respectivement égaux

iaux trois coefficients de l'équation de l'autre; ce qui produit les

^trois équations suivantes :

(G) F{«,fi)-«F(«,|3)-,3F"(a,^) = f {al,^)-a^î\d,['!)-r^r\al/^)

Donc, si, entre les quatre équations (C), (D), (E), (F), on élimine trois quelconques des quatre quantités ci, |3, ci', p', par exemple les trois dernières, on aura, en ^, /, z, a, l'équation du plan tangent commim aux deux surfaces, dans laquelle c£ est une constante

— io6 —

ce point un plan tangent à l'enveloppe, concevons à Tenveloppée un plan tangent parallèle au premier; et soient a?', /', z' les coordonnées du point de contact de ce second plan, il est évident que

l'on aura

et, à cause du parallélisme des deux plans tangents à renvelop|>e et à l'enveloppée, on aura ainsi les deux équations suivantes:

tirant des deux dernières équations les valeurs de x' et j' en/; et 7, que nous représenterons par

et les substituant dans la précédente, on aura

z'=F{p,qy,

les trois fonctions f, f^ F ayant entre elles une relation telle que

l'équation

dF=pdï+qdf

est toujours satisfaite.

Cela posé, il est évident que le point de contact de l'enveloppée, et dont les coordonnées sont a?', y', z', est celui de cette surfece qui, dans le mouvement, vient se confondre avec le point de contact de l'enveloppe, et dont les coordonnées sont or, j, z ; les trois quantités a: — x\ y — y\ z — z', ou les trois suivantes x — f(/?, 7),

y — f{P')^)'i ^ — ^{P^H)^ ^^ ^^^^ s^'*^ respectivement égales, sont donc les trois coordonnées de l'arc de la directrice parcouru par ce point. De plus, si sur l'enveloppe, et dans une direction quelconque, on prend un point infiniment voisin du premier, ce nouveau point aura son correspondant sur l'enveloppée, et l'arc parcouru par ce dernier sera de même étendue que l'arc parcouru

par le premier ; car ces deux arcs seront tous deux compris entre les deux plans tangents parallèles entre eux. Donc les trois quantités X — f{p, q), y — /(/7, q)^ z — F{p^ q) seront toutes les trois constantes, et Ton aura en même temps les trois équations

dx — dï[p^ q) = o,

^J — df{p^ q) = ^^

dz — dF[p^ q) = o;

mais, par la relation qu'ont entre elles les trois fonctions ï^J\ F^ deux de ces équations ayant lieu, la troisième a aussi lieu nécessairement, comme on peut le vérifier par la différentiation : donc, de ces trois équations il suffit d'en poser deux quelconques. Nous emploierons les deux premières comme les plus simples, ce qui donne, en développant,

dx — (rctr H- sdy) f (/;, q) — [sdx 4- tdy) f' (/?, q) = o, dy — {rdx + sdy)/{p, q) — {sdx -+- tdy)f{p, q) = o,

ces deux équations devant avoir lieu cpielle que soit la direction suivant laquelle on passe du premier point de contact de l'enveloppe au second, et par conséquent indépendamment de la valeur

de ^ qui détermine cette direction, il s'ensuit que si l'on élimine ^1 le résultat

dx

[rt - s') {î'f" - fV) -rî'-s (f" -h/') - </" + I = o

sera, aux différences secondes, l'équation de l'enveloppe demandée. Nous pourrions en rester là par rapport à cette équation; mais la relation qu'ont entre elles les deux fonctions f, /*, permet de la mettre sous une forme plus symétrique, sous laquelle il est nécessaire de la connaître.

— io8 — En effet, ayant mis l'équation

dF =^ pdï -\- qdf sous la forme suivante

dF= {pi' -h qf) dp -h {pï" + qf")dq,

et de ce que l'on a généralement

( ddF\ ( ddF\

\dpdq ) \d<]dp )

il s'ensuit que l'on doit avoir aussi

\d{p('+qf^ \d{p{"-\^cir^ L dq \—y dp J

ce qui, réduction faite, donne

donc les fonctions f et y peuvent être regardées comme les différences partielles, par rapport à /? et à ^, d'une autre fonction de p et q que nous représenterons par r(yy, ^); en sorte que si, pour abréger, on fait

\dp' ) \dpdq } \dq' J

on aura

et l'équation aux différences secondes pourra être mise sous la forme suivante

{rt — s') (RT — S') — rR — 2sS — tT-hi=o,

dans laquelle les trois quantités R, S, T sont en p et q les diflérences partielles du second ordre de la quantité T{p, r/), différentiée en regardant p et q comme variables principales.

Réciproquement, toute équation de cette forme sera celle de l'enveloppe de l'espace parcouru par une autre surface, qui, sans tourner, se meut le long d'une courbe à double courbure arbitraire dans ses deux projections. Si cette équation est donnée, il sera facile, d'après les formes connues des trois quantités R, S, T, de trouver celle de la fonction r dont elles sont les différences partielles secondes; et, d'après celle-ci, il sera facile de connaître la fonction F, car on a

F= — V-^pV'-\-qT\

Cela posé, si l'on veut avoir l'équation de l'enveloppée considérée dans sa position primitive, il faut se rappeler que l'enveloppe devient l'enveloppée elle-même, lorsque, pour toute l'étendue de la surface, les trois quantités x — x' ^ y — y\ z — z' sont chacune égales à zéro, c'est-à-dire lorsqu'on a les trois équations suivantes :

quelles que soient les valeurs àep elq: donc, éliminant/; et q entre ces trois équations, le résultat sera, en x, j, z, l'équation de l'enveloppée considérée dans sa position primitive. Enfin, si l'on veut avoir l'équation de l'enveloppe elle-même, les trois quantités précédentes ne seront pas égales à zéro, mais deux d'entre elles sont fonctions de la troisième; donc si l'on pose les trois équations suivantes :

X — r' = ^ût,

z + r —pV' — qV'^ = ût, et si Ton élimine entre elles les deux quantités p^ </, on aura en

— I lO —

jCy r? 2, flt, çoLy 4* ^^^ équation que nous représentons par M=o; puis, posant les trois autres

-du ) = °'

(ddU\

le résultat de T élimination de a entre les deux premières sera réquation de l'enveloppe, et par conséquent l'intégrale complète de l'équation aux différences secondes; et le résultat de F élimination de a entre les trois équations produira, en quantités finies, les deux équations de l'arête de rebroussement de la surfece.

Pour trouver les équations de la même surface en différences partielles du premier ordre, il faut observer qne des trois quantités X — f, j — f^z — F, deux quelconques sont fonctions de la troisième : donc les deux équations demandées sont celles que Ton voudra des trois suivantes :

y—f{p^ y) = 4[^ —i^{p^ q)]^ ^ — Hp^ q) = n[r —/(/?, y)],

dont une quelconque est la suite nécessaire des deux autres.

Quant aux équations en quantités finies, nous n'avons rien à ajouter à ce que nous venons de dire à cet égard à la fin de l'article précédent de ce paragraphe.

S'il s'agissait de déterminer les formes des fonctions arbitraires ^