XIV

DE LA SURFACE ENGENDRÉE PAR LE MOUVEMENT D'UNE COURBE A DOUBLE COURBURE DONNÉE, CONSTANTE DE FIGURE, ET QUI, SANS TOURNER, SE BIEUT LE LONG D'UNE AUTRE COURBE ENTIÈREMENT ARBITRAIRE.

Une courbe à double courbure se meut sans tourner lorsque, pendant le mouvement, deux quelconques de ses tangentes, et par conséquent toutes ses tangentes, restent chacune parallèles à ellemême. Chacun des points de cette courbe parcourt une ligne, et les éléments de toutes ces lignes, décrits en même temps, sont parallèles et égaux entre eux . Si donc , après avoir considéré la génératrice dans sa position primitive, on la considère ensuite transportée dans une autre position quelconque, et qui soit une de celles qu'elle prend successivement dans son mouvement, tous ses points auront parcouru des arcs de courbes égaux, semblables, et dont toutes les tangentes correspondantes seront parallèles entre elles : tous ces arcs se trouveront sur la surface courbe engendrée par la génératrice; et si Ton suppose qu'un quelconque de ces arcs se meuve sans tourner, de manière que le point dans lequel il coupe la génératrice ne sorte pas de cette génératrice, il se confondra successivement avec les arcs parcourus par tous les autres points, et il ne sortira, par conséquent, pas de la surface com^be; en sorte qu'en

donnant le nom de directrice à la courbe parcourue par un certain point de la génératrice, on peut dire également que la sur&ce que nous considérons est engendrée, et par le mouvement de la génératrice qui, sans changer de figure et sans tourner, se meut le long de la directrice, et par le mouvement de la directrice qui, sans changer de figure et sans tourner, se meut le long de la génératrice.

Pour traiter cette surface dans toute la généralité dont elle est susceptible, il faudrait supposer que la génératrice et la directrice sont toutes deux arbitraires, chacune dans ses deux projections; mais alors nous serions entraînés dans la considération d'équations aux différences partielles du quatrième ordre. Gomme nous nous proposons simplement ici de donner un exemple de génération de surface qui puisse être exprimée par des différences partielles du second ordre, nous supposerons que de ces deux courbes il n'y en ait qu'une seule qui soit arbitraire; nous regarderons l'autre conune donnée : et, parce que ces courbes peuvent être prises indifféremment l'une pour l'autre dans la génération de la surface, nous regarderons celle qui est donnée comme la génératrice. D'après cela, il s'agit de trouver, i"* l'équation aux différences partielles du second ordre; 2^ les deux équations aux différences partielles du premier ordre; 3"* enfin l'équation en quantités finies.

Représentons par x =zfz^ y =7^ '^s deux équations données de la génératrice considérée dans sa position primitive, et dans lesquelles les fonctions f,ysont données de formes. Si, ayant pris sur la surface courbe un point quelconque dont les coordonnées soient j?, j, z, et après avoir conçu le plan tangent en ce point, on mène à la génératrice, considérée dans sa position primitive, ime

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tangente parallèle à ce plan tangent, le point de contact de cette tangente sera celui de la génératrice qui, pendant le mouvement , viendra se confondre avec le point de la surface. Enfin, si Ton nomme x\ jr\ z' les coordonnées de ce point de contact, on aura d'abord

(A) .r'=fz',

De plus, il existe entre les trois coordonnées de ce point une relation qui résulte de ce que la tangente en ce point est parallèle au plan tangent de la surface.

Pour trouver cette relation, concevons par l'origine, i® un plan parallèle au plan tangent à la surface; 2^ une droite parallèle à la tangente de la génératrice. Si ce plan passe par la droite, il est évident que la tangente de la génératrice sera parallèle au plan tangent. Or, représentant par X, Y, Z les coordonnées du point général, tant du plan mené par l'origine que de la droite, l'équation du plan sera

et celles de la droite seront

X = ZfV, Y = Z/V.

De plus, le plan devant passer par la droite, il faut que ces trois équations puissent avoir lieu en même temps, quelles que soient les valeurs de X, Y, Z, et que, par conséquent, l'équation

(C) /;fV+5r/z'=i,

qui résulte de l'élimination de X, Y, Z, soit satisfaite. Donc, c'est cette équation (C) qui exprime que le point de la génératrice est placé de manière que la tangente en ce point est parallèle au plan

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tangent à la surface. Ainsi les trois équations (A), (B), (C) déterminent les valeurs des coordonnées a?', j', z' du point de la génératrice qui doit venir se confondre avec le point de la surface, en sorte que si de l'équation (C) on tire la valeur de z' en p et y, et que si l'on représente cette valeur par

on aura pour les deux autres coordonnées les valeurs suivantes :

.r'=f[F(/;,y)], j' =/[F(/;, ry)].

Actuellement, concevons la génératrice transportée de manière qu'elle passe par le point de la surface; la valeur de ^î pour l'élément de sa projection sur le plan des ^, /, sera égale à celle de -7^,î et par conséquent égale à celle de -r^? z' étant regardée

comme constante dans cette dernière. On aura donc pour la direction de la projection de l'élément de la génératrice au point de la surface

Cela posé, si l'on conçoit que le point de la surface parcoure l'élément de la génératrice sur laquelle il se trouve, c'est-à-dire si

l'on suppose que -f- ait la valeur que nous venons de trouver, il

est évident que l'arc de la directrice ne variera pas de grandeur, et que, par conséquent, les trois quantités x — x\ y — r', z — r', ou les trois suivantes, qui leur sont respectivement égales,

ne changeront pas. Donc, si après avoir différentié ces trois quantités, on substitue dans chacune d'elles, pour -4^, sa valeur ~ , on

aui'a trois quantités qui seront chacune égales à zéro. Mais (*ette opération donne également pour les deux premières

(D) rf X F'-f-4r X Y" ^f X Y'\^tf X F'^= I.

Quant à la troisième, elle doiuie

rV X F' +- .V [f ' X F'^ 4-/' X F' I 4 tf >: F'' = pV + qj\

dont le second membre, en vertu de l'équation (C), est égal à Tunité, et qui, par conséquent, se réduit encore à Téquation (D). Donc l'équation (D) est, aux différences partielles du second ordre, celle de la surface demandée.

La relation qu'ont entre elles les trois fonctions f, /i F, permet de donner à cette équation une forme plus simple, et sous laquelle il est plus facile de la comparer à celle du § XIII, dont nous allons voir qu'elle est im cas particulier. En effet, si dans ré((uation

(G) />f' r.' ^ qfz' = l

on regarde conune constante la quantité s', ou son égale F(/;, r/), ve qui donne

FV//> f-FVy = o,

la difïérentielle de l'équation {{]) devient

Éliminant ^ de ces deux équations, on trouve

rxF'^=/'x F'.

x\insi les deux parties du coefficient de v, dans l'équaticm (D), sont

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égales entre elles, et ce coefficient devient égal au double de l'une d'elles.

De plus, les deux termes f ' x F' et f ' x F" sont les différences partielles d'une même quantité f [F(/;, q)\j différentiée en regardant p et q comme variables principales ; il en est de même des deux autres termes y' x F' et y' x F'', qui sont les différences partielles d'une autre même quantité /[F (/;, ^)]; donc les trois coefficients de l'équation (D) sont les différences partielles du second ordre d'une même fonction de /? et ^, différentiée en regardant/; et q comme variables principales. Nous représenterons cette fonction de p etq par r (/;,//), et ses trois différentielles partielles par R, S, T.

Enfin, dans l'équation (D), le produit des deux coefficients extrêmes est égal au produit des deux parties du coefficient de s; car ces produits sont égaux l'un et l'autre à/*' x f X F' x F'^; donc l'équation (D) peut être mise sous la forme plus simple

les trois quantités R, S, T devant d'ailleurs satisfaire à Téquation

(F) RT — S= = o.

On voit donc que la surface dont nous nous occupons est un cas particulier de celle du § XIII, et qu'elle n'est autre chose que ce que devient cette dernière lorsqu'on y introduit la condition exprimée par l'équation (F).

Si, d'après l'équation (D), on se proposait de trouver la caractéristique de la surface , la méthode que nous avons exposée donnerait pour équation de cette courbe

r X F'dy' — [f X F'^ -hf X F']dvdy^J' x F'^^r^ = o,

qui , ayant les deux Êicteurs rationnels

rdrr —fda^ = o, F'rfr — F'da = o,

indique que les deux branches de la caractéristique sont distinctes, c'est-à-dire que la surface a deux caractéristiques dont les éc|uations peuvent être séparées. La première de ces équations est, comme nous l'avons vu, celle de la projection sur le plan des .r, ;>* de la génératrice considérée dans la position qu'elle a lors(|u'elle passe par le point de la surface; la seconde, en vertu de ré((uation

se réduit à la première. Donc les deux caractéristiques se confondent dans une seule courbe, 'qui n'est autre chose que la jçénératrice elle-même.

Toutes les fois qu'on aura une équation aux différences partielles de la forme de (E), et dans laquelle on aura de plus

RT — S^ = o,

cette équation sera celle d'une surlace courbe enjçendrée par le mouvement d'une courbe constante de figure, et qui, sans tourner, se meut le long d'une directrice entièrement arbitraire. Quant à la nature de la génératrice, c'est-à-dire quant aux fouettions f et/, qui déterminent ses projections, elle* sont déterminées, mais leurs formes dépendent de celles des trois coefficients R, S, T, supposés connus, et nous allons donner la manière de les trouver.

D'après les formes connues des coefficients R, S, T , on trouvera la fonction r (/;, </), dont ils sont les différences partielles secondes, prises en regardant />, (j comme variables principales, ce cjui dépend du calcul intégral ordinaire, (iela fait, puis(|ue Ton a

r' = f[F(/;,ry)], r"=:/[F(y>,./)J,

- ii8 on aura aussi

(/r ou r'd/j -\- r'Vr/ = (//j i t- (/(j/;

ajoutant au second membre pdi-h <ldf\ pour le rendre une différentielle complète, et retranchant la quantité égale (/^f -h (if')dV^ ou simplement d¥ , à cause de l'équation (C), on aura

<IV = d{pf-^qJ)-dV\

dont r intégrale

ou

donne la valeur de F en p, q^ F, et ses différences partielles. Oi\ nous savons que les trois quantités .r — f, y — y, z — F, sont toutes trois fonctions cJ'une même quantité; que, par (conséquent, deux d'entre elles sont fonctions de la troisième : dom* si, ayant posé les trois équations

.r — r' = (pa,

r — r'=4ct, z-h r —pr' — qr'' = a,

on élimine /y, q des deux premières, au moyen de la troisième, ce qui est toujours possible dans ce cas, puisque Ton a

et que les quantités r' et r'' sont toutes deux fonctions de r — pT^ — 7^'^ ou de z — û6, on aura les deux é<(uations

.r — ï [z — ol) = (fût,

dans lesquelles les fonctions f et / seront connues, et qui seront

- Il() -

celles de la génératrice considérée dans une quelconque de ses positions; enfin, le résultat de l'élimination de a, entre ces deux équations sera en x^ y^z^ et deux fonctions arbitraires, l'équation de la surfece et l'intégrale finie de l'équation (E).

Les deux dernières équations expriment évidemment que la surface est engendrée par le mouvement d'une génératrice constiinte de figure, dont les équations, lorsqu'elle est dans sa position primitive, sont X = fz, y =^fz^ et qui, sans tourner, se meut le long d'une directrice arbitraire dont les équations sont représentées par ,r = ^z, r = 4^-

Pour trouver les deux équations aux diftërences premières, il faut se rappeler que, d'après ce qui précède, les trois quantités .r — f, y — f et z — F sont constantes ensemble et variables ensemble, et que deux quelconques d'entre elles sont, par conséquent, fonctions de la troisième : ainsi ces équations sont deux des suivantes :

.r-ï[V{p,q)] = <p[z-¥{p,ci)],

dont une quelconque est la suite des deux autres.

Enfin, en représentant par .r* = (pz, j = 4^ les équations des deux projections arbitraires de la directrice, l'équation finie de la surface est le résultat de l'élimination de a entre les deux équations

X — ^flt = f (z — a), y — ^f.a ^=^f[z — et).

Nous n'entrerons pas dans d'autres détails par rapport à (*ette surface; mais nous allons placer ici quelques résultats relatifs an

§xin.

Toutes les intégrations d'équations aux différences partielles, considérées comme exprimant des générations de surfaces courbes, fournissent celles des équations analogues aux différences ordinaires à deux variables, et ces intégrations ont ordinairement Tavantage de présenter les équations sous des formes plus favorables à la construction. Nous allons en donner un exemple sur r équation aux différences partielles secondes

{rt — s') {RT — S') rR— 2^S — T^-h i = o,

qui est celle du § XIII. Si, dans cette équation, on supprime une des deux variables principales, par exemple j, les trois quantités //, S, T deviendront nulles, et l'équation se réduira à

rR= I.

Actuellement, pour prendre les formes du calcul aux différences ordinaires en xetZy soient ^ =^ et -^ = y ; de plus, T{p) étant

une certaine fonction de/?, soient r'= ^ et r'^ = -i — Cela posé, l'équation rR = i deviendra

équation aux différences ordinaires secondes, qui peut s'intégrer par les méthodes connues, mais qui s'intègre encore plus Êicilement par le procédé du § XIII. En effet, étant donnée la fonction r'^ on cherchera les fonctions r' et r, ce qui ne dépend que des quadratures, et, dans les intégrations, on négligera les constantes arbitraires. Gela fait, les deux équations

z H- T—pT' = B,

seront les deux intégrales premières de la proposée, A et B étant les constantes arbitraires particulières à chacune d'elles; et si entre ces deux équations on élimine /?, on aura, enx — A et z — B, l'intégrale complétée par les deux constantes A et B. Cette équation sera donc celle d'une courbe constante de figure qui, sans tourner, est transportée, suivant ime direction quelconque, à une distance quelconque de l'origine.

EXEMPLE

Soit proposée

dans laquelle aetb sont des constantes. On a donc ici

su

ne qui donne

r' = " ^ et r = \/b' -h ay ;

donc les deux intégrales premières de la proposée sont

et l'intégrale finie est le résultat de l'élimination de p entre ces deux dernières équations. Cette élimination se fait facilement en mettant d'abord ces équations sous cette autre forme :

yjb*+a*p*

puis ajoutant le carré de la première, multiplié par P , au carré de la seconde multiplié par a ^ , ce qui donne

b^ (^ A)^ -+-a'{z — By = a'b' ; (*)

la proposée appartient donc à ime ellipse dont les axes, d'abord confondus avec les lignes des x et des z, ont respectivement pour grandeurs aa, ai, et qui ensuite a été transportée, sans tourner, de manière que son centre soit placé en un point arbitraire dont les coordonnées sont les deux constantes A et B, introduites par Tin-

(*) L'équation q ^ = i aurait encore pu s'intégrer directement en

substituant pour q sa valeur —■ -, d'où

dx

dp dr^

ce qui donne

d'où

On doit avoir aussi

d'où

z =z fpdx 4- B;

/a^b^pdp {b'-^a-p'Y

d'où

-hB,

ou bien

Ces équations sont les mêmes que celles trouvées ci-dessus.

tégration; ce qui fournit une construction facile. Passons actuellement aux différences du premier ordre.

Si Ton a une équation composée d'une manière quelconque des deux quantités x — f/?, z — F/;, et représentée par

f[x — ïp, z — F/?] = o,

quelle que soit la fonction y, pourvu qu'entre les deux fonctions f et F il y ait la relation suivante :

d¥=pd{,

on aura l'intégrale complète de cette équation en posant les trois

équations

et en éliminant entre elles la quantité p et Tune quelconque des deux constantes arbitraires A, B.

Si l'on élimine d'abord/? entre les deux premières, on aura évidemment une équation en .r — A et z — B, qui sera celle d'une (îourbe pour laquelle l'origine est transportée à une distance A dans le sens des x^ et à une distance B dans le sens des z\ ou, ce qui revient au même, d'une courbe constante de ligiu^e, qui, sans tourner, est transportée à une autre distance de l'origine; et la troisième équation

sera celle de la courbe le long de laquelle la première est transportée; ce qui donne im moyen facile de construction.

Enfin, il pourrait arriver que l'équation

f{x — îp, z — Fp) = o

fut susceptible d'être mise sous cette forme, dans laquelle on aurait

d¥ =pd{,

et que cependant la manière de l'y ramener ne se présentât pas. Il sera Ëicile de s'en assiu'er; car, après l'avoir diflférentiée, si elle est dans ce cas, il sera toujours possible d'en éliminer en même temps X et z au moyen de sa différentielle, ce qui produira une équation aux différences secondes

qT"{p) = l, qui se traitera conmie nous l'avons indiqué plus haut.