DES DEUX COURBURES DUNE SURFACE COURBE

En représentant par a;, j, z les coordonnées d'un point quelconque d'une surface courbe, et par x\ y\ z celles de la surface d'une sphère, de manière que l'équation de la sphère qui aurait son centre au point de la surface courbe, et pour rayon la (]uantité R, soit

nous avons vu que si l'on regarde x\y\z comme constantes dans cette équation, et que si on la différentie successivement en regardant d'abord .r, et ensuite y^ comme seules variables, les deux

— ia6 —

iH|uutuuis [\^)j [C}y en regardant ,r', y\ z comme constantes, ce qui lionne

dsV I p^dx -\- pqdy -\- {z — z') {rdx -+- sdy) = o, dy \ pqdx -h q' d/y -i- {z — z') {sdœ -+- tdy) = o,

on liirn, éliminant ^ de la première, et z — z de la seconde, ce (|ui produit les deux équations équivalentes aux deux précédentes:

iKi ;f,;i(. I '/>-/"/'j+i[[;:^j|;]-c+/'')^-H/'9'-=o,

loH quiilrc écjuations (B), (G), (D), (E) appartiendront au point d'iiiliM'Hrrlion des deux normales consécutives. Mais, pour déteriniiMM' li^H trois coordonnées x\y\ z' de ce point, les trois preiiilôn^M di^ ces équations suffisent; la quatrième équation (E), qui IM< roiiliM'iiie aucune des coordonnées, est donc une équation de imiMlIlion (|ui doit être satisfaite, et qui, en déterminant la valeur

ilo \ • iiMli(|ue la direction suivant laquelle on doit passer du pre-

iiiiiM' point dt' la surface au second, pour que la nouvelle normale M lit dliiiH II* iii^me plan que la première, et ait un point commun

AImmI, lorH((ue hî point d'une surface courbe est déterminé de pimllIoM, lu dirwlion suivant laquelle on doit passer de ce point à un holnl inlInliiMmt voisin pour que les deux normales consécullvi*» PMI rouptMit, et le» trois coordonnées du point d'intersection de l'im dt^UK nornmleH, sont déterminées par les quatre équations (B),

L'équation (E) étant du second degré algébrique, par rapport

à ^> et fournissant deux valeurs pour cette quantité, il s'ensuit

qu'ayant mené une normale par un point quelconque d'une surface courbe, on peut toujours, dans deux directions différentes, passer sur la surface de ce point à un autre point infiniment voisin, pour lequel la normale soit dans un même plan que la preçiière. Ces deux directions sont , en général , les seules pour lesquelles ce résultat puisse avoir lieu; en sorte que , excepté les cas très-particuliers pour lesquels l'équation (E) est toujours satisfaite quelle que soit

la valeur de -r-^ si l'on passe du premier point au second suivant

toute autre direction , la nouvelle normale ne se trouvera pas dans le même plan avec la première, et n'aura avec elle aucun point commun.

Les deux directions dont il s'agit ont encore entre elles une relation très-remarquable, c'est qu'elles sont à angles droits. En effet, quelle que soit la surface courbe sur laquelle on opère , et quel que soit le point de cette surface que l'on considère, on peut toujours supposer que les trois plans rectangulaires de projections, dont la position était d'abord arbitraire, aient été choisis de manière que le plan tangent à la surface dans ce point soit parallèle au plan des cT, f. Dans cette hypothèse, les quantités /?, q sont toutes deux égales à zéro, et l'équation (E) devient

4r' I dj/r-t\ ^^^

dx* dx\ s J

Or, si l'on représente par m et m' les deux valeurs de ^ que fournit cette équation, on aura

mm' +1=0;

donc les projections des deux directions sur le plan des Xj y sont à angles droits. Mais ces directions elles-mêmes, en tant qu'elles sont dans le plan tangent, sont parallèles à leurs projections : donc elles sont aussi à angles droits .

L'équation (D) étant aussi du second degré algébrique, par rapport à z — z', il est clair que les trois équations (B), (C), (D) donneront deux valeurs pour chacune des trois quantités a:', j*', z', et que ces doubles valeurs seront celles qui correspondront respectivement aux deux points d'intersection de la première normale avec les deux autres normales, qui sont chacune dans un même plan avec elle.

En opérant sur chacun de ces points d'intersection en particulier, et d'abord sur le premier d'entre eux, si l'on conçoit la sphère dont le centre serait en ce point, et dont la surface passerait par le point de la surface courbe, il est évident que les deux normales de la surface courbe, qui se coupent au centre, seront aussi normales à la sphère : la surface courbe et celle de la sphère auront donc deux normales consécutives communes, et, par conséquent, deux plans tangents consécutifs communs; elles auront donc la même courbure dans la direction du plan qui passe par les deux normales, c'est-à-dire dans la direction déterminée par la valeur correspondante de -^ î et le centre de cette courbure ne sera autre chose que

le point de rencontre des deux normales, c'est-à-dire le centre même de la sphère.

Considérant ensuite le second point d'intersection, si l'on conçoit de même une autre sphère dont le centre serait en ce second point, et dont la surface passerait encore par le point de la siuface courbe, la surface courbe et celle de la seconde sphère auront aussi

deux normales consécutives communes , deux plans tangents consécutifs communs, et, par conséquent, la même courbure; mais la direction suivant laquelle cette seconde courbure sera la même, sera

déteiTîiinée par la seconde valeur de ~ ; elle existera dans le plan

qui passe par les deux normales conmiunes, et ce second plan sera perpendiculaire à celui qui comprend la direction de la première courbure. Enfin, le second point de rencontre des nonnales, c'està-dire le centre de la seconde sphère, sera le centre de la seconde courbure.

Ainsi, toute surface courbe a dans chacun de ses points deux courbures dont les directions sont dans deux plans normaux perpendiculaires entre eux, et dont les centres sont sur la même normale.

Les trois quantités ^r, r, z étant les coordonnées du point de la surface, et les trois autres x\y\z' étant les coordonnées du centre de courbure, il est évident que la distance de ces deux points, c'està-dire la grandeur du rayon de courbure, n'est autre chose que la quantité R comprise dans l'équation (A). Donc, si entre les quatre équations (A), (B), (C), (D) on élimine les trois quantités x — x\ y — r', z — z', on aura une équation du second degré qui donnera, en/?, y, r, ^, ^, les deux valeurs de R, c'est-à-dire celles des deux rayons de courbure.

En faisant, pour abréger.

g = rt — s

h = {i -\-fj'')r—2^pfjs-\- (i -\-p')t,

le résultat de cette élimination donne

^R*-t-AÂ-RH-A* = o;

d'où il suit que l'expression des deux rayons de courbure est

K r f . / ? o /wo I "■"" 2»f

Puisque toute normale à une surfece courbe est toujours rencontrée par deux autres normales infiniment voisines et placées dans deux plans normaux rectangulaires entre eux, concevons que de la normale au premier point considéré sur la surface on passe, en effet, à Tune des deux normales infiniment voisines qui la coupent; qu'ensuite, de cette deuxième on passe, dans le même sens, à celle qui la coupe; que de cette troisième on passe, dans le même sens, à celle qui la coupe encore, et ainsi de suite pour toute l'étendue de la surface; il est évident qu'on parcourra une surfece développable qui sera partout perpendiculaire à la surface courbe, et qui la coupera dans une ligne courbe dont tous les éléments seront dirigés suivant une des courbures de la surface : cette courbe sera donc une ligne de la première courbure. En faisant la même opération, et dans le même sens, pour tous les points de la surface, on aura la suite de toutes les lignes de la première courbure , qui diviseront la surface courbe en zones de largeur variable.

Concevons de même que de la normale au premier point considéré sur la surface on passe à l'autre des deux' normales infiniment voisines qui la coupent; que de celle-ci, et dans le même sens, on passe à la suivante, et ainsi de proche en proche dans toute l'étendue de la surface; il est évident que l'on parcourra une nouvelle surface développable, qui sera de même partout perpendiculaire à la surface courbe , qui la coupera suivant une ligne de la seconde courbure, et cette ligne coupera toutes celles de la première courbure à angles droits. Opérant de même, et dans le même sens, pour

tous les points de la surface, on aura la suite de toutes les lignes de la seconde courbure. Ces lignes diviseront de même la surface courbe en d'autres zones de largeur variable; mais chacune d'elles sera perpendiculaire à toutes celles de l'autre courbure, et réciproquement; en sorte que ces deux suites de courbes diviseront la surface courbe en éléments qui pourront être regardés comme rectangulaires. Éclaircissons ceci par un exemple simple.

Soit une surface quelconque de révolution; si de l'un de ses points on passe dans le plan du méridien à un point infiniment voisin, les deux normales consécutives se couperont, puisqu'elles seront comprises l'une et l'autre dans le plan même du méridien. Si du premier point on passe à celui qui est infiniment voisin dans la direction du parallèle, les deux normales consécutives se couperont encore, puisqu'elles passeront toutes deux par le même point de l'axe. Mais, dans quelque autre direction que l'on passe d'un point à un autre, les deux normales couperont l'axe dans des points différents, et ne se rencontreront pas. Les méridiens sont donc, les lignes d'une des courbures, et les parallèles les lignes de l'autre. Chacun des méridiens coupe tous les parallèles à angles droits, et réciproquement ; et les deux suites de ces lignes divisent la surface courbe en éléments qui peuvent être regardés comme rectangulaires.

Nous avons vu que l'équation (E) exprime le rapport qui doit

exister entre ^ et les cinq quantités /?, gr, r, j, ^, pour que deux

normales consécutives se coupent : elle est donc celle de la projection de la ligne de courbure sur le plan des x et f. Donc, si après avoir différentié deux fois l'équation donnée de la surfeice courbe, pour obtenir en x^f les valeurs de/?, ^, r, ^, ^, on substitue ces valeurs dans (E), on aura en ar, j, ^ une équation aux différences ordinaires, qui sera celle des projections des lignes de

iîourbure. Mais cette équation est du second degré par rapport à

^; ainsi, lorsqu'on l'aura intégrée et complétée par une constante

arbitraire que nous représenterons par A, cette constante sera élevée au second degré, et l'intégrale sera généralement de la forme

A'^-h Af(a;, j) -+-f{x,y) = o,

dans laquelle les deux fonctions f, y seront données par l'intégration. Si donc on veut déterminer quelle doit être la valeur de cette constante pour que la ligne de courbure individuelle soit celle qui passe par un point donné sur la surface et correspondant à *r = a, jz= è, il Êiudra substituer ces deux valeurs particulières x^y dans l'intégrale, qui deviendra

' A*^-4-Af(a, è)-t-/(a,Z^) = o,

et à laquelle la constante A doit satisfaire. Mais cette équation fournit pour A deux valeurs que nous pouvons représenter par F{a, b) et F(a, è), et qui ne différeront entre elles que par les valeurs du radical ; si donc on les substitue successivement dans l'intégrale, on aura les deux équations

qui seront celles des deux lignes de courbure qui passent par le point donné. Nous aurons occasion, par la suite, d'éclaircir ce procédé par des applications.

Si, dans l'équation (E) des lignes de courbure on substitue pour r, t leurs valeurs prises dans dp = rdx -h sdy ^ dq:=sdx-+'tdyj la quantité s disparaît en même temps; et, au

— i33 — moyen de dz=pdûc -^ qdy, cette équation prend la fomie

(E) dp{dy -^ qdz) = dq {dx -\- p dz) ^

sous laquelle nous verrons qu'elle se présente souvent, et qu'il est nécessaire de connaître.

Nous avons vu qu'à chaque ligne de courbure correspond une surfiice développable normale à la surface courbe, et qui est le lien de toutes les normales qui passent par la même ligne de courbure. Pour toutes les lignes de la première courbure on a donc une suite de semblables surfaces développables , qui ne différent entre elles que par une certaine constante , et cette constante peut influer en même temps et sur leur forme et sur leur position. Pour toutes les lignes de la seconde courbure on a de même une autre suite de sur- &ces développables normales, qui ne diffèrent entre elles que par une autre constante. De plus, les deux surfaces développables normales qui passent par le même point de la surface, se coupant dans la normale qui leur est commune, et étant perpendiculaires l'une à Vautre, il s'ensuit que chacune des surfaces développables de l'une des suites rencontre toutes celles de l'autre suite en lignes droites, à angles droits, et réciproquement. Les deux suites de surfaces développables divisent donc l'espace en éléments infiniment étroits dans les sens des deux courbures, indéfinis dans le sens de la normale, et terminés par quatre plans rectangulaires entre eux, et par quatre arêtes indéfinies et en lignes droites.

H est facile d'apercevoir qu'étant donnée la surface d'une voiite, la manière la plus naturelle de la diviser en voussoirs par des joints est de prendre pour joints les surÊices développables normales à la sur&ce de la voûte, et espacées entre elles, dans chacune des deux

suites, d'une quantité finie et dépendante de la nature des matériau5L. Ces joints seraient tous perpendiculaires à la surface, et rectangulaires entre eux; les voussoirs n'auraient, par conséquent, que des angles droits; les joints qui seraient engendrés par le mouvement d'une ligne droite seraient de l'espèce de ceux auxquels on doime le nom de réglés y et par conséquent d'une exécution facile. D'ailleurs, si les joints étaient apparents sur la surface de la voûte-, ils y traceraient des courbes toutes rectangulaires entre elles, et qui, dépendant de la nature même de la surface, en rendraient la génératrice plus apparente : enfin, ces lignes elles-mêmes diviseraient la surface de la voûte en compartiments tous rectangulaires et susceptibles d'une décoration bien ordonnée et propre à la surface.

Les deux équations (B), (C) étant, en x' ^y' ^ z', celles de la normale, il est évident que si l'on assujettit cette normale à se mouvoir dans la surface développable d'une des courbures, elle passera par la ligne de cette courbure, et les deux quantités a*, y auront entre elles la relation exprimée par celle des deux équations (G), (H), qui est relative à cette courbure. Donc, si des trois équations (B), (C), (G) , et de celle de la surface courbe, on élimine x^ j, z, on aura en .r', /', z\ a, è, pour une des courbures, l'équation de la surface développable normale qui passe par le point déterminé par j? = o, )• = h. Et si Ton élimine de même *r, j, z entre les trois équations (B), (C), (H) et celle de la surfece courbe, on aura en x\ y\ z\ a, ft, pour l'autre courbure, la surface développable normale qui passe par le même point.

(jhacune des surfaces développables normales d'une des suites a son arête de rebroussement particulière, qui, étant le lieu des intersections successives des normales consécutives pour une ligne de

courbure, est évidemment le lieu des centres d'une des coiu*bures de tous les points de la sur&ce qui sont sur la même ligne de courbure. Si Ton considère donc le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables normales d'une même suite, ce système formera une surfece courbe qui sera le lieu de tous les centres d'une des courbures de la surface courbe. De la même manière, le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables normales de l'autre suite formera ime autre sur&ce courbe, qui sera le lieu de tous les centres de la seconde courbure de la même surface courbe. Ces deux surfeces des centres de courbure d'une même surface courbe, qui, dans quelques cas particuliers, peuvent avoir leurs équations séparées, mais qui, en général , sont des nappes différentes d'une même surface courbe, et comprises dans une même équation élevée, sont, par rapport à la surÊice courbe, ce que les développées sont par rappoit aux lignes courbes.

Les trois équations (B), (G), (D) donnant les coordonnées a', y\ z' du centre de courbure correspondant au point de la surfaire courbe déterminé par les valeurs arbitraires de a: et/, il est évident que si, entre les trois équations (B), (G), (D) et celle de la surface €!Ourf)e, on élimine a:, j, s, l'équation résultante sera, en x\ y\ z\ celle de la surface des centres de courbure.

Lorsque l'équation du second degré (D), après la substitution des valeurs de/:/,qr,r,j,^ena:,j, sera divisible en deux facteurs rationnels, c'est-à-dire lorsque les quantités x^y pourront sortir toutes de dessous le radical ; en opérant, comme nous venons de le dire, pour chaque facteur en particulier, on aura les équations séparées des surfaces des centres des deux courbures, ces deux surfiices seront alors distinctes ; elles pourront même être totalement indépendantes si la quantité qui est sous le radical est un carré par&it, ou n'être liées entre elles que par une relation entre leurs

paramètres, si la quantité constante qui est sous le radical n'est pas un carré parfait. Mais lorsque a? et j ne pourront sortir entièrenusit du radical, on ne pourra opérer que sur l'équation du second degré (D) elle-même; le résultat de l'élimination en a?', /', z' sera d'un degré pair; les surfaces des centres des deux courbures ne seront plus distinctes, et elles seront les nappes différentes d'une même surface courbe, produites Tune et l'autre par une même génération.

De ce que chaque normale est tangente en même temps aux arêtes de rebroussement des deux surfaces développables normales dont elle est l'intersection, il s'ensuit qu'elle est en même temps tangente aux deux nappes de la surface des centres de courbure ; de plus, chacune de ces nappes est l'enveloppe de toutes les surfaces développables normales d'une même suite. Ainsi, tout plan tangent à une de ces surfaces développables sera aussi tangent à la , nappe que cette surface touche; donc, si l'on conçoit par la même normale les deux plans tangents aux surfaces développables dont elle est l'intersection, ces deux plans, qui d'ailleurs sont à angles droits, seront tangents, l'un à la. première nappe de la surface des centres, et l'autre à la seconde. Donc la surface des centres de courbure d'une surface courbe jouit de cette propriété remarquable, que, de quelque part qu'on la considère, les contours apparents de ses deux nappes paraissent toujours se couper à angles droits.

Il suit de là que toute surface courbe n'est pas habile à être la surface unique des centres de courbure d'une autre surface. Il Êiut pour cela, i^ que son équation algébrique soit d'un degré pair; 2? que les contours apparents de ses deux nappes soient rectangulaires entre eux. Toutes celles qui ne remplissent pas ces deux conditions ne peuvent former que la surface des centres d'une des courbures, et doivent être conjuguées avec une autre surface courbe, qui sera celle des centres de l'autre courbure, et pour la-

quelle il suffira que les contours apparents de Tune et de Tautre soient rectangulaires, de quelque point qu'on les regarde.

Si, sur la nappe des centres d'une des courbures, on considère une quelconque des arêtes de rebroussement dont elle est le lieu, cette arête sera, entre deux quelconques de ses points, la ligne la plus courte que l'on pourra tracer sur la nappe. En effet, le plan osculateur de cette arête, c'est-à-dire le plan qui passe par deux de ses tangentes consécutives, est tangent à la surface développable à laquelle appartient l'arête, et qui est le lieu de ses tangentes : il est donc tangent à la nappe des centres de l'autre courbure, et, par «conséquent, normal à la première nappe au point d'osculation. Or la ligne dont le plan osculateur est normal à la surface au point d'osculation est la plus courte que l'on puisse tracer, sur cette surfiice, entre deux quelconques de ses points; ou, ce qui revient au même, elle est celle que tracerait un fil tendu entre ces deux points. Car si l'on conçoit un fil appliqué sur cette courbe, coïncidant avec elle, et tendu à ses deux extrémités par des forces égales, la résultante des tensions de deux éléments consécutifs sera dirigée dans le plan de ces deux éléments, c'est-à-dire dans le plan osculateur normal à la surface ; et parce que ces deux tensions sont égales entre elles, la direction de la résultante partagera en deux parties égales l'angle formé par les deux éléments consécutifs : ainsi cette résul- 1:ante sera normale à la surface, et sera entièrement détruite par la résistance de cette surface; le fil n'aura donc aucune tendance à s'écarter de la courbe sur laquelle il aura été appliqué, et avec laquelle il coïncidera toujours.

Si les deux nappes des centres de courbure se coupent quelque part, elles se couperont à angles droits, et la courbe de leur intersection sera le lieu des centres de courbures sphériques de la surfilée; car chacun des points de cette ligne se trouvant en même temps sur les nappes des deux courbures sera le centre commun

(les deux courbures qui, au point correspondant de la surÊice, sont égales entre elles, comme celles d'une sphère. De plus, si l'on conijoit toutes les tangentes à la courbe d'intersection des deux nappes, rhacune d'elles sera normale à la sur&ce, et la coupera en un point pour lequel les deux courbures auront même rayon et même centre. I .a <îOurbe qui, sur la surface, passe par tous ces points, est une ligne r'(*marquable; c'est la ligne des courbures spJiériques, qui ne coînride avec aucune de^ lignes de courbure, et qui, sur la sur&ce, coupe toutes celles de l'une et de l'autre espèce. On aura l'équation de cette courbe en égalant entre elles les valeurs des deux rayons de courbure, c'est-à-dire en égalant à zéro le radical de l'é- (|uation (D), ce qui donne

|(i f 7')r— a/7(7JH- (i H-/;')fJ' = 4(r^ — j')(H-/?^+^').

Il (îst bien évident que la ligne des courbures sphériques sur la surfiicre est une développante de la ligne des centres de courbure Hpliéri(|ue ou de l'intersection des deux nappes des centres. Ainsi, aprrs avoir fixé un (il en un des points de l'intersection des deux nappes des (K^fitres, si, en le tendant, on le fait mouvoir de manière pTil n'enveloppe sur cette intersection, et que la partie rectiligne lu fil .si)il. toujours tangente à cette courbe, un des points de ce fil pfu'coiirr» la ligne de courbure sphérique. Mais si, en tendant le fil, on nr n'assujettit à aucune condition, et en supposant qu'il n'exerce iiunin (i*olU'in(;nt sur les nappes des centres, dans quelque position qu'on le eonsidère, il sera divisé en trois parties : la première sera rhvi'loppn* ViWV une partie de l'intersection des deux nappes; la dnixiriiie sera pliée et tendue sur la nappe des centres dont le fil 11' MTii iipproi^lié, et sera appliquée sur une des arêtes de rebrousni'iiiiMil dont (*elle nappe est le lieu, et ces deux parties de courbes nn lnurlieri>nl ù hnir point commun; la troisième partie du fil en \\^\\i^ droiU* sera buigente à cette arête de rebroussement, et nor-

maie à la surface; enfin, le même point du fil sera sur la surface elle-même. Ainsi, en agitant le fil constamment tendu, on pourra transporter le même point du fil successivement sur tous les points de la surface.

On voit donc qu'une surface quelconque peut être engendrée par les deux mouvements continus du point d'un fil tendu qui s'enveloppe sur les nappes des centres, de même qu'une courbe plane peut être engendrée par le point tendu d'un fil qui s'enveloppe sur la développée de la courbe.

Nous allons actuellement nous occuper de la génération des surfaces courbes d'après les propriétés de leurs lignes de courbure, de leurs rayons de courbure, etc. Nous aurons souvent occasion d'employer les équations rapportées dans ce paragraphe.