DES UGNES DE COURBURE DE LA SURFACE DE L'ELLIPSOÏDE

Après avoir porté, de part et d'autre de l'origine, sur la ligne des X une première droite a, sur la ligne des j une seconde droite '>, et sur la ligne des z une troisième droite c, ce qui détermine six points placés de telle manière que chacun des trois plans rectangulaires en contient quatre; si l'on conçoit dans chacun de ces plans une ellipse dont les quatre points compris dans ce plan soient les quatre sommets, chacune de ces ellipses, que nous nommerons ellipses principales, aura pour demi-axes deux des trois droites «,

ft, c, et leurs équations seront

Ensuite, si l'on conçoit qu'un plan se meuve parallèlement à l'un quelconque des plans rectangulaires, dans chacune de ses positions il coupera deux des ellipses principales, chacune en deux points, i?e qui déterminera quatre points dans ce plan; enfin, si Ton conçoit l'ellipse dont ces quatre derniers points seraient les quatre sommets, le lieu de toutes les ellipses construites suivant la même loi que la dernière sera la surface de l'ellipsoïde dont nous nous proposons de trouver des lignes de courbure; ou, ce qui revient au même, cette surface peut être regardée comme engendrée par le mouvement de la dernière ellipse, qui est en même temps variable de figure et de position.

Il est évident, d'après cette génération, que la surface est symétrique par rapport à chacune des trois lignes des a:, des j* et des z, sur lesquelles seront placés ces trois axes, et que les grandeurs de ces axes seront respectivement 2a, 2&, ac. De ces trois axes nous supposerons que le premier soit le plus grand et que le dernier soit le plus petit.

Pour trouver l'équation de la surface de l'ellipsoïde, supposons que le plan mobile soit parallèle à celui des a:, j, et considérons-le lorsqu'il est à une distance quelconque et de l'origine; on aura pour son équation

On trouvera les coordonnées des points dans lesquels il coupe alors les deux ellipses principales, en faisant z = et dans les équations de

substituant donc ces valeurs dans l'équation ( E) , ' (E)jë[('+î*)^-/^'l-^lK'+î')'-('+/'')']] = o,

et chassant, au moyen de Téquation de la surface, les z qui ne se détruisent pas, on aura, pour les projections des lignes de courbure sur le plan des a:, j, l'équation aux différences ordinaires à deux variables

qui, en faisant, pour abréger,

devient

^^è"^È(^'~Ar' — B) — -^ = 0'

et qu'il s'agit d'intégrer.

Cette équation étant élevée, on doit la regarder comme résultant de rapports non linéaires établis entre les constantes qui complétaient les intégrales du premier ordre d'une équation différentielle d'un ordre supérieur. Il faut donc chercher cette équation d'tgi ordre supérieur en éliminant successivement des constantes par la différentiation, l'intégrer ensuite jusqu'aux quantités finies, ce qui introduira autant de constantes arbitraires de trop que l'on aura différentié de fois, et trouver enfin les relations qui doivent subsister entre ces constantes arbitraires pour que la proposée soit satisfaite.

Difiërentiant donc la proposée, on trouve

g(2A^| + a:^-Aj»-B)H-(A^f-; + i)(a:^^-j)=o,

et éliminant une des constantes A, B, l'autre disparaît aussi, et l'on obtient l'équation aux différences secondes

J^ddf -h dy {^dy — ydv) = o,

qui est linéaire, et qui peut être mise sous cette forme

^ddy -f- dyd^ = o.

dont l'intégrale est

-dy = v^^^^^^

jS étant la constante arbitraire introduite par l'intégration.

On pourrait dès à présent substituer dans la proposée, pour ^^

sa valeur tirée de l'intégrale, et l'on aurait l'intégrale demandée complétée par la constante arbitraire |3 : dans ce cas même, l'opération serait très-simple; mais, en général, il vaut mieux remonter directement aux quantités finies, ce qui donne toujours l'équation la plus simple, et déterminer les valeurs des constantes surnuméraires de manière que la proposée soit satisfaite. Intégrant donc encore une fois, on trouve

équation d'une section conique concentrique à l'ellipsoïde, dont les axes sont dirigés suivant la ligne des x et celle des/, pour laquelle les grandeurs des axes sont arbitraires, et qui peut être luie ellipse ou une hyperbole, suivant le signe de la constante |3. Mais nous ne devons avoir qu'une seule arbitraire; donc des deux axes

de la section conique il n'y en a qu'un dont nous puissions disposer; l'autre dépend du premier, et cette relation doit être telle que la proposée soit satisfaite.

Pour trouver cette relation, soient m^ nies grandeurs des demiaxes de la section conique, son équation sera

le signe supérieur étant pour les ellipses, et l'inférieur pour les hyperboles; en la dîfFérentiant, on trouvera

dy /i*x ^

dx ~^ m*j '

substituant pour f ^^ -f leurs valeurs dans la proposée, x disparaîtra aussi, et l'on trouvera que pour que cette équation soit satisfaite, les deux demi-axes /w, n doivent avoir entre eux la relation

m^ zfz A/^^ = B.

(jCs demi-axes pour chaque ellipse sont donc les coordoimées d'un point d'une même hyperbole déterminée, et pour chaque hyperbole les coordonnées d'un point d'une même ellipse déterminée; cette hyperbole déterminée et cette ellipse étant d'aflleurs Tune et l'autre concentriques à l'ellipsoïde, ayant, de plus, les mêmes axes, dirigés, l'un suivant la ligne des Xj l'autre suivant la ligne des j, et les grandeurs de ces axes étant, pour la moitié du

premier, y B, et pour la moitié du second, ^. Enfin, remettant

pour A et B leurs valeurs, les grandeurs des demi-axes communs de l'ellipse et de l'hyperbole déterminées seront respectivement

a y a* — b* ^ b \a* — ^^ tm > • i

- et . L) ou suit la construction suivante.

va' — c

yjb' —

On construira une première hyperbole et une première ellipse, toutes deux concentriques à l'ellipse principale, et dont les demi-

axes communs seront — dans le sens des Xy et — -==r

dans le sens des y. Nous donnerons à ces deux courbes le nom à' hyperbole et di ellipse auxiliaires. Puis, si d'un point quelconque de l'hyperbole on abaisse les deux coordonnées rectangulaires, ces coordonnées seront les demi-axes d'après lesquels, en construisant une autre ellipse concentrique, on aura la projection, sur le plan des jc, Xj d'une des lignes de courbure de l'ellipsoïde. Construisant de la même manière tant d'ellipses qu'on voudra, on aura les projections de toute la suite des lignes d'une des courbures de la surface. De même, si d'un point quelconque de l'ellipse auxiliaire on abaisse les deux coordonnées rectangulaires, elles seront les demi -axes d'une hyperbole concentrique; chacune des hyperboles construites de cette manière coupera toutes les ellipses, et réciproquement; et leur système sera la projection de toute la suite des lignes de l'autre courbure.

La quantité a^ — b^ étant toujours moindre que a.^ — c ^ , il s'ensuit que Taxe commun de l'ellipse et de l'hyperbole auxiliaires, et

qui a pour expression — , est plus petit que le grand axe na

de l'ellipsoïde; que, par conséquent, les sommets communs de ces deux courbes tombent en dedans de l'ellipse principale. D'après cela, il est évident que la plus petite des ellipses, projections des lignes de courbure, a pour grand axe cet axe commun, et que son petit axe est nul : elle se confond donc avec la ligne des x\ d'où il suit que l'ellipse principale qui est dans le plan des a:, z, est elle-

même une des lignes de courbure de la surface. A mesure que le grand axe des ellipses croît, le petit axe croît aussi; et lorsque le premier de ces axes est égal au grand axe de l'ellipsoïde, l'ellipse se confond avec l'ellipse principale du plan des oc^y^ qui est donc aussi une ligne de courbure. En effet, si dans l'équation de l'hyperbole auxiliaire m^ — An^ = B, on fait m = a, et si l'on remet pour A et B leurs valeurs, on trouve n = b. Il est inutile de construire des ellipses plus grandes que cette dernière; elles tomberaient toutes en dehors de l'ellipsoïde, et seraient étrangères à notre objet.

On voit donc que chacun des deux sommets communs de l'hyperbole et de l'ellipse auxiliaires est embrassé d'un même côté par toutes les ellipses, qui se resserrent toujours à mesure que leurs sommets en approchent, et qui ne perdent leur petit axe que quand elles l'atteignent.

Quant aux hyperboles, il est clair qu'aucune d'elles ne peut avoir, dans le sens des oc, un axe plus grand que l'axe commun de l'hyperbole et de l'ellipse auxiliaires. Celle pour laquelle l'axe a cette grandeur a son autre axe nul , et se confond avec la ligne des x'j à mesure que cet axe diminue, l'autre augmente, de manière que, lorsque celui-ci est à son maximum, le premier devient nul à son tour, et alors les deux branches de l'hyperbole se confondent avec la ligne des y. Ainsi la troisième ellipse principale est encore, comme les deux autres, une des lignes de courbure de la surface. Chacun des sommets communs de l'hyperbole et de l'ellipse auxiliaires est embrassé par toutes les hyperboles, mais du côté opposé à celui pour lequel les ellipses l'embrassent. Les hyperboles se resserrent à mesure qu'elles approchent de ces points, et elles ne perdent leur petit axe que lorsque leur sommet les atteint.

Ces points vers lesquels et les ellipses et les hyperboles tournent toutes leiu's concavités sont les projections de quatre points très-

remarquables sur la surface courbe; deux d'entre eux sont placés au-dessus du plan des a;, j, et deux au-dessous. Ce sont quatre ombilics autour desquels les lignes des deux courbures sont pliées, toutes les unes d'un côté, et toutes les autres du côté opposé. Ces lignes se resserrent à mesure qu'elles en approchent, et, dès qu'elles les atteignent, elles changent d'espèce.

Les projections des lignes de courbure ne sont des courbes d'espèces différentes pour les deux courbures que parce que le plan de projection n'est pas placé d'une manière symétrique. En effet, les trois axes de l'ellipsoïde étant supposés inégaux, c'est sur le plan, mené par le plus grand axe et par le moyen, qu'on aurait trouvé, par la même raison, des résultats absolument analogues; mais en choisissant le plan mené par le plus grand axe et par le plus petit, les projections des lignes de courbure sont de la même espèce; elles se construisent toutes par la même loi , et leur construction est plus propre à être employée dans les arts.

Pour avoir l'équation de la projection des lignes de courbure sur le plan des a?, z, il fout, de l'équation de la siu^ce courbe

éliminer y au moyen de l'équation de la projection, sur le plan des x, j,

dans laquelle on a d'ailleurs, entre les deux constantes arbitraires /n, n, la relation suivante :

m^ zp kri' = B,

ce qui réduit ces constantes à ime seule. Cette élimination est

rendue plus facile par l'équation identique et donne

dans laquelle toutes ambiguïtés de signes se sont détruites. Or nous avons vu que la quantité m, qui est Taxe dans le sens des x des sections coniques de la première projection, ne peut jamais excéder Taxe correspondant a de l'ellipsoïde; la quantité a^ — m^ sera donc toujours positive, et l'équation que nous venons de trouver sera celle d'une ellipse concentrique à la surÊice courbe, dont les axes seront dirigés suivant la ligne des x et celle des z, et qui ne changera pas d'espèce. Soient m', n' les grandeurs des deux demiaxes de cette ellipse, on aura

et, éliminant la constante m, qui est étrangère à la projection actuelle, on trouvera que les deux demi-axes de cette ellipse doivent avoir entre eux la relation suivante :

Or cette équation est elle-même, en m', Ai', celle d'une ellipse déterminée ; donc les deux demi-axes de chacune des ellipses de la projection sur le plan des a:, z, sont les deux coordonnées rectangulaires d'un même point, pris sur une ellipse qui est la même pour

toutes, et dont les demi-axes ont pour grandeurs —=z dans le même sens des m', et — -z dans le sens des n\ Enfin, remettant pour A

by/À ^

et B leurs valeurs, les grandeurs des demi-axes de cette dernière

ellipse sont respectivement et — ; d ou smt la

construction suivante.

On construira une ellipse auxiliaire concentrique à F ellipse principale, et dont les demi-axes seront ~^i==r dans le sens des a*,

et ~^ dans le sens des z. Il suffira de construire un quart de

cette courbe. Puis, d'un point quelconque de cette ellipse on abaissera les deux coordonnées rectangulaires, et l'on construira une ellipse concentrique dont les demi-axes, dans le sens des oc et dans celui des Zj sei'ont égaux à ces coordonnées respectives. Cette ellipse sera la projection d'une des lignes de courbure, et la suite de toutes les ellipses construites de cette manière sera la projection des deux suites des lignes de courbure de toute la surface de l'ellipsoïde. Les

(l\ H^ •"— C^ C \ Cl^ "— c^

demi-axes de l'ellipse auxiliaire • et , étant plus

grands que les demi-axes correspondants a et c de l'ellipse principale , cette dernière ellipse est entièrement comprise dans la première. De plus, l'ellipse principale est elle-même ime de celles que donne la construction précédente; car si, dans l'équation de l'ellipse auxiliaire

on donne à m' la valeur a du grand axe de l'ellipse principale, et en Êdsant usage de l'équation identique AP -f- B = a% on trouve pour l'ordonnée n' la valeur c du petit axe. Donc, si aux extrémités des deux axes de l'ellipse principale on lui mène des tan-

gentes, ces tangentes, qui seront d'ailleurs rectangulaires entre elles, se rencontreront en un point de l'ellipse auxiliaire. Ce point de rencontre divise le quart de l'ellipse auxiliaire en deux parties, dont l'une sert à la construction des lignes de l'une des couii>ures, et dont l'autre sert à, la construction des lignes de l'autre courbure. En effet, la partie du quart de l'ellipse auxiliaire qui avoisine son premier axe produit des ellipses qui toutes ont leurs grands axes plus grands et leurs petits axes plus petits que les axes correspondants de l'ellipse principale. Ces ellipses, qui se resserrent à mesure que leur grand axe s'allonge, et qui se confondent avec la ligne des x lorsque le grand axe est égal à celui de l'ellipse auxiliaire, divisent Taire de l'ellipse principale en zones dirigées dans le sens du grand axe, et sont les projections des lignes d'une des courbures. Au contraire, la partie du quart de l'ellipse qui avoisine son second axe produit des ellipses qui toutes ont leurs axes dans le sens des x plus petits, et ceux dans le sens des z plus grands que les axes correspondants de l'ellipse principale. Ces ellipses, qui se resserrent à mesure que l'axe, dans le sens des z, croît, et qui se confondent avec la ligne des z lorsque cet axe est égal à celui de l'ellipse auxiliaire, divisent l'aire de l'ellipse en zones dirigées dans le sens de la ligne des z. Chacune d'elles coupe donc toutes celles de la première espèce en quatre points qui sont compris en dedans de l'ellipse prin- (*ipale; donc elles sont les projections des lignes de l'autre courbure.

Dans la dernière projection , si par les extrémités des axes de l'ellipse auxiliaire, prises deux à deux, on mène quatre lignes droites, ce qui formera un parallélogramme équilatéral, toutes les ellipses, projections des lignes de courbure, seront inscrites dans ce parallélogramme, dont chacune d'elles touchera les quatre côtés.

- i5i — En effet, si de l'équation de ces ellipses

on chasse la quantité m au moyen de l'équation de l'ellipse auxiliaire

l'équation résultante ordonnée par rapport à n\

a^b^kn" -h n'^ [c^ Rr^ — a^'b^kz^ — a'c' ] -h a'c'z' = o,

sera celle des ellipses, projections des lignes de courbure, et qui ne diffèrent entre elles que par la valeur particulière de la constante n'. Pour avoir l'enveloppe de toutes ces ellipses, c'est-à-dire la ligne qui termine l'espace qu'elles occupent sur le plan de projection, il faut difTérentier cette équation en regardant /i' comme seule variable, et éliminer n' au moyen de cette différentielle. Or, en différentiant, on a

aa^è^An'^ l c^ Rr^ — a'è^Az^ — a'c'' = o;

donc, en éliminant /i'% on aura pour équation de l'enveloppe de toutes les ellipses

[e^ftr* — a^è^Az' — aV^]^ — 4a*èV'Az^ = o.

Mais le premier membre de cette équation est la différence de deux carrés; l'équation elle-même se décompose donc dans les deux facteurs

c'ftr' — a'b^kz^ a*c' -h ^^a^bcz y/A = o, c»ftr' — a'6'Az' — a'c^ — ^a^bcz\fK=o,

qui, étant eux-mêmes chacun la différence des deux autres carrés,

se décomposent dans les quatre facteurs

ex y B -h ahz y A h- a^c = o,

— ex y B — ahz \A -+- a^e = o,

— ex y B H- aèz yA h- a^c = o, cj? y B — abz y A -h a^c = o;

ou, remettant pour A et B leurs valeurs

^a' — b^-\-az )Jb' — c^^ae yjà' — c' = o,

— ex sjd^ — b^ — az \b^^—c^ -+- ac ^a^ — c^ = o,

— ex sja^ — b'^ ■+- az ^b^ — e^ -+- ae \Jà^ — e^ = o, ex \Ja^ — b^ — az \b^ — c^ -h ac \Jd^ — c* = o,

qui sont les équations des quatre droites menées par les extrémités des axes de T ellipse auxiliaire, prises deux à deux.

La plupart des autres surfaces ont des ombilics analogues à ceux que nous avons remarqués sur celle de l'ellipsoïde, et il est Êicile de trouver leurs positions avant même que d'avoir intégré l'équation des lignes de courbure; car les ombilics sont les points dans lesquels les lignes des deux espèces de courbure se changent l'une en l'autre, et, par conséquent, pour chacun desquels les deux lignes de courbure se confondent. Ces points sont donc ceux pour lesquels les deux valeurs de ^-., que fournit l'équation générale des

lignes de courbure, sont égales entre elles; et l'on aura une relation entre leurs coordonnées, en égalant à zéro le radical par lequel ces deux valeurs différent entre elles. Faisons-en l'application au cas

de l'ellipsoïde, pour lequel l'équation générale différentielle des lignes de courbure est

^•^ S "+" È ["^^ ~ Ar' — B] — xy = o.

Si, après avoir résolu cette équation du second degré algébrique, on égale à zéro le radical, on aura

[^.« Ay' — hy -+ /iAxy = o,

dont le premier membre est la somme de deux carrés, et qui ne peut rien exprimer de réel, à moins qu'on n'égale à zéro la racine de chacun de ces carrés; ce qui donne en même temps les deux équations

x^ — Aj^ — B = o;

mais la première de ces équations a elle-même deux facteurs qui peuvent avoir lieu séparément. Donc nous avons deux cas à considérer : 1** le cas où Ton aurait en même temps

j = o et x^ — Aj^ — B=o;

2** celui où l'on aurait en même temps

.r=o et x^ — A.y^ — B=o.

Le premier cas donne

r = o et ^ = \/B = '^ ;

ce sont les coordonnées que nous avons trouvées pour les projections des ombilics sur le plan des x^ y. Le second cas donne

.r = o et j=-;=:y — i,

qui sont les coordonnées d'un point imaginaire. Ainsi, il n'existe pas sur la surface d'autres ombilics que ceux que nous avons considérés.

Nous aurons occasion, dans la suite, de voir des surfaces dont tous les points sont de semblables ombilics.

S'il était question de voûter un espace circonscrit en projection horizontale par une ellipse, on ne pourrait pas donner à la voûte une surface plus convenable que celle de la moitié d'im ellipsoide dont une des ellipses principales coïnciderait avec l'ellipse de k naissance; et, en supposant que cette voûte dût être exécutée en pierres de taille, il faudrait que la division en voussoirs fut opérée au moyen des lignes de courbure dont nous avons donné la construction, et que les joints fussent les surfaces développables normales à la voûte. Les lignes de division en voussoirs traceraient sur la surÊice des compartiments rectangulaires susceptibles de décoration, et ces compartiments eux-mêmes n'auraient rien de Êuitastique, puisqu'ils ne seraient qu'une suite nécessaire de la première donnée, qui est une ellipse; mais la destination de cet emplacement pourrait influer sur le choix de celui des trois axes qu'il faudrait placer verticalement.

Il n'y aurait aucune raison pour faire l'axe vertical égal à l'un des deux axes horizontaux; ainsi les trois axes seraient inégaux. Dans cette hypothèse, l'axe vertical pourrait être plus grand que les deux autres, et alors la voûte serait surmontée; il pourrait être plus petit, et la voûte serait surbaissée; enfin, il pourrait être compris entre les deux autres, et la voûte serait moyenne. La voûte surmontée aurait, en général, plus de hardiesse et plus de dignité; et, si la naissance était elle-même à une grande hauteur, quelle que

fiit, d'ailleurs, la destination de remplacement, ce serait la voûte surmontée qu'il faudrait employer, parce que sa grande élévation, faisant paraître ses dimensions verticales [)lus petites qu'elles ne seraient réellement, écraserait trop une voûte d'une autre espèce. La voûte surbaissée, en diminuant le volume de l'air compris dans l'emplacement, serait plus favorable à la voix d'un orateur. Si l'emplacement devait être éclairé par deux lustres suspendus à la voûte, il faudrait que cette voûte fût, ou surmontée ou surbaissée, parce que, dans ces deux cas, sa surface aurait deux ombilics placés symétriquement au-dessus du grand axe de l'ellipse horizontale, et que ces ombilics, rendus très-apparents par les compartiments qui se distribueraient autour d'eux, seraient les points naturels de suspension; alors, on pourrait disposer du rapport entre les trois axes^ pour que ces points fussent espacés d'une manière convenable.

Au contraire, si l'emplacement devait avoir quatre grandes ouvertures, ou si la voûte devait être portée par quatre groupes de <:olonnes, ou enfin si, dans la décoration intérieure, on employait quatre supports distribués symétriquement, il faudrait choisir la "voûte moyenne pour laquelle les quatre ombilics sont toujours ^rians la naissance, et placer les massifs ou les supports aux quatre ^extrémités des axes, parce que c'est aux environs de ces quatre jfDoints, et loin des ombilics, que les lignes de courbure, rendues pparentes par la décoration de la voûte, et qui, d'ailleurs, ren- -^ entrent toutes verticalement la naissance, s'écartent plus lentement le la ligne de plus grande pente de la surface.

On s'occupe aujourd'hui de la construction de salles pour les

ux Conseils de la législature; les emplacements dont on a pu

no.

disposer, jusqu'à présent, pour de semblables salles, ont forcé de donner à l'amphithéâtre moins de profondeur en fece de l'orateur que sur les côtés; mais, l'expérience ayant prouvé que la voix se porte à une plus grande distance en face, il paraît que c'est une disposition toute contraire qu'on devrait adopter. De toutes les formes allongées qu'on pourrait donner à l'amphithéâtre, il n'y en a aucune dont la loi soit plus simple et plus gracieuse que l'ellipse; il faudrait donc que la salle fut elliptique, et qu'elle fut couverte par une voûte en ellipsoïde surbaissée.

Le service des assemblées législatives exige un emplacement pour le bureau, en avant duquel est la tribune de l'orateur. En plaçant le bureau a im des sommets de l'ellipse, on pourrait lui consacrer un espace suffisant pour la commodité du service, et l'orateur se trouverait naturellement placé sous un des ombilics de la voûte ; l'amphithéâtre n'occuperait que la partie qui est en avant. Une galerie qui ferait le tour entier de la salle, et qui serait assez élevée pour être très-distincte de l'amphithéâtre, fournirait des places au public. La salle, qui n'aurait ni tribune ni aucune espèce d'irrégularité, pourrait être décorée par des colonnes, à chacune desquelles correspondrait une nervure de la voûte, pliée suivant la ligne de courbure ascendante. Toutes ces nervures, verticales à leur naissance, se courberaient autour de l'un ou de l'autre ombilic, pour redescendre ensuite à plomb sur les colonnes opposées, et elles seraient croisées perpendiculairement par d'autres nervures pliées suivant les lignes de l'autre courbure. Les intervalles de ces nervures pourraient être à jour, soit pour éclairer la salle, soit pour donner des issues à l'air, et formeraient un vitrage moins fantastique que les roses de nos églises gothiques. Enfin, deux lustres suspendus aux ombilics de la voûte, et à la suspension desquels la voûte entière semblerait concourir, serviraient à éclairer la salle pendant la nuit.

Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails à cet égard; il

ce qui, pour chaque ligne de courbure correspondante, déterminerait le point M. Alors, pour trouver l'autre sommet N de la même ellipse, il faudrait, par le point M, mener MH parallèle à AB, la prolonger jusqu'à la rencontre de l'hyperbole auxiliaire, et, du point H d'intersection, abaisser sur AB la perpendiculaire HN, qui déterminerait le point N .

Les hyperboles, telles que SPRS'P'R', sont les projections des lignes de l'autre courbure. I^es extrémités P, Q de leurs axes se construisent, pour chacune d'elles, en abaissant d'im même point L, pris sur l'ellipse auxiliaire, les coordonnées rectangulaires LP, LQ. Dans la Jig. 2 , nous indiquerons comment on construirait ces points s'il fallait que l'hyperbole passât par un point déterminé R de la naissance.

O et O' sont les projections des ombilics.