XIX
DE LA SURFACE DONT LES DEUX RAYONS DE COURBURE EN CHAQUE POINT SONT ÉGAUX ENTRE EUX ET DIRIGÉS DU MÊME COTÉ.
Les centres des deux courbures d'ime surface courbe, pour cha- (*un de ses points, sont sur la normale qui passe par ce point; mais la position de ces deux centres sur la normale dépend, en général, de la génération de la surface. Si les centres sont tous deux placés du même côté par rapport à la surface, les deux courbures présentent leurs concavités du même côté; c'est ce qui arrive, par exemple, dans tous les points de la surface engendrée par la révolution d'une ellipse autour d'un de ses axes. Si les centres des deux courbes d'ime surface, pour un de ses points, sont placés de différents côtés par rapport à la surface, l'une des deux courbures en ce point présente sa concavité du côté vers lequel l'autre présente, au contraire, sa convexité. Nous verrons par la suite que c'est ce qui arrive dans
Avant de quitter les diffëreiices secondes, nous ol)serverons qu'en taisant, [)Our abréger,
(I -+- fr)r —pqs = A,
(I + (f)^"^ — pqt = B,
(I -^ p') s — pqr^- C, (I -h//') / — pq^s = D, ce qui donne
A 4-1) =//, />ry (A- D) = (I + //-') B - ( i + q') C,
l'équation générale (E) des lignes de courbure, qui devient alors
VkW' + (A — D) dxdy — C(fy' = o,
produit deux valeurs de -y-, qui ne différent entre elles que par le radical
Or ce radical est le même que celui qui entre dans la valeur du rayon de courbure, c'est-à-dire que la quantité (A — D)- h- 4BC, ou (A H- D)" — 4 (AD — BG) est égale à //" — 4^" 'g*? ce qui est facile à vérifier. Donc, dans la sm'face dont nous nous occupons, et pour
laquelle le radical est nul, les deux valeurs de y-, relatives aux lignes de courbure, sont égales entre elles. Donc, excepté les cas particuliei*s pour lesquels les trois quantités B, C, A — D sont chacune
égales a o, et ne déterminent aucune valeur pour -^, la surface n'a
pour chaque point qu'une seule ligne de courbure; ainsi tous ses points sont des ombilics analogues à ceux que nous avons reniar-
qués être au nombre de quatre sur la surface de Vellipsoide. Reeherehons d'abord quelles sont les surfaces qui sont dans le (\is de l'exception.
Des trois équations B = o,G = o, A — Dinno, qui déterminent le cas de l'exception, la troisième est une suite nécessaire des deux autres, et il suffît d'employer les deux premières, qui peuvent être mises sous la forme
Or, la première étant une différence partielle exacte prise en rejçardant X comme seule variable, elle doit être intégrée conmie nue différence ordinaire, et complétée non par ime constante absolue, niais par une fonction arbitraire de la quantité j, qui a été regardée constante dans la différentiation; il en est de même pour la seconde, qui doit être complétée par une fonction arbitraire de ,r. Les intégrales de ces deux équations sont donc
f) = k(px^
<i = Hy-
jKemettant pour k sa valeur \ i -h /; de/-? et </, on aura
Y", et tirant les valeurs
V I - (9^vy - (^j)
si-(<fxy-(^yy
Valeurs qui, étant substituées dans dz =^pfLv -+- (/df^ donneront
, (f.T.rtx-i-^y.r/y
Nous verrons dans la suite, en traitant de la génération des courbes à double courbure, que, suivant les formes des deux fonctions ç et 4? cette équation peut appartenir, ou à des surfaces courbes, ou à des lignes courbes; mais nous avons vu que, dans
toute surface courbe , on a toujours f -t-4; ) = ( j-y- ) » dont les
deux membres sont les expressions différentes d'une seule et même quantité. Donc, en exécutant cette opération sur le second membre pour toutes les surfaces courbes auxquelles peut appartenir cette équation, on aura
équation qui ne doit pas servir à déterminer r en a?, mais seulement à déterminer les formes des deux fonctions (p et *>/.. Or cette équation ne peut pas avoir lieu pour toutes les valeurs de a: et de j*, a moins que ces quantités n'entrent ni l'une ni l'autre sous leurs fonctions respectives, ou que ces deux fonctions ne soient égales chacune
à une même constante —
Donc on aura en même temps
ce qui donne, en intégrant,
Substituant ces valeurs dans l'équation aux difféi^ences ordinaires, elle deviendra
I (x H- a) dx H- (y H- b) dj
dont l'intégrale
z + c=— V'e' — {x-\-ay — (j-t-ô)%
Pour trouver les intégrales de Téquation aux différences partielles secondes, nous allons d'abord chercher l'équation de la caractéristique. Pour cela, si l'on différentie l'équation en regardant r^ s^t comme seules variables, et si Ton représente par R', S', T' les coefficients respectifs de dr^ ds^ dt^ on trouvera, en conservant les abréviations,
valeurs qu'il faudra substituer dans l'équation générale de la caractéristique
RVj^ — S'dxdf 4- T'djc' = o.
Mais alors cette équation sera un carré parfait ; car, en effectuant la quantité 4R'T' — S'% on trouve qu'elle est égale à i6k^ {^k^g — h^)y qui est nulle en vertu de la proposée: donc les deux caractéristiques de la surface se confondent en une seule , qui aura indifféremment pour équation l'une des deux expressions suivantes de la racine de l'équation précédente :
