Kdf — S^dœ = o, 2T^dx — S^dy = o

Ces deux équations, qui appartiennent à la même courbe, et dont une seule , au moyen de la surface , suffît pour déterminer cette courbe, doivent donc être regardées comme équivalentes à celles de deux projections. Donc, en remettant pour R', S', T' les quantités qu'elles représentent, et chassant r, ^, ^, les deux équations

— 2o3 — aux différences ordinaires de la caractéristique seront

^k'^dp — h [dx + pdz) = o, ik'^dxi — h (dy + qdz) = o,

et, en y joignant

dz =z pdx H- qdy^

qui , étant celle de la surface même sur laquelle cette courbe se trouve, lui appartient aussi, on aura trois équations qui équivaudront à celles de trois de ses projections, et dont deux quelconques suffiront pour la déterminer.

Dans ces trois équations, les variables x^ y^z n'entrent pas; il n'y a que les différentielles de ces variables qui s'y trouvent. On peut donc les isoler par l'élimination, ce qui donne

doc = j^ [(i 4- q') dp —pqdq],

"^y^lii^ + p") dq — pqdp]^

dz = l[pdp-hqdq],

dont la troisième suit évidemment les deux premières.

Or les deux premières de ces équations sont les mêmes que celles que nous avons trouvées dans l'article précédent pour la ligne unique de courbure de la surface; donc la caractéristique, xmique pour chaque point, n'est autre chose que la ligne unique de courbure, et nous pourrons, dans la suite, considérer indifféremment cette courbe sous l'un ou l'autre de ces deux aspects.

Si l'on substitue, dans ces trois équations, pour h sa valeur prise

dans l'expression R = r- du rayon de courbure, elles de-

viennent

dx = — R^(:'

dz = Rd 7 j k

qui seraient toutes trois des différentielles exactes si le rayon de courbure R était une quantité constante , et alors leurs intégrales seraient complétées par des arbitraires qui, étant toutes trois constantes pour la même caractéristique individuelle, et variables d'une caractéristique à sa consécutive, seraient fonctions d'une même quantité a, qui particularise la position de cette courbe; mais le rayon de courbure R n'est pas constant. Si donc on intègre ces équations en regardant R conmie constant, il faut que les arbitraires soient non-seulement fonctions de la quantité a, mais encore de R, et que ces fonctions soient telles , que les différentielles de chaque équation prise en regardant successivement a et R comme seules variables, aient lieu. Représentant donc par cp, «vl. et tt trois fonctions arbitraires de a et de R, on aura

7r(R,ct),

les trois fonctions devant satisfaire aux deux systèmes d'équations

— i, ir ^

— = yr, TT =0,

qui résultent de la difFérentiation des trois précédentes, opérée en regardant successivement R et a comme seules variables. Or les trois dernières équations cp'^ = o, 4^^ = o, tt'^ = o, expriment que d n'entre dans aucune des fonctions; par conséquent, si nous regardons désormais les trois fonctions arbitraires (p, -vl., tt comme composées de la seule quantité R, ces trois équations seront satisfaites. Quant aux trois autres équations de condition, si Ton fait la somme de leurs carrés, on trouvera

(p -}- 'Vf, -\- TT = ï ,

d'où l'on tirera et, par conséquent,

qui tiendra lieu de l'une des trois équations de condition restantes, par exemple de la dernière, et qui servira à déterminer la forme de la fonction surabondante tt, d'après celles des deux autres. Quoique cette fonction tt soit déterminée, nous la conserverons néanmoins encore pour abréger les expressions.

Les deux intégrales premières de l'équation aux différences partielles du second ordre sont donc comprises dans le système des six équations suivantes :

7r=/rfRv/i— <P'*-4'%

qui |>euvent toujours être réduites à cinq par T élimination actuelle de la fonction surnuméraire tt, et qui ne comprendront plus alors que les deux fonctions arbitraires (p et 4. Ces deux intégrales sont iusépai'ables Tune de l'autre; pour les avoir chacune en particulier, il faudrait [)ouvoir employer deux des trois équations principales, et n'avoir dans le résultat qu'une seule fonction arbitraire, ce qui est impossible. Mais, quoique ces intégrales ne soient pas séparées, elles ne conduisent pas moins directement à l'intégrale finie, comme nous allons le voir.

Si entre les six équations précédentes on élimine les deux quantités r' T' €t si Ton en chasse la fonction tt, on aura trois autres équations :

('^ - <py ^ ( j - 4)'"* + [^ - f'f^ v/i-?"'-4"r = R''

et rélimination de l'indéterminée R entre ces trois équations produira, en ^s j, z et deux fonctions arbiti'aires, deux équations qui seront l'intégrale complète de la proposée. Ainsi, en nous tenant dans la généralité comportée par deux fonctions arbitraires, l'objet de nos recherches étant exprimé par deux équations, il n'est pas une surface courbe, ainsi que nous l'avions supposé; c'est une courbe à double courbure. Comme ce résultat est extraordinaire, nous allons le vérifier par la géométrie; mais auparavant nous donnerons aux équations une forme qui présentera plus de facilité.

Des quatre quantités R, (pR, ^R? '^^^ dont les trois dernières sont d'ailleurs liées entre elles par l'équation

trois étant fonctions de la quatrième, on peut indifféremnient prendre celle d'entre elles que Ton voudra pour quantité principale, et regarder les trois autres comme fonctions de cette dernière. D'après cela, soient

ttR — a, (pR = *ût, 4^^ = ^ût,

les caractères ^, M' indiquant de nouvelles fonctions arbitraires, nous aurons

<l'où nous tirerons

dR = dct \/V-i^V' + ^'%

bstituant toutes ces valeui's, nous aurons, h la place des trois «lations précédentes, les trois autres équivalentes :

<x — 9cty H- {jr — y¥a,y-\-{z — cty = [fd^ v/i + 4>'^ + v'^ ]' ,

.r — $« = (z — cl) 4)'ûfc,

y — yfroL={z—ûL) W'ûL,

-, par l'élimination de la nouvelle indéterminée a , produiront

ement en a?,/, z les deux équations intégrales. La première de

équations est celle de la surface d'une sphère qui aurait son

sur une courbe arbitraire, dont les projections auraient pour

tions 3C =$2, y=Wz^ le centime étant au point de la courbe cor-

ondante à z = a, et son rayon variable étant égal à Tare de la

be compris entre le centre et un autre point constant pris sur

^3urf)e pour origine. Les deux autres équations sont celles des

'J actions d'un diamètre de la sphère tangent à la courbe. Il est

nt que, pour une même valeur de a, ces trois équations appar-

tiennent au point d'intersection de la surface de la sphère et du diamètre tangent à la courbe, et par conséquent au point de la développante; donc, si Ton élimine a, les deux équations résultantes en .r , j, z appartiendront à la suite de tous les points semblablement déterminés, et par coiiséquent à la développante elle-même.

Si Ton conçoit qu'une sphère, variable de grandeur, se meuve de manière que son centre parcoure la courbe arbitraire dont les équations sont .r = $z, j = ^jz, et que son rayon soit égal au rayon correspondant de la développante de cette courbe, elle parcourra un espace dont l'enveloppe doit jouir de la propriété d'avoir dans tous ses points les rayons de ses deux courbures égaux entre eux; car, et dans la direction de la caractéristique de la surÊice, c'est-à-dire de l'intersection des surfaces de deux sphères consécutives , et dans la direction perpendiculaire , le rayon de courbure doit être égal à celui de la sphère correspondante. L'équation de la surface mobile, considérée lorsque son centre est en un point pour lequel on a s = a, est

qui est la première des équations intégrales que nous venons de trouver; celle de l'enveloppe sera donc le résultat de l'élimination de A entre cette équation et la suivante :

[X — 4>a) ^'ût -H ( J — "l'a) "V'a-V-z — a

qui est sa différentielle, prise en regardant a comme seule variable. Mais dans le cas présent, oii la différence entre les rayons de deux sphères consécutives est égale à la distance de leurs centres, les deux