IO

suite nécessaire fies deux autres, cette troisième équation deviendrait inutile; l'intégrale serait réduite aux deux autres, et rélimination de a produirait en ,f, j, z l'équation d'une surfece moins générale, puisqu'il n'y aurait plus qu'une fonction arbitraire, mais dont l'aire ne serait pas nulle, et qui jouirait de la propriété d'avoir en chacun de ses points les centres de ses deux courbures réunis en un même point.

Or, si Ton élimine x et/ entre les trois équations intégrales, on a

(jui , devant être satisfaite indépendamment de la valeur de s, donne

jrlctSji +*'- 4- ^'* = o,

et ({uand même on pourrait Scitisfaire à la première sans donner à Tune des fonctions arbitraires une forme imaginaire, la seconde, dont le premier membre serait alors une constante qui devrait être nulle, exprimerait que le rayon de la sphère mobile devrait être nul, ce qui réduirait l'enveloppe à la courbe arbitraire elle-même, et Taire de cette enveloppe serait nulle. Donc, dans la généralité beau- <*oup moins grande d'une seule fonction arbitraire, toutes les surfaces auxquelles appartient l'équation aux différences secondes ont leur aire nulle.

Enfin, si les deux dernières équations intégrales étaient une suite nécessaire de la première, et par conséquent inutiles, a et ses deux fonctions seraient des constantes absolues, et l'équation intégrale deviendrait

(.X. aY -h (7 — hy 4- (2 — cY = e\ i\\\\ est celle de la sphère d'une grandeur et d'une position arbi-

Pour intégrer l'équation (a) , nous chercherons d'abord les équations de la caractéristique de la siuface à laquelle elle appartient, et poxu* cela nous difFérentierons en regardant r^ Syt comme seules variables, ce qui donnera

et, substituant ces valeurs dans

R^djr' — S'dxdy + Tdx^ = o, nous aurons pour première équation de la caractéristique,

{b) (iH- q'^) dy^ -+- ipqdxdy H- (i -h/?^) dx'^ = o.

Puis, chassant r, ^, t de la proposée, et substituant pour 4^ la valeur que donne l'équation (6), on aura pour seconde équation de la caractéristique,

(c) (i -^q^)dp^ -h ipqdpdq -h (i +P^)dq^ = o.

Cette dernière équation aux diflFérences ordinaires entre les deux variables p, q est facile à intégrer; car, si on la differentie en regardant q comme variable principale, on trouve

ddp = o, dont r intégrale est

dp = eidq,

a étant la constante arbitraire introduite par l'intégration. Substituant donc pour -£■ la valeur a que donne cette intégrale, l'intégrale de l'équation (c) sera

(i -h q^) A^ — icipq H- I -h/?^ = o, ou

I H- a^ + (/? — oqY = o.

la troisième, et qui peuvent, par conséquent, se réduire à deux d'entre elles, par exemple aux deux premières

dv = G, dy =^ o.

Si ces deux équations, provenant de (i), avaient été facteurs de cette dernière, chacune d'elles pourrait avoir lieu séparément, et elles appartiendraient, l'une à la première caractéristique, et l'autre à la seconde; mais l'équation [h) les produit toutes deux simultanément: elles ont donc lieu toutes deux pour chaque caractéristique. Donc chacune de ces courbes n'est pas déterminée par deux équations seulement, comme dans tous les cas que nous avons considérés jusqu'ici, mais par trois équations; donc enfin cliaque caractéristique se réduit à un point. Ainsi l'analyse ne nous présente pas cette surface comme engendrée par le mouvement d'une génératrice variable de figure et de position, en vertu de la variation d'un de ses paramètres ; elle nous la montre comme engendrée par le mouvement d'un point mobile en vertu de la variation de deux des constantes qui, dans chaque instant, déterminent sa position.

Autrement. Si l'on considère la surface demandée comme l'enveloppe de l'espace parcouru par luie surface mobile et variable de figure, l'enveloppée peut se mouvoir suivant deux directions différentes. Pour chacune de ces directions, deux enveloppées consécutives se coupent en une ligne courbe, et c'est le point d'intersection de ces deux courbes qui est dans la surface. U y a donc entre la surface du § XIX et celle-ci cette différence, que, pour la première, le point de contact ne pouvait à chaque instant se mouvoir (jue suivant une seule direction, et, par conséquent, ne pouvait engendrer dans tout le cours de son mouvement qu'une ligne courbe ou une surface dont l'aire était nulle, tandis que, pour la surface actuelle, le point générateur, pouvant à chaque instant se mouvoir

suivant deux directions différentes, engendre une surÊice courbe dont Taire n'est pas nulle-

n suit de laque, pour la première caractéristique, les trois quantités a, Xj y sont toutes trois constantes; ainsi la première d'entre elles est une fonction des deux autres. Il en est de même de /3, considérée dans l'autre caractéristique. Donc, en général , les deux coordonnées x^y^ et par conséquent la troisième z, sont des fonctions de fl& et de ^. Il ne s'agirait plus que de déterminer les formes de ces trois fonctions pour que la proposée fut satisfaite; mais cette considération, qui, d'ailleurs, nous conduii^ait au même résultat, nous écarterait de la marche de l'intégration que nous allons reprendre.

Quoique l'équation (h) produise deux autres équations simultanées, on peut la traiter comme une équation unique. Par la substiïnition des valeurs de /? et ^ , elle devient

dy^ -h (fit -I- |3) dxdy h- tf^f^dx^ = o,

CDU

{dy -+- ^dx) {dy -h ^dx) = o,

C[ui, étant composée de deux fecteurs, donne, pour les deux caractéristiques, les deux équations

dy -h Aclx = o, dy -h ^dx = o;

mais» de ces deux équations, c'est la seconde qui appartient à la première caractéristique, et la première qui appartient à la seconde. En effet, si, après avoir cliassé r, .y, « de la proposée, ce qui donne

(i -+-q^)dpdy-\- (i -hj}^)dqdx = o, on substitue pour ^ la valeur a, qui convient à la première carac-

tenstique, on a

(i -h q^) (tdy -+- (i 4-/?^) dœ = o, ou

djr -+- ^dx = o.

De même , en employant pour -£ la valeur [i , qui convient à la seconde caractéristique, on trouve

dy -\- ddx = o.

I iCs deux équations de la première caractéristique sont donc

p — aq = — y — l — a", dy H- ^dœ = o,

et celles de la seconde

df -+- (tdx = o.

Or, par rapport à la première, pour laquelle on a a= constante, si ^ était aussi constante, la seconde équation serait intégrable, et son intégrale serait complétée par une constante arbitraire qui serait fonction de a; mais j3 est variable. Si donc on intègre en regardant p comme constante, l'intégrale doit être complétée par une fonction de a et |3, et cette fonction doit être telle que la différentielle de l'intégrale, prise en regardant p comme seule variable, soit satisfaite; ce qui ne suffira pas encore pour la déterminer. Représentant

donc par <p cette fonction des deux quantités et, |3, l'intégrale de la seconde équation sera d'abord

Par la même raison, si l'on représente par 4 une autre fonction

et dont les intégrales sont

(p' = (rt — |3) Vct,

dans lesquelles * et 4^ sont deux nouvelles fonctions arbitraires d'une seule quantité, a pour Tune, p pour l'autre, et que nous accentuons à cause des intégi^ations subséquentes. Ces deux équations sont elles-mêmes des différentielles exactes, prises, l'une en ne disant varier que a, l'autre en ne faisant varier que j3; et leurs intégrales sont

<p = {oL — ^)^'(i +4)a-f-F|3,

4 = (a |5) W'[5 + W^ -f- Jet,

dans lesquelles /' et F sont deux nouvelles fonctions arbitraires d'une seule quantité. Des c|uatre fonctions arbitraires qui entrent dans ces équations, il n'y en a que deux qui soient nécessaires, parce que c'est volontairement que nous avons différentié les deux équations (//.),(/), et que nous nous sommes élevés aux secondes différences. Il faut donc déterminer les formes de deux de ces fonctions, de manière que les équations (A), (/) soient satisfaites. Or, de ces intégrales on tire, par la différentiation,

et, en substituant pour (p, (p", ^f,, ^f,' leurs valeurs- dans (h) et {i) on trouve que, pour que ces dernières soient satisfaites, on doit avoir

ce qui détermine les formes des deux fonctions surnuméraires

F, y. Donc, substituant potir ces fonctions leurs formes dans les valeurs de (p, 4» ?'^ 4'> ^^^ ^"^^

(p = (ût— 15) ^'a —^a-+' ^|3, 4 = (* — 13) ^'oL — $« H- ^|3,

enfin, substituant ces valeurs dans les deux équations (d), (e), ou dans {X)} {g)j et tirant les valeurs de J?, /, on aura pour les coordonnées du point d'intersection des projections des deux caractéristiques

(m) j =— $ a -h flt*'a + V|3 — p VjS.

^nsi, en remettant à la place de at et p leurs valeurs en/?, ^, les deux équations (/) et (m) donnent enp^ q^ pour a?, j, les valeurs <jue Ton tirerait de deux intégrales premières de la proposée, l'une de ces intégrales étant complétée par la fonction arbitraire $, l'autre par ^; et l'on aurait ces deux intégrales premières, si Ton pouvait tirer de (/) et (m) deux autres équations, dont chacune ne contint qu'une des fonctions et ses dérivées. I^es deux équations (/) et [m) ne sont donc pas les intégrales premières de la proposée; mais, prises ensemble, elles expriment la même chose que les deux intégrales premières, prises de même ensemble; et nous allons voir qu'elles conduisent de même directement à l'intégrale finie.

En effet, si Ton difFérentie les deux équations (/), (w), pour avoir les valeurs de dv, cfyj et si l'on substitue ces valeurs, ainsi

que celles de/?, q^ dans dz =pdx -h qdy^ on trouve

dz = <i"^.da \l[— I — (»^) + Y^.d^ V^(— I — [3'),

équation dans laquelle les variables z, et, |3 sont séparées, et qui donne

[n) z=J¥ci.dct\l{— I —a'')+f^"^.d^\J{—i—^^),

dont le second membre, lorsque les fonctions $, V seront déterminées, ne dépendra que des quadratures. Donc les coordonnées de chaque point de la surface sont données en et et |3 par les trois équations (/), (m), {n)\ donc l'équation de cette surface en a:, j-, z, ou r intégrale finie de la proposée, est le résultat de T élimination des deux indéterminées a et (3 entre ces trois équations.

Il s'agirait actuellement de construire cette intégrale, ou, ce qui revient au même, de trouver la génération de la surÊice. La seule construction à laquelle nous soyons encore parvenus , procède par courbes infiniment voisines : elle prouve, à la vérité, que l'aire de la surface n'est pas nulle, ce qui est d'ailleurs évident; mais elle ne peut être d'aucune utilité dans la pratique. Nous allons néanmoins la rapporter, parce qu'elle pourra donner lieu à des efforts plus heureux.

Soit une courbe à double courbure prise arbitrairement dans l'espace. Concevons qu'une de ses tangentes se meuve sans cesser de la toucher ; elle engendrera une surface développable dont la courbe arbitraire sera l'arête de rebroussement ; et im point quelconque de la tangente parcourra une courbe, à laquelle la tangente mobile sera constamment normale, et qui sera une développante de la courbe arbitraire : nous allons voir que cette déve.

loppante sera une des lignes de courbure de la surface demandée. Soit prolongé chacun des rayons de la développante au delà de cette courbe et d'une quantité égale à lui-même; ce qui déterminera sur cliacune des tangentes à la courbe arbitraire un point que nous nommerons second centre, parce qu'il sera le centre de la seconde courbure du point correspondant de la surface, point dont le centre de la première courbure sera le point de contact de la courbure arbitraire. Concevons qu'un cercle variable de rayon se meuve de manière, i° que son plan passe toujours par la tangente mobile, et soit toujours normal à la surface développable que parcourt cette tangente; 2° que son centre dans chaque instant soit confondu avec le second centre ; 3° que sa circonférence passe toujours par le point correspondant de la développante, et par conséquent la coupe perpendiculairement ; la circonférence de ce cercle engendrera une surface courbe qui passera par la développante, dont cette dernière ligne sera une ligne de courbure, et dont les deux rayons de courbure pour chaque point pris sur la développante seront égaux entre eux et de signes contraires. Nous n'aurons besoin de considérer dans cette surface qu'une zone infiniment étroite, celle qui est bordée par la développante.

Cela posé, supposons que chaque tangente soit mobile autour du second centre par lequel elle passe, et dans le plan du cercle correspondant, c'est-à-dire dans le plan normal à la surface développable; puis, qu'une de ses tangentes se meuve en effet et décrive autour du second centre un angle infiniment petit et arbitraire ; que la tangente suivante se meuve de même autour de son second centre jusqu'à ce qu'elle coupe la tangente précédente considérée dans sa nouvelle position ; que la troisième tangente se meuve aussi jusqu'à ce qu'elle coupe la seconde ; et ainsi de suite de proche en proche pour toutes les tangentes. Toutes ces droites considérées dans leurs nouvelles positions seront encore normales à la siu'face

courbe engendrée par I9 circonférence de cercle; et parce qu'elles se rencontrent consécutivement deux à deux , elles seront dans une seconde surfece développable, dont l'arête de rebroussement sera distincte de la première courbe arbitraire, mais en sera infiniment proche. Cette seconde surface développable sera normale à la surfeice engendrée par la circonférence du cercle ; elle la coupera en une courbe qui sera la ligne de courbure suivante, et qui sera une développante de T arête de rebroussement de la seconde surface développable. La zone comprise entre cette seconde développante et la première appartiendra à la surface demandée.

Actuellement, si l'on opère sur l'arête de rebroussement de la seconde surface développable et sur sa développante, comme nous avons opéré sur la courbe arbitraire et stir sa développante, on aura la troisième ligne de courbure de la surface demandée ; et, continuant ainsi de proche en proche, on aura tous les points de la surface.

Cette construction a toute la généralité nécessaire ; car elle suppose une première courbe entièrement arbitraire, et, par conséquent, une fonction arbitraire pour chacune des projections de cette courbe.

Nous ne donnerons pas un plus grand nombre d'exemples de surface dont la génération peut être exprimée par des équations aux différences partielles du second ordre. Quant à celles qui exigent des différences du troisième ordre , nous ne considérerons que le petit nombre de celles qui sont remarquables par la simplicité et par l'emploi qu'on en fait dans les arts.

iiière que l'on aura

dr = luLv H- wdy, ds = mdx H- <«'^(y*, dt = ivdd' H- vdj-;

équations dans lesquelles le coeffî(*ient de d^ dans V ime est le même que celui de dx dans la suivante, parce que, les deux quantités/^ et (/ étant des fonctions de x et j*, on doit avoir

(d£p\ (djp\ (ehlq\ (HHq\

yrlxd'y) ~ \dydx) ^ \dxf(y ) ~ \dydx}^

ce qui donne

Considérons la droite génératrice dans une quelconque de ses positions : elle coupe chacune des trois courbes qui dirigent son mouvement en un point, par lequel concevons la tangente à cette directrice; puis, par la droite génératrice et par chacune des trois tangentes, concevons un plan : on aura trois plans, qui seront tous trois tangents à la surface courbe , et pour chacim desquels le point de contact sera le même que celui de la directrice correspondante avec sa tangente. Cette surface est donc telle, que trois plans tangents différents peuvent se couper en une ligne droite qui passe par leurs trois points de contact, ou, ce qui revient au même, que, ])our quelque point de contact que ce soit, le plan tangent peut changer deux fois de suite de position sans cesser de passer par le premier point de contact. Or, si Ton différentie deux fois de suite l'équation du plan tangent

ligne droite, et qui sera, par conséquent, l'équation de la surface demandée. Donc, si Ton représente par et la valeur de ^ que fournit Tune de ces équations, c'est-à-dire si Ton feit, pour abréger,

— s + \Xs' — rt) -«,

réquation aux différences partielles du troisième ordre de la surface courbe généralement engendrée par le mouvement d'une ligne droite sera

(A) u -+- Siua -h 3iva' H- s^et^ = o.

On peut arriver plus rapidement au même résultat, en considérant que le point de la surface peut se mouvoir dans le premier plan tangent, puis dans le second, et encore dans le troisième, sans cesser de se mouvoir en ligne droite; c'est-à-dire que ce point peut se mouvoir trois fois de suite, sans que les quantités

Y'' d~'^ 'd ^l^^^g^^' ^^ valeur. Donc, si l'on différentie deux fois de suite l'équation

dz=pdx H- qdy^

en régardant comme constantes les trois quantités ^, -y^, -^ , on aura les deux équations

dpdx-^ dqdy =^ o^ ddp dœ + ddqdx = o,

qui, par l'élimination de -j-f donneront l'équation (A).

ljors(|ae le point de la surface courbe se meut sans sortir de la droite génératrice considérée dans la même position, les trois quan-

tités j-, v, i-;, dont deux quelconques déterminent la troisième,

sont constantes ; et ces quantités varient lorsque le point passe sur la génératrice considérée dans la position suivante: ainsi, de ces trois quantités, deux quelconques sont fonctions de la troisième. Donc, si Ton divise par dx l'équation

dz = pdx -f- ryr/y»

ce qui donne

dz fly

puis SI 1 on met pour -•- sa valeur - - - ? que nous continuerons de représenter par a; et, enfin, si Ton fait -r- éjçale à une fonction arbitraire de -;-, l'équation

(B) /? -h a^ = (pût,

que Ton obtiendra, sera aux différences j)artielles du second ordre celle de la surface demandée.

Les quantités ^, V- ne sont pas les seules qui soient constantes en même temps que ^ = a. Si l'on représente par

Y z= CLV -h 7,

les équations de la génératrice considérée dans une position quelconque, dans lesquelles on aura

les deux autres quantités y, S sont aussi constantes en même temps que a, et par conséquent fonctions de a. Donc, en représentant ces

nouvelles fonctions par les caractères 4? tï", les deux équations

(D) z — (/?-+- (tq) X = 9ra,

seront encore aux différences partielles secondes celles de la surface demandée. Les trois équations (B) , (G) , (D) , dont chacune exprime complètement la génération de la surface , sont les trois intégrales premières de l'équation du troisième ordre (A), et chacune d'elles est complétée par une fonction arbitraire particulière.

Les trois équations (B), (G), (D) ne contiennent les coefficients différentiels du second ordre r^ s^t^ que parce que ces coefficients entrent dans la quantité et. Donc, si, combinant ces équations deux à deux, on en élimine la quantité et, regardée comme une indéterminée, ce qui peut se faire de trois manières différentes, on aura trois résultats qui ne contiendront que des différences partielles du premier ordre, et dont chacun exprimera la surface d'une manière complète. Ges trois résultats seront les intégrales secondes de l'équation (A), et chacune de ces intégrales sera complétée par deux des trois fonctions arbitraires ç, 4? tï*-

Enfin, des quatre coefficients «t, ^3, 7, ^, qui entrent dans les équations de la droite génératrice , trois quelconques étant fonctions du quatrième, il s'ensuit que le résultat de l'élimination de l'indéterminée a entre les deux équations

y — tféX = 4«t>

z X^ÛL == TTOLy

sous cette forme, ne différeront entre elles que par la quantité i/, qui, dans chacune d'elles, sera différemment composée des quantités a:, j, 3. Ainsi, en considérant une des surfaces soumises à la génération exprimée par (G), et son équation étant mise sous la forme (H), si l'on suppose qu'une quelconque des trois courbes arbitraires qui dirigent le mouvement de la génératrice vienne à éprouver une variation infiniment petite, Téquation (H) n'éprouvera d'autre changement, sinon que la quantité u changera de valeur et deviendra id ; et les deux surfaces qui correspondent à ces deux valeurs successives de u se couperont en une courbe, pour les points de laquelle les quantités d', j% 2;,/>?, ry, r, ^, f, et leurs différences ordinaires dx^ cly^ dz^ dp^ dq^ dr^ ds\ dt auront les mêmes valeurs, soit que Ton considère cette courbe sur la première surface, soit qu'on la considère sur la seconde. Cette courbe, qui est constante, et pour les points de laquelle les différences partielles des ordres inférieurs, ainsi que leurs difïérences ordinaires, ne changent pas lorsqu'une des directrices éprouve une variation, est donc indépendante de ce qu'il y a de particulier dans cette directrice ; elle est donc la courbe à laquelle nous avons donné le nom de carcwtéristique^ et il est évident qu'en général il peut y en avoir [)our le même point autant qu'il y a de directrices arbitraires dans la génération, et par conséquent autant qu'il y a d'unités dans Tordre de l'équation (G). Donc, si l'on différentie l'équation (H) en regardant u comme seule variable, l'équation

(|ue l'on obtiendra, appartiendra à la caractéristique. Or il est évident que, sans effectuer l'équation (H), on arrivera à im résultat équivalent, si, après avoir différentie l'équation (G), en regardant comme seules variables les différences partielles m,?^/, cv, i», de

courbes arbitraires qui la produit par sa variation. Si quelques-uns de ces facteurs sont égaux entre eux, les caractéristiques correspondantes coïncident en une seule ; mais, en général, les facteurs de l'équation (K) sont irrationnels : alors les caractéristiques, dont le nombre est toujours égal au degré algébrique de T équation (K), n'ont plus d'équations distinctes; elles ont une équation intégrale commune du même degré algébrique, par rapport à la constante arbitraire, que l'équation (K); et si l'on déterminait cette constante de manière que la courbe passât par un point donné de la surface, il viendrait pour cette constante des valeurs différentes, dont chacune conviendrait à une caractéristique particulière.

Si l'équation aux différences partielles (G) est linéaire par rapport aux différences partielles de l'ordre supérieur, l'équation (H) sera aussi linéaire par rapport à la différentielle partielle restante; et, en supposant que cette différentielle partielle soit w, l'équation (H) sera de la forme

M-i-Nw = o,

dans laquelle M et N, qui peuvent être fonctions dex,j\,z,p, y, r, s, tj dx^ dif^ dr^ ds^ dt^ ne contiennent point u. Lors donc que l'on différentiera cette dernière équation en regardant u comme seule variable pour avoir l'équation (J), on aura pour équation de la caractéristique N = o ; et parce que cette courbe est elle-même sur la surface courbe, et que l'équation

M 4- Nw = o

a aussi lieu pour elle, il s'ensuit que Ton aura encore M = o. Donc

on aura pour la caractéristique les deux équations aux différences

ordinaires

vm.

On trouvera pour la caractéristique deux équations aux différences ordinaires, telles que

non-seulement lorsque la proposée (G) sera linéaire par rapport aux différences partielles de Tordre le plus élevé w, lu^ ^^ ^j niais encore lorsque les trois quantités uw — lu^ ^uv — mw^wv — w^ y entreront elles-mêmes linéaires; car il est facile de vérifier que si Ton chasse de chacune de ces quantités trois des différentielles partielles w, ^^/, (v, i', la quatrième se trouve linéaire. L'équation (H) se trouvera donc encore linéaire par rapport à w, et lorsqu'on la différentiera en regardant u comme seule variable, on aura deux

équations

Pour les ordres supérieurs , la caractéristique aura de même deux équations aux différences ordinaires, non-seulement lorsque l'équation aux différences partielles sera linéaire par rapport aux différences de l'ordre le plus élevé, mais encore lorsqu'elle le sera par rapport à toutes les quantités de la forme suivante :

dx^dy"-^^) \dx^dj'"^) \dx''dj''-'') \dxrdjr'"^)^

pourvu que dans chacune des quantités de cette forme on ait

car, en chassant de ces quantités toutes les différences partielles, excepté une, cette dernière se trouve linéaire.

Dans tous les autres cas, l'équation (H) ne sera pas linéaire par rapport à u\ par conséquent l'équation (J), qui est sa différentielle

seule courbe, qui a pour une de ses équations,

dy — cù(Lv = o,

ou, substituant pour cù la quantité qu'elle représente,

( E) rdx' -h o.s(L)cdy -+- tdy'^ = o.

Au moyen de cette équation, et chassant de (A) les quantités u, la, (v, i', on trouve, pour la seconde équation de la caractéristique,

(F) drdx'^ + ndsdjcdy -h dtdy^ = o.

Des deux équations (E), (F) de la caractéristique, la seconde est la différentielle de la première prise en regardant-^ conmie

constante; la quantité -j-, ou sa valeur

— s + \s * — rt i '

que, pour abréger, nous continuerons de représenter par a, est donc constante dans toute l'étendue de la même caractéristique. Ainsi, pour cette courbe, à la place des deux équations (E), (F), on peut employer l'équation (E) et la suivante

dy = eld^v ,

qui remplacera l'intégrale de (F), et dans laquelle et tiendra lieu d'une constante introduite par intégration. Mais l'équation (E) peut être mise sous la forme

dpdx -t- drjdy = o, ou

dp -+- adcj = o ;

de plus, chassant dy de dz =/xLv -+- qdy\, on a

dz — {p 4- (KJ) dx = o.

devant avoir lieu en même temps que celle de chacune des trois (*ourbes données, il s'ensuit que si entre ces deux équations et celles de la première courbe on élimine x^ j, s, on aura en a, ^, 4», 'TTûi, une première équation ; opérant de même sur les deux autres courbes, on aura deux autres équations en a, ^«,4*? "^^î tirant de ces trois équations les valeurs de ç, '^^ Traies fonnes de chacune de ces fonctions seront déterminées. Mais, sans effectuer <*ette dernière opération f|ui suppose la résolution des équations, si enti'e ces trois équations et les deux équations intégrales on élimine les quatre quantités ot, (pa, 4^^ ^^ "^^^ ^^ ^^""^ ^^ ^t Xy ^5 ''*^' quation de la surface demandée.