XXII

DE LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE UNE SUITE DE SPHÈRES VARIABLES DE RAYON, ET DONT LES CENTRES SONT DISTRIBUÉS SUR UNE COURBE QUELCONQUE.

En considérant une quelconque des sphères enveloppées, il est facile de reconnaître que, pour cette sphère, le rayon et les trois (coordonnées du centre seront constants; mais si Ton passe de cette première sphère à une autre, c'est-à-dire si Ton suppose que le rayon varie, la position du centre, et par conséquent les trois coordonnées qui déterminent sa position, varient aussi. Il suit de là que de ces quatre quantités, si une seule est constante ou variable, les trois autres sont de même constantes ou variables : ainsi trois d'entre elles sont des fonctions différentes de la quatrième. La forme de ces fonctions dépend de la nature de la courbe sur la-

les cosinus des angles que la normale fait avec les trois coordonnées .r, )', ::; sont respectivement

Donc il sera facile d'avoir les rapports du rayon de la -sphère avec les parties qui lui correspondent sur chacune de ces coordonnées, rapports qui sont exprimés par les trois équations suivantes :

(C) (.r — (p ) /• 4- ûty; = o,

(D) ( r — -^l) k-i-cuj = o, (R) (z — 7r)k — A =o.

Ces trois équations, combinées deux à deux (ce qui peut se faire de trois manières différentes), donneront, par l'élimination de l'indéterminée ût, les trois équations aux différences premières de l'enveloppe demandée, et dont chacune ne renfermera plus que deux tbn(*tions arbitraires ; mais l'élimination ne pouvant s'exécuter tant (jue les formes des fonctions ne sont pas détenninées, il s'ensuit (jue ces trois différentielles premières sont représentées chacune par le système de deux équations entre lesquelles il faut éliminer r indéterminée a.

On aiTiverait facilement à ce résultat par les différentiations de l'équation (A), prises en regardant d'abord x*, puis/, comme seules variables, et en traitant a comme constante dans les deux opérations; ce qui est permis dans l'équation (B), et éliminant ensuite entre (A.) et les deux différentielles une des trois fonctions arbitraires CP, -4, TT.

Les iionnales à la surface, menées p.ir deux points consécutifede la ligne de contact avec la même sphère, passent par le centre :

il faut qu'on ait en même temps

quelle que soit la valeur de -r- : donc, éliminant ce rapport, l'équation aux différences partielles du troisième ordre de la surfece demandée pourra être mise sous la forme abrégée

f|u'on obtiendrait également en différentiant chacune des équations (F), (G), (H), de manière à faire disparaître la fonction arbitraire <|u'elle renferme. Enfin, développant cette équation, et faisant, pour abréger,

(i -h/;^) k + Rr = A (i + (f') r — ipqs -f- (i +p') t = M pqk -+- R^ = B ,t — 5^ = N

ce qui donne, en vertu de (rf),

AC — B^ = o,

on aura, pour la surface demandée, l'équation linéaire aux différences troisièmes

Cu -+- (Gû) — aB) ru -\- (A — aBo)) wXeov 4- 2XN {p h- eoq)

Mhmt donnée l'équation linéaire aux troisièmes différences que rr)ii vient de trouver, si l'on se propose de déterminer la caractél'istique de la surface à laquelle elle appartient, en opérant comme

Hii:

courbure, et dont T équation peut indifféremment être mise sous Tune des trois formes (L), (N), (O). Il suit aussi de là que les trois fonctions arbitraires qui compléteront l'intégrale complète de la proposée seront composées d'une même quantité.

Ija caractéristique devant se trouver sur la surface, elle sera exprimée par l'équation de la surface et par une quelconque des trois équations (L), (N), (O). Posons d'abord que ce soit par l'équation (L), et prenons la proposée sous la fonne (I), les deux équations de la caractéristique seront donc

\dx ) \ dy )

dy — tadx = o,

qui, par l'élimination de co, donnent

(S) '^' + {ij) '^■>' = o ou rfR = o;

d'où il faut conclure que, dans la surface que nous considérons, pour une des lignes de courbure, le rayon de cette courbure est constant. Actuellement, si des deux équations (N), (O), et de dz =zpdx -h qdfj qui appartiennent toutes trois à la caractéristique, on tire les valeurs de dx^ dy^ dz^ ce qui donne

dx -h R^ T ^^ ^' ^(r + R^^ 1^ "^ ^' ^^ — ^^ ï ^^ ^'

les équations de la caractéristique seront indifféremment l'un des trois systèmes suivants de deux équations

dR = o, dR = o, rfR = o,

dx -\-Rd^=^ o^ rf^ H- Rrf 1^ ^ o, dz — Rrf j = o.

Knfîn, éliminant/; et q entre les trois équations précédentes et (Iz = pdx -h qdy^ on aura deux équations délivrées de toutes différencies partielles, et qu'on peut obtenir facilement de la manière suivante. Carrant les trois équations et ajoutant, on a d'abord

(,r — (pdf 4- ( J — 4*)^ "+■ (^ — '^^^ "= *^î

puis nmltipliant la première par dx^ la seconde par dy^ ajoutant et (chassant A- au moyen de la troisième, on trouve

{x — (p«fc) doc -+- (j — 4^) ^ + (^ — '^*) ^^^ = o-

Or cette dernière équation étant la différentielle de la précédente, prise en regardant et comme constante, ne peut avoir lieu conjointement avec la précédente, à moins que la différentielle de celle-ci, prise en regardant a. comme seule variable, n'ait lieu. Donc, à la place de ces deux équations, on aura les deux suivantes :

(x — (Pût)' 4- (j — 4^)' + (^ — ^^^ = ût% [x — (p)(p' -^ (.r — 4)4'+ (^ — 9r)7r' =— a,

(|ui, étant délivrées de toutes différentielles, et comprenant trois fonctions arbitraires, seront l'intégrale complète de la proposée.