A LA SURFACE D'UNE MÊME SPHÈRE

Génération de la surface.

Si, considérant les normales d'une surface courbe en général, on se propose de passer d'une quelconque de ces normales à une autre

surtace proposée et celle des centres sera égale à l'arc rectifié de ivtte courbe.

Pïissant au cas particulier, qui est l'objet que nous traitons, et pour lequel la surface touchée par toutes les normales est celle d'une sphère, on voit que la surface de la sphère est le lieu des rentres d'une des courbures de la surface proposée ; que la courbe touchée par la suite des normales qui se coupent successivement sur la sphère, étant la ligne la plus courte sur cette surface, est la circonférence d'un grand cercle; que, sur la proposée, la ligne de courbure, dont la circonférence de ce cercle contient les centres, est luie courbe plane, et que cette courbe est la spirale développante de ce grand cercle.

Actuellement, soient sur la surface proposée deux de ces lignes dv cM)uibin'e consécutives : comme leurs plans passent tous deux par le centre de la sphère, ils se couperont en une droite qui passvnx aussi par le centre. De plus, si, sur la zone comprise entre ces <hMix ))lans, on conçoit les éléments de toutes les lignes de l'autre t*<)urbure, ces éléments, qui doivent être perpendiculaires aux lignes de la première courbure, seront perpendiculaires à leurs plans. Donc la zone pourra être regardée comme un fuseau infininuMil t'troit de la surface de révolution engendrée par le mouvelutMit (\c la première des lignes de courbure autour de la droite trinlerse(*tion des deux plans, et cet axe momentané de révolution H<M*a \v lieu des centres de l'autre courbure pour tous les points de la /oiu* à hujuclle il correspond.

Si <lonc on conçoit la suite de toutes les courbes planes de la prtMiiicn» t*ourl)ure, leurs plans se couperont consécutivement dans d<*H tIroittvH (|ui passeront toutes par le centre de la sphère; ces droih*H Hcront, par conséquent, sur une surface conique dont le Honuiu*! Hvm nu centre de la sphère, et à laquelle tous les plans des liuiu*» d<» première courbure seront tangents. Donc, si l'un de ces

plans roule autour de la surface conique, à chaque instant du mouvement il tournera autour de la droite de son intersection avec le plan suivant, et la ligne de courbure qu'il contient coïncidera successivement avec toutes les autres. De là se déduit la génération suivante.

Après avoir tracé sur un plan , i ** un cercle d' un rayon égal à celui de la sphère ; 2® une spirale développante de ce cercle, et après avoir mis ce plan en contact avec une surface conique à base quelconque, de manière que le centre du cercle soit au sommet du cône, si Ton conçoit que le plan roule autour de la surface conique, le centre du cercle ne quittera pas le sommet du cône ; la circonférence engendrera la surface de la sphère dont le centre sera au sommet du cône, et la spirale engendrera la sur&ce proposée. En effet, cette surface n'aura aucune normale qui ne soit aussi normale à la spirale génératrice dans le plan de laquelle elle se trouve, qui ne soit, par conséquent, tangente au cercle dont cette spirale est la développante, et qui ne soit enfin tangente à la surface de la sphère dont ce cercle est générateur.

La proposée n'a aucune normale par laquelle ne passe le plan générateur dans un instant de son mouvement; or, pendant tout le mouvement, ce plan ne cesse d'être tangent à la surface conique : donc il n'y a aucune normale qui ne touche la surface conique, sur&ce qui est le lieu des centres de la seconde courbure, comme celle de la sphère est celui des centres de la première.

La courbe que parcourt chaque point de la spirale génératrice est constamment perpendiculaire à cette spirale, elle est donc une ligne de l'autre courbure ; mais le point décrivant ne change pas de distance au sommet du cône : donc chaque ligne de la seconde courbure est sur la surface d'une sphère dont le centre est au sommet du cône, et dont le rayon, constant pour chacune d'elles en particulier, est variable de l'une à l'autre.

Des arêtes de rehroiissement de la surface.

Tja spirale développante du cercle a, comme on sait, un point de rebroussement placé sur la circonférence du cercle développé ; ce point peut être considéré comme l'origine du développement, et la courbe, par rapport à lui, s'étend de part et d'autre d'une manière symétrique. Lors donc que le plan de la spirale roule autour de la surface conique, il est évident que ce point doit engendrer une arête de rebroussement, et que cette arête est tout entière sur la surface de la sphère touchée par toutes les normales. Ainsi, toutes les nappes de la surface ne peuvent se prolonger vers le centre que jusqu'à ce qu'elles rencontrent la surface de la sphère dans l'arête de rebroussement; là elles se réfléchissent^ en sorte qu'au* cune d'elles ne pénètre dans l'intérieur de la sphère. La sur&ce de la sphère étant le lieu des centres d'une des courbures de la surface engendrée, il s'ensuit que, pour tous les points de cette première arête de rebroussement, un des rayons de courbure de la surface est nul.

Indépendamment de cette première arête de rebroussement, la surface en a encore une autre .

En effet, si l'on considère la génératrice dans deux: positions consécutives, les deux, plans qui conviennent à ces deux positions se coupent dans une droite qui se trouve sur la surface conique, à laquelle ils sont tous deux tangents, et les deux courbes se coupent en un point de cette droite, point qui est, par conséquent, sur la surface conique. Le lieu de tous les points déterminés de cette manière sur la surface conique est une courbe perpétuellement touchée par la génératrice dans tous les instants de son mouvement ; et il est évident qu'elle est une arête de rebroussement, car chaque partie de la génératrice s'approche d'abord de la surface conique jusqu'à ce qu'elle l'ait touchée dans cette courbe à laquelle elle est

elle-même tangente; puis, par le progrès de la rotation du plan, elle s'en écarte de nouveau sans pénétrer dans l'espace vers lequel la surface conique tourne sa conca^dté, espace qui, comme celui de la sphère, est interdit à la surface engendrée. La surface conique étant le lieu des centres de la seconde courbure de la surface engendrée, il s'ensuit que, pour tous les points de cette seconde arête de rebroussement, le rayon de la seconde courbure est nul.

Des deux arêtes de rebroussement que nous venons de considérer, la première, c'est-à-dire celle qui se trouve sur la surface de la sphère, est indépendante de la génération; elle n'existe que parce que la génératrice elle-même a un point de rebroussement. Pour toute autre génératrice qui n'aurait pas de point de rebroussement, lafiur&ce engendrée n'aurait pas cette arête. Mais la seconde arête de rebroussement, celle qui se trouve sur la surface conique, est inhérente à la génération ; car il est évident que , la génération restant la même, si la génératrice changeait de nature, l'arête changerait de position sur la surface conique, sans cesser d'être arête de rebroussement.

Cependant, lorsque la génératrice ne s'étend pas à l'infini dans son plan, cette seconde arête peut devenir imaginaire pour une certaine partie de l'étendue de la surface, et même, dans un cas particulier, elle peut devenir entièrement imaginaire, ou bien elle peut se réduire à un point unique, qui est alors un point de strie-tion de la surface (c'est ainsi qu'on peut appeler le point par lequel une nappe de surface passe tout entière pour se convertir en une autre). Ce cas particulier a lieu lorsque la surface conique auttmr de laquelle roule le plan générateur se réduit à une ligne droite ; alors la surface engendrée est de révolution autour de cette droite, comme axe. Dans ce cas, si la génératrice est tout entière d'un coté de Taxe, l'arête de rebroussement est entièrement imaginaire, et si la génératrice coupe l'axe sous un angle oblique, le

Sa.

point de cette intersection est un point de striction. Tel est le sommet d'une surface conique.

De la ligne des courbures égales et de même signe de la surface.

Nous avons vu que la surface n'a aucune normale qui ne touche en même temps, et la surface sphérique, et la surface conique; que ces deux points de contact sont les centres des deux courbures du point de la surface auquel appartient la normale, et que la distance entre ces deux points est la différence des deux rayons de courbure.

Actuellement, considérons une normale quelconque, et concevons que le plan générateur qui passe par cette normale étant fixe, elle se meuve dans ce plan, sans cesser d'être normale, jusqu'à ce que le point de son contact avec le cercle qu'elle touche sans cesse soit le même que celui du contact de ce même cercle avec la surface conique. Dans cette position, la normale touchera la sphère et la surface conique dans le même point : les centres des deux courbures du point de la surface auquel elle appartient alors, seront donc confondus, et les deux courbures de la sur&ce en ce point seront égales entre elles et dans le même sens. Or cette normale, qui touche dans le même point les deux surfaces des centres de courbure, touche aussi dans ce point la courbe qui est l'hitersection de ces deux surfaces : de plus, ce que nous venons de dire pour cette normale aurait également lieu pour toute autre qui serait tangente à l'intersection de ces deux surfaces des centres; donc, si l'on conçoit qu'une droite se meuve sans cesser d'être tangente à r intersection de la surface conique et de la sphère, cette droite tracera sur la surface engendrée une courbe pour chacun des points de laquelle les deux rayons de courbure de la sur&ce seront égaux entre eux. C'est cette courbe qu'on peut appeler la ligne des courbures égales et de même signe. Mais la tangente, dans son

mouvement, est partout normale à la surface engendrée, et, par conséquent, normale à la courbe qu'elle trace sur cette surface; donc la ligne des courbures égales et de même signe est la développante de l'intersection des deux surfaces des centres.

Du sommet de la surface.

Il est facile d'apercevoir que la ligne des courbures égales, après avoir coupé obliquement toutes les lignes de Tune et de l'autre courbure, vient enfin rencontrer sa développée en un point qui est pour elle un point de rebroussement. Ce point, qui est sur la sur&ce engendrée, puisqu'il est sur la ligne des courbures égales, est aussi sur les deux surfaces des centres, puisqu'il est sur leur intersection : donc, pour ce pomt, les rayons de com'bure de la sur- Ëice sont non-seulement égaux entre eux, mais ils sont encore tous deux nuls. Ce même point de la surface engendrée, en tant qu'il est sur la sur&ce de la sphère, doit être sur la première arête de rebroussement ; en tant qu'il est sur la surface conique, il doit être sur la seconde arête de rebroussement ; il est aussi sur la ligne des courbures égales : donc, c'est par ce point que passent les trois lignes les plus remarquables de la surface ; savoir : ses deux arêtes <dle rebroussement, et sa ligne des courbures égales.

De plus, ce point est un point de rebroussement de la première

^rête de rebroussement ; car, dans le mouvement du plan généra-

't:cur, le point de rebroussement de la spirale qui engendre cette

a.rête s'approche d'abord de la surface conique, la rencontre per-

p^endiculairement, et se réfléchit ensuite suivant la direction con-

trrairé. H est aussi le point de rebroussement de la seconde arête

cle rebroussement; car cette seconde arête n'est autre chose que

la spirale génératrice pliée sur la surface conique ; et le point que

nous considérons est le point de rebroussement de cette spirale.

^ous avons vu que ce point est aussi le point de rebroussement de

la ligne des courbures égales : donc il est le point de rebroussament commun aux trois lignes principales de la surface.

U suit de là que ce point est un véritable sommet de la sur&ce ; non pas dans le sens qu^on a coutume de donner à ce mot pour une surface conique qui n'a qu'un point de striction au delà duquel se reproduit une autre nappe de la surface égale et sen^lable à la première, mais dans le sens que ce sommet est une pointe au delà de laquelle la surface devient imaginaire.

Jusqu'ici nous avons parlé de ce sommet comme s'il existait seul de son espèce sur la surface ; cela n'est ainsi que dans le cas particulier où la circonférence du grand cercle de la sphère est multiple de celle de l'intersection des deux surfaces des centres : dans tout autre cas, il peut se trouver plusieurs sommets semblables; et même le nombre de ces sommets devient infini, lorsque les deux circonférences sont incommensurables.

Gomme ce sommet est le point le plus remarquable de la sur&ce, nous le prendrons pour origine dans les développements que nous allons exécuter.

De la génération de la surface par un point susceptible de deux

mouvements différents.

Concevons une droite tangente à l'intersection des deux surÊices des centres, et dont le point de contact avec cette courbe soit le sommet même de la surface engendrée; puis supposcms que la droite roule sur cette courbe sans cesser de lui être tangente. Cela posé, si l'on considère sur cette droite, comme point décrivant, celui qui d'abord était confondu avec le sommet de la surface, nous avons vu que ce point parcourra la ligne des courbures égales; et parce que cette ligne traverse obliquement toutes les lignes de Tune et de l'autre courbure, il s'ensuit qu'il n'y a aucune spirale génératrice sur laquelle le point décrivant ne puisse

Pour trouver la quantité L, soit

r équation du plan de la spirale, dans laquelle a est la quantité qui détermine la position du plan, et où la fonction ^, qui <iepend de la nature de la surface conique, est, par conséquent, arbitraire ; si on la différentie en regardant d comme seule variable^ l'équation

que Ton obtiendra, appartiendra à la droite de contact du plan *de la spirale avec la surface conique ; et F équation de cette surfece sera le résultat de l'élimination de a entre les deux équations précédentes. L'équation de la sphère étant

il s'ensuit que ces trois équations, après l'élimination de a, exprimeront l'intersection des deux surfaces des centres de couAure.

C'est donc dans ces équations qu'il faut prendre les valeurs de dx^dy^dz^ pour les substituer dans la quantité

Or, si de ces trois équations on tire les valeurs de .r, r, r-, en faisant, pour abréger,

on trouve

1 + f'^ 4- ((P - *(PT = G% Gr = — a,

Ç%z =: a (^ — dtp ).

dont les deux premières expriment que le point est sur la droite de contact du plan de la spirale avec la surface conique, et dont la troisième énonce qu'il est sur le plan tangent à la sphère dans le point dont les coordonnées sont x\ y\z' .

Donc, tirant de ces équations les valeuré dea;'^ y\ z" ^ ce qui, en faisant, pour abréger.

donne

(ùy =— a , on aura

et il ne restera plus qu'à trouver les valeurs de x\ y\z\ pour les substituer dans co' .

Mais pour le point de contact de la normale avec la surface de la sphère , on a les trois équations suivantes :

ÙLX' -\- (pj'~h 2' = O,

xx' -^-yy' -i-zz' = a^,

qui expriment, la première, que ce point est sur la surface de la sphère; la seconde, qu'il est dans le plan de la spirale; et la troisième, qu'il est dans le plan tangent à la sphère mené par le point de la surface engendrée. Tirant les valeurs de j:', j', z', faisant,

pour abréger,

X* -f-j" -h Z == tt ,