ha'-h (p* =h

et observant que le point de la surface étant sur le plan de la spirale, on doit avoir

AX -h (pj -h S -1= O,

on trouve

hu^x' = fui'x -\- a[r — (pz)sju' — a% hu^y = ha^y — a{x — az) \u^ — a ^ , hu^z =:ha^z -+- a {(px — (ty)\Ja' — a* ;

mettant ces valeurs de x\y\ z' dans co\ et faisant encore, pour abréger,

X(p' — y ■+- z[(p — a(p') = û), on a

u^cà' = a^a> H- ah{x-\-y(p') \u' — a'. Donc, en substituant cette valeur de a>\ on aura

yJx''^ I /'^ I z''^= ^^^'v'i^y''^(?-^«yT.

a(ù-\-fi(x-hy(f') yu' — a*

et, par conséquent, la valeur de M sera

M = « . arc cos

[a(ù-hh[X'hy<f^)\u^ — a* j

Donc enfin, mettant pour L, M et N leurs valeurs dans Téquatioii I-i = M -h N, on aura

et parce que le point de la surface engendrée se trouve dans le plan de la spirale, on a d'ailleurs pour lui,

etx -+-y^-h z = o;

il s'ensuit que l'équation de la surface engendrée est le résultat de l'élimination de a, entre les deux équations précédentes.

liOrsque l'équation d'une surface est représentée par le système de deux autres équations, entre lesquelles il faut éliminer une indéterminée fit, aucune de ces deux équations n'est nécessaire individuellement ; et il existe ime infinité d'autres systèmes d'équations, qui, par l'élimination d'autres indéterminées, produisent la même équation de la surface. Les deux équations que nous venons de trouver, et auxquelles nous avons été conduits directement par la propriété énoncée dans la définition de la surface, ne sont ni aussi simples ni aussi fécondes que celles que nous allons obtenir par une autre considération.

D'une autre manière de trouver l'équation en quantités finies .

Nous avons vu que la surface est engendrée par le mouvement de la spirale dont le centre est au sommet d'un cône, et dont le plan roule sur la surface de ce cône. Cherchons d'abord l'équation de la spirale considérée dans son plan et rapportée, par des coordonnées .r et j, à deux axes rectangulaires menés par le centre du cercle.

Si, par im point quelconque de la courbe, on conçoit une normale , elle touchera la circonférence du cercle dont la spirale est la développante en un point; et si l'on représente par a?', j' les coordonnées de ce point de contact, l'équation de la normale, en tant qu'elle est tangente au cercle en ce point, sera

ocx^ -^ yj' = a^ \

et parce que le point de la courbe est un de ceux de la normale , cette équation aura aussi lieu pour lui.

Mais les quantités a?' et y' sont les sinus et cosinus de l'arc de

cercle dont le développement est égal au rayon de courbure de la spirale ; et ce rayon de courbure étant le côté d'un triangle rectangle dont le rayon vecteur est l'hypoténuse, et dont le rayon du

cercle est l'autre côté, son expression sera y .r^ -+■ J^ — «^ . On aura donc

a''=sin[ — A -h \Jx^ -^y^ — a^\ j'= cos[ — A -h va?^ + j^ — a^y

équations dans lesquelles A est une constante arbitraire, au moyen de laquelle l'origine du développement du cercle, ou le sonmiet de la spirale, peut être porté partout où l'on veut.

Si l'on fait, pour abréger, y/j;^ + J^ — a^ = w, l'équation de la spirale, considérée dans son plan, sera

X sin [u — A) + j cos {11 — A) = a^

Gela posé, concevons que la spirale, dans son mouvement, entraîne avec elle la droite sur laquelle nous venons de compter les v ; cette droite engendrera une autre surface conique dont le sommet sera au centre de la sphère, et dont la nature dépendra de la première surface conique que nous avons considérée jusqu'ici, puisqu'elle en sera une développante : en sorte que si l'équation de la première surface conique était donnée, celle de la seconde ne pourrait s'obtenir que par intégration. Mais dans le cas général que nous traitons, la première surface conique était arbitraire; donc, si la seconde est désormais la seule que nous considérions, nous pouvons aussi la regarder comme arbitraire et primitive.

Soit donc '?^= $ f - j l'équation de la nouvelle surface conique,

dans laquelle la fonction arbitraire 0 n'est pas la même que celle que nous avons précédemment exprimée par ^, et qui en est une

dérivée; si Ton fait x = az, cette équation sera le résultat de l'élimination de a entre les deux suivantes :

Actuellement, si, d'un point quelconque de la surface engendrée, on abaisse une perpendiculaire sur la surface conique, cette perpendiculaire sera la quantité que, dans T équation de la spirale, nous avons appelée j, et nous l'exprimerons désormais par Y; la droite menée du sommet du cône au pied de cette perpendiculaire sera ce que nous avons appelé x, et nous la représenterons désormais par X. De plus, le rayon de courbure qui, dans

l'équation de la spirale, était \x^ 4- J^ — ^^j ^t évidemment ici

\x^ -h j* 4- z^ — a'; donc, si l'on fait, pour abréger,

x'^jr^-^z^ — a'' = U\

l'équation de là surface engendrée sera

X sin (U — A) 4- Y cos(U - A) = a%

dans laquelle il ne s'agit plus que de trouver les valeurs de X et Y. Pour cela, soient x^y^ z' les coordonnées du pied de la perpendiculaire ; comme ce point est sur la surface du cône, on aura

et l'on aura évidemment

Mais la perpendiculaire Y étant un minimum ^ sa grandeur ne doit pas varier lorsque son pied varie, soit en vertu de la variation

des carrés doit être égale à Y ^ , on trouvera

Ainsi, substituant pour X et Y leurs valeurs dans l'équation de la surface, on aura

Msin (U — A) -h s/h" (U^ + a^) — W cos (U — A) = a'h,

dans laquelle, indépendamment des coordonnées a?, j, z de la surface, entre encore l'indéterminée a : mais nous avons vu que nous avions d'ailleurs l'équation

donc l'équation de la surface sera le résultat de l'élimination de a entre les deux dernières équations.

Les deux équations que nous venons de trouver, pourraient rester dans l'état oii elles sont; mais si l'on carre la première d'entre elles pour faire disparaître le radical, il est facile de la ramener à la forme suivante :

a sin (U — A) + U cos (U — A) = ^ ?

dont la différentielle, prise en regardant comme seule variable la quantité a qui n'entre que dans le second membre, n'est autre chose que l'équation (A) : donc, si, pour abréger, on fait

a sin (U — A) -+- U cos (U — A) — ^ = N,

l'équation de la surface sera le résultat de l'élimination de l'indéterminée a entre les deux équations

lorsque Taxe se meut de manière à parcourir la surface conique. De là suit ime nouvelle génération de la surface.

Si, après avoir mené dans le plan d'une spirale développante d'un cercle, et par le centre du cercle, une droite quelconque, on fait tourner la spirale autour de cette droite pour engendrer une surface de révolution, et si ensuite on fait mouvoir cette surface de manière que son axe, sans cesser de passer par le même centre, parcoure une surface conique quelconque, dont le sommet sera, par conséquent, au centre du cercle, l'enveloppe de l'espace que parcourra la surface mobile sera la surface générale, dont toutes les normales seront tangentes à la sphère engendrée par la rotation du cercle dont la spirale est la développante.

Des équations en quantités finies des deux arêtes de rebroussement .

Nous avons vu que la surface engendrée a deux arêtes de rebroussement, dont l'une est sur la surface de la sphère, et dont l'autre est sur la surface conique perpétuellement touchée par le plan de la spirale.

Pour la première de ces courbes, l'équation de la sphère doit avoir lieu, c'est-à-dire que l'on doit avoir U = o. Or, si l'on introduit cette équation dans N = o, c'est-à-dire dans

a sin (U — A) -h U cos (U — A) = ^?

tout le premier membre se réduit à une constante arbitraire, que nous représenterons par B, et l'équation devient

Bh = aM,

Donc, des deux équations de cette arête de rebroussement, l'une est

il s'ensuit que la perpendiculaire, abaissée de l'origine sur une

normale quelconque, est constante et égale a.

Si, les coordonnées du point de la siu^face étant x^ j, z, celles

de la normale sont x\ y\ z\ les deux équations de cette droite

sont

.r' = — pz' -\- X -\-pz^

y' = —qz'-^X-^qz,

()r, si les équations d'une droite sont

y = Gz' -H D,

le caiTé de la distance de l'origine à cette droite est