V/IS

(la

Actuellement, nous allons traiter cette équation comme si nous l'avions obtenue par d'autres recherches, c'est-à-dire que nous allons l'intégrer et étudier la surface à laquelle elle appartient.

De la caractéristùfue de la surface à laquelle appartient l'équation

aux différences partielles.

Lorsqu'une équation aux différences ordinaires à trois variables appartient à une surface courbe, à cause de la constante arbitraire comportée par son uitégrale, le lieu de cette équation est indifféremment l'une quelconque d'une suite infinie de surfaces courbes, qui toutes ont la même nature, et qui ne diffèrent entre elles que par un paramètre, constant pour chacime d'elles, et variable de l'une à l'autre. Par exemple, le lieu de l'équation

xdx -h ydy -\- zdz = o,

Hont l'intégrale est

ost l'une quelconque des surfaces sphériques dont le centre est à

l'origine; et toutes ces surfaces ne différent entre elles que par le

trayon a, qui est constant pour chacime d'elles.

IjCS équations aux différences partielles sont d'une plus grande

généralité : leur propriété est d'exprimer les générations des surfaces courbes , indépendanmient des courbes qui conduisent les génératrices; en sorte que le lieu géométrique d'une de ces équations est indifféremment l'une quelconque d'une suite infinie de surfaces

ii>utes enji:eiKlrées par le même procédé, mais qui diffèrent par les rom4>es qui servent à la génération. Par exemple, l'équation

py^ — qx = o

loiit rintégrale est

;ip|)<iitient non-seulement, conmie la précédente, aux surfaces de I outils les sphères dont le centre est à l'origine, quel que soit le rayon ; non-seulement à toutes celles dont le centre est dans l'axe (Ifs z, c[uel que soit encore le rayon ; mais même à toutes les surfaces i\v révolution autour de cet axe des 2, quelle que soit la courbe génératrice.

r.es surfaces auxquelles appartient une même équation aux diflfén'uces partielles diffèrent donc entre elles par quelque chose de plus considérable que ce par quoi diffèrent les lieux d'une même ;( (nation aux différences ordinaires. Néanmoins elles ont cela de *()mmun, qu'elles peuvent être toutes regardées comme le lieu de S4*ries infinies de lignes courbes, qui ont toutes la même équation aux différences ordinaires, et qui, par conséquent, ne diffèrent rntre elles que par des paramètres; et ces surfaces ont de partiruiiiîr, que pour chacune d'elles la série de ces mêmes courbes est différente. Par exemple, toutes les surfaces de révolution autour i\v Taxe des z sont les lieux de séries de circonférences de cercles dont les centres sont dans l'axe, dont les plans sont perpendiculaires à cet axe, et qui ne différent entre elles que par le rayon; et ce que chacune de ces surfaces a de particulier, c'est que, pour elle, rette série diffère de celle de toutes les autres.

(Vest à cette courbe, dont toutes les surfaces soumises à la même génération sont pour ainsi dire composées, qu'on aurait dû consacrer le nom de génératrice; mais ce mot est déjà employé dans un

sens qui n'est pas toujours le même que celui-ci : j'ai donc cru nécessaire de me servir d'im nouveau mot, et j'ai nommé cette courbe caractéristique .

Pour les équations aux différences partielles d'ordres supérieurs, il peut y avoir plusieurs caractéristiques; en général, il y en a autant qu'il y a de c[uantités différentes dont sont composées les fonctions arbitraires. Mais je me propose de revenir sur cette matière dans un Mémoire dont elle sera l'unique objet, lorsque cela sera devenu plus facile par l'exposition d'un plus grand nombre de générations de surfaces.

J'ai fait voir qu'ayant une équation quelconque aux différences partielles du premier ordre, en x^ y^ z, y;, (/, si on la différentie aux différences ordinaires, ce qui donne un résultat de cette forme

Xdx -h Ydy -h Zrfz -h ^dp 4- Qdq = o,

Icîs équations suivantes

Vdy — Qdx = o,

{X-hpZ) dq — (Y 4- qZ) dp = O,

£^ jppartenaient toutes deux à la caractéristique de la surface exprim.ée par la proposée. Or, si l'on différentie l'équation de la surface c^ue nous considérons, on trouve

X = ^(i -hp'-hq')-}-p{z—px — qx),

Y =;r (i 4-// + q') -+■ q {z—px — qy), Z = s (i -+- p^ -f- 7') — {z—px — qr), P =p(a:^'-^y'.+-z' — «') -^x{z—px — qjr), Q = q {x^-\-r H- z' — a"") -4-.r {z—px — qy).

Donc, si Ton substitue ces valeurs dans les deux équations générales

de la caractéristique, elles deviendront

— (.r + 7^) doc -h {x ■+- pz) dy -{- [qx — py) dz =o,

— (j4- qz) dp-h{œ -hpz) dq = o.

Actuellement, faisons, pour abréger,

J-hqz

ce qui donne

qx—py qx — pj »

ûta;-f-^j-hz=o, ap-j-[iq— I =o,

et introduisons ces abréviations dans les équations de la caractéristique; elles deviennent

ctdx -+- ^dy -h rfz = o, adp -h i^dq = o.

Or ces deux équations sont les différentielles des deux précédentes, prises en regardant a et |3 comme constantes; elles ne peuvent donc subsister en même temps que les précédentes, à moins que les différentielles de ces deux-ci, prises en regardant a, et /3 comme seules variables, n'aient lieu; on aura donc aussi

xda -hydli = o, pda -h qd^ = o,

équations qui ne donnent d'autre résultat différentiel que

dct= o, d^ = o.

Donc, dans la surface que nous considérons, pour la même caractéristique les deux quantités et et [i sont toutes deux constantes, et Ton aura (i = <pct.

Il suit de là que r équation de la caractéristique

est celle d'un plan dont l'intégrale, à cause des abréviations, ne peut être autre que'

donc la caractéristique est une courbe plane dont le plan passe toujours par l'origine.

Si l'on compare l'équation du plan de la caractéristique

adjo -h ^dy + r/z = o avec

pdx -tr- qdy — dz = o^

qui est celle de l'élément de la surface courbe considéré comme plan, on voit qu'en vertu de l'équation

ap-^-Ç^q — I =0,

ces deux plans sont toujours rectangulaires; donc le plan de la caractéristique est partout normal à la surface courbe. On doit conclure de là : i ® que la surface courbe est engendrée par une courbe plane constante de forme, dont le plan, passant toujours par l'origine, roule, par conséquent, sur une surface conique dont l'origine est le sommet; 2® que, le plan de la caractéristique contenant toutes les normales à la surface engendrée qui passent par les différents points de cette courbe, elle est une des lignes de courbure de la surface.

Cette dernière conclusion peut être fournie immédiatement par l'analyse : car, pour une même caractéristique, on a

ddp -h ^dq = o;

mais, puisqu'on a en même temps f/* = o et rf|3 = o, on aura aussi

ad^ — ^da = o;

éliminant a et ^^ entre ces deux équations, on aura

dddp -+- d^drj = o,

dans la([uelle, substituant pour a et [:i leurs valeurs obtenues par la dilïérentiation, on aura

djMl{f + qz) = drjd{x -^pz),

('M|uation générale des lignes de courbure : donc une des deux lignes de courbure de la surface est toujours plane, et son plan passe toujours par l'origine.

.lusqu'ici nous n'avons considéré de la caractéristique que l'équation du [)Ian qui la contient. Cette équation ne la détermine pas, et il faut y joindre celle de la surface engendrée sur laquelle elle se trouve, pour que cette courbe soit déterminée, et encore ne le srrait-elle pas d'une manière abstraite, puisqu'on la considérerait alors comme étant un individu de la série dont la surface engendrée est le lieu géométrique. Mais si l'on pose les trois équations suivantes :

\.v' H.r' + s'— «'1 \i-^p'+q''\ = \z—px — qy\\

- (>' + 7^) ^^*' + (p^ -^P^) ^b' -h {qx —py) dz = o, dz =^ pdx -r qdy^

dont la première est l'équation de la surface aux différences parlifllt's, dont la seconde est celle du plan de la caractéristique, et dont la troisième contient la définition des quantités y? et //, et si vwXvv ivs trois équations on élimine/; et (/, l'équation aux difFé-

Or on sait que si Tëquation d'un plan est

lo carré de la distance de ce plan à l'origine est

A«-4-B*-f-C« De plus, on a, dans le cas présent,

A= da:^ B=r/r, C = rfz, D = xdx -\-ydy + zdz.

Doiu* le camî de la distance du plan normal à l'origine sera

( Xflx -^jdj -f- zdz ) ' ^

lUmv. ré({ nation de la courbe pour laquelle cette distance est conslnnlc, et = a, est

{xdx -hfd/y + zdzy = a^ {dx^ -+- dy^ + dz^),

«'*( (nation (jui est la même que celle que nous avons trouvée pour la ni racler istique considérée d'une manière abstraite.

Dr /rf/ nation aux différences ordinaires de V arête de rebrousse-

ment produite par la génération.

Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l'équation aux difiérences partielles est engendrée par le mouvement d inu? courbe plane, dont le plan roule autour d'un cône qui a son Hoinnu*l à T origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur

la même surface se coupent en un point, et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d'une même surface est une courbe, qui est l'arête de rebroussement de la surface. Cette courbe, qui est touchée par toutes les caractéristiques de la surface, n'a aucun élément qui ne se confonde avec un élément d'une des caractéristiques , et pour lequel le plan normal ne se confonde avec celui de la caractéristique qui la touche en ce point. La propriéti* de cette courbe est donc aussi, que tous les plans normaux sont à la distance a de l'origine : son équation est donc encore

{xdœ -h ydy -h zdzy = a^ {dx^ -h dy' + rfz^).

Si toutes les caractéristiques auxquelles appartient cette équation étaient sur une même surface individuelle, l'arête de rebroussement qui les touche toutes, et à laquelle appartient encore la même équation aux différences ordinaires, serait l'intégrale particulière de cette équation, et elle serait unique ; mais toutes les caractéristiques qui sont sur une même surface individuelle ne composent qu'une série prise parmi toutes les courbes de ce genre qui existent dans l'espace : il peut y avoir autant de ces séries différentes entre elles, qu'il y a de surfaces coniques ayant leurs sommets à l'origine, et autour desquelles le plan générateur peut rouler ; et chacune de ces séries aura son arête de rebroussement particulière à laquelle appartiendra la même équation. Le nombre des arêtes de rebroussement exprimées par cette équation est donc infini. Il est même facile de voir que, dans le cas que nous traitons (et cela est vrai en général), la caractéristique pour laquelle l'arête de rebroussement ne semblait être d'abord que le lieu d'une intégrale particulière n'est elle-même qu'un cas particulier de l'arête de rebroussement considérée en général ; car elle n'est autre chose que ce que devient cette arête lorsque la surface conique se réduit à un plan mené par l'origine.

- . r^r ^ = a' {di- -h cfy' -i- clz')

^ : ic-tw: * routes les équations aux différences ordi-

..^^«i•^:'uw!lt pos à des surfaces) est donc susceptible

.^:^ r».».ju> liri^rentes. Si Ton se propose seulement d'a-

^ ,^ H ^: -^.Tunrs. les deux équations intégrales seront com-

^ ... -- -c- vï*>aintes arbitraires indépendantes ; mais si l'ob-

^ . * -^ ii-^te> de rebroussement, ces arbitraires ne sont

. .^ .>^jiax deux d'entre elles sont fonctions arbitraires

^ .-vii:». et ivs deux fonctions sont dérivées Tune de

M >\»it donc que la première de ces intégrales n'est

. .%> -^i-xulier de la seconde. Mais je reviendrai sur cette

.^ . * . t .M ^tm."rjil , ihuis le Mémoire que j'ai annoncé.

■...K I ^f - t^iuotion aux' différences ordinaires

:iu: -ydy -I- zdzy = d' (r/.r^ + dy' -f- dz^), ■ K^.ut*\K a^'wmr appartenant à la caractéristique, prise d'une

\s\i> vi^vMis que la caractéristique est dans un plan mené par *»»>;tm\ t^ dont r équation peut être exprimée par

flt.r 4- t5,r+ 3 = 0,

»uax U\iuelle :i et jS simt des constantes poui' chaque courbe indix.vluoîle, Stût fait de plus, pour abréger,

x^ -hj' -+- z^ = u'^ ;

À %^\ eviilent que si, de ces deux équations, on tire les valeurs de u fc . dA\ </>\ pour les substituer dans la proposée, on aura une

équation aux différences ordinaires entre les deux seules variables u^ z.

Différentiant donc, et tirant les valeurs de dx et dy^ on trouve

dx [px — ay) = ^udu 4- (j — ^z) dz^ dy {^x — fltj) =: — (tudu + {x — az) dz ;

ce qui, en faisant, pour abréger, donne

On tire aussi des mêmes équations

[i^x — ttyf = II' {ct'-^^^') — h'z\

Ainsi , on aura

djc' K. dr' -4- dz' — d^j' -+- f^'i^dz-zduY . a,ic -h-a> -\- az —au "+- ^«(^«^^g*) a.^. .

substituant dans la proposée, elle deviendra

[u —a )du — ^,(^,^^,)/^.^.^ cjui, en faisant - = ^, devient

du\u* — a* t rfv

^uation dans laquelle les variables sont séparées, et dont T intégrale est

Ju^ — a^ = alarccos -arccos — ! -h y,

y t*t;iut la constante arbitraire introduite par intégration^ Ainsi, en iviuettant pour u et (fleurs valeurs, les deux équations en quantités Hiiies de la caractéristique considérée d'une manière abstraite sont

arc cos

arc cos

hz

Vx'-hj'-h ^* \/a'4-i3*

c( {nations (jui sont complétées par les trois constantes arbitraires

I A\ première de ces équations est compliquée et ne montre pas d'une manière facile la nature de la courbe. Pour l'étudier, considérons-la dans son propre plan. Soit abaissée d'un point quel- (*on(|ue de la courbe, une perpendiculaire sur l'intersection de son plan avec celui des Xj y\ nommons Y cette perpendiculaire, et X la distance de son pied à l'origine. Cela posé, il est facile de voir que Ton aura

z = \5!±ZY;

on a d'ailleurs évidemment

Substituant donc ces valeurs dans l'équation intégrale, elle devirndra

i X ^ I Y ^ — a^ = a ! arc cos -- — - — -h arc cos , > +

( )r vv\W é([uation est celle de la développante d'un cercle dont W rayon égale a, et dont le centre est à l'origine, et pour laquelle la constante y fixe l'origine du développement : de plus, les chan- ^^lncntii qu'on pourrait apporter à la valeur de 7, en transportant

elle-même, constante de fonne, étant mobile d'une manière queleonqne dans son plan autour de l'origine.

jVIais cette surface, dont l'équation comprend les deux fonctions arbitraires (p et 4? ^st [)lus générale que celle dont nous nous occupons, et pour laquelle, des deux relations à établir entre les constantes fit, ^"jj 7, il n'y en a qu'une seule de disponible, l'autre devant être déduite de la nature de la question. En effet, nous avons vu que le plan de la c^iractéristique doit être partout normal à la surface; les points de cette courbe, considérée comme génératrice, doivent donc se mouvoir de manière que leurs directions soient toutes perpendiculaires à son plan : donc la spirale doit être fixée dans son propre plan; donc deux de ces spirales consécutives doivent se couper dans chacune de leurs branches ; donc enfin la forme de la fonction 4 n'est pas arbitraire, et doit être déterminée (le manière que cette condition soit remplie.

Intégration de la metue équation aux dijférences ordinaires (,vd,v -^ xdy -\- zdz)' = a' [dx' -\- dy' -^ dz') ('(tnsidérce comme appartenant aux arêtes de rehroussement.

I i'arète de rebroussement est la courbe touchée par toutes les (caractéristiques d'une même série : cette série doit donc être foi'inée de manière que deux caractéristiques consécutives se coupent; par conséquent, la fom^tion-^ J^e doit pas être arbitraire, et il s'agit de déterminer sa forme. Or, en conservant les abréviations, les équations de la caractéristique, considén^e comme faisant partie d'iuie série, sont

/ " M i a hz i I

\/f/ — a .= r/ ' arc cos - + arc (*os . __:}-+- 4^,

AX -hf(f> -H 3 = o;

conque de ces séries , seront donc

r~^ :; ( a hz \ Cio — aa»')rfa

i/W — a' = a {arc cos - -h arc cos — ^^':=-- \ — a \ -J—, — ^Vt ?

flto: -h J(p+ z = o,

dans lesquelles la fonction arbitraire cp détermine la nature de la série, et et, qui est constante pour chaque caractéristique, détermine chacune de ces courbes dans la série. Donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles (ou l'équation du lieu de la série) doit être le résultat de l'élimination de et entre les deux équations précédentes. Cette intégrale, comme on voit, est complétée, et par la fonction arbitraire cp, et par la constante absolue A qui est comprise sous le signe d'intégration /'.

Propriétés de la surface relatives a la quadrature de son aire, et à

la cuhature de l'espace quelle termine.

Si l'on considère une zone de la surface comprise entre deux positions consécutives de la génératrice, il est évident que l'aire de cette zone sera égale à la somme des éléments de l'arc générateur, multipliés chacun par l'espace parcouru; et parce que la direction du mouvement de chaque point est perpendiculaire aux deux plans consécutifs, cette aire sera égale au moment de l'arc générateur par rapport au plan suivant, ou au produit de cet arc par l'espace que parcourt son centre de gravité. La même chose devant avoir lieu pour toutes les zones consécutives, il s'ensuit que l'espace parcouru [)ar un arc quelconque de la génératrice, et compris entre deux positions quelconques du plan générateur, est égal au produit de cet arc multiplié par l'arc qu'aura parcouru son centre de gravité.

11 est facile de voir qu'il en est de même par rapport à la eu-

dans la première équation, tiendra lieu d'une des quatre, et l'arête de rebroussement sera exprimée par les trois équations

/~2 2 ( ^ hz ] rio — ao') da.

\/u — a^ = ajarccos - -h arccos — } — a I ^-f-= — Hrr-'

OUI' -T- J(p -h J3 = O,

Donc les deux équations de l'arête de rebroussement seront le résultat de l'élimination de l'indéterminée et entre les trois équations précédentes.

C'est ce résultat complété par la fonction arbitraire (p, sa dérivée cp', et par une constante absolue A comprise sous le signe d'intégration f , qui est l'intégrale complète de l'équation aux différences ordinaires

{xdv "hfdj- 4- zdzy = a' [dx' -h dy' -h dz'^ ) ;

et l'intégrale que nous avions d'abord trouvée en la considérant comme appartenant aux caractéristiques, quoiqu'elle fût complétée par les trois constantes arbitraires a, j'i, y, n'en était qu'une solution particulière.

Intégration de l'équation aux différences partielles

(.r' H-j= 4- z' — a-)(i +//'-h^') = {z—px — qyy.

Nous avons vu que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles est le lieu de la série de caractéristiques formée de manière que deux de ces courbes consécutives se coupent : or nous avons trouvé, dans l'article précédent, la forme que doit avoir la fonction 4 pour que cette condition soit remplie ; les deux équations d'une caractéristique, considérée dans une quel-

hature de Tespace qu'aura [)arcouru un segment quelconque de la génératrice.

Cette surface, ainsi que toutes celles de révolution, ne jouissent de cette propriété que parce qu'elles sont des cas particuliers de la surface plus générale engendrée par le mouvement d'une courbe plane quelconque, dont le plan roule autour d'une surface développable quelconque, surface dont nous nous occuperons dans un autre paragraphe.