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DE LA SURFACE COURBE DONT TOUTES LES NORMALES SONT TANGENTES A UNE MEME SURFACE CONIQUE A BASE ARBITRAIRE.

Génération de la surface.

Concevons la surface conique, à base arbitraire, qui doit être touchée par toutes les normales de la surface proposée, et un plan quelconque tangent à cette surface conique, et qui la touchera, par conséquent, dans une droite menée par le sommet : cela posé, si Ton considère la série des nonnales à la proposée qui touchent la surface conique dans les différents |)oints de cette droite, il est évident que toutes ces normales seront dans le plan tangent au cône ; d'où il suit, i"* que ce plan sera normal à la surface proposée dans tous les points de son intersection avec elle ; 2^ que cette intersection elle-même sera une des lignes de courbure de la surface, puiscjue les nonnales à la surface, pour les différents points de cette courbe, se coupent consécutivement. Donc, si l'on conçoit que ce plan normal à la surfaire proposée tourne infiniment peu autour de sa

plans tangents à la surface conique, et que toutes celles de l'autre sont sur des surfaces de sphères concentriques, et dont le centre commun est au sommet du cône.

I^ génératrice n'ayant aucun mouvement dans son plan, lorsque ce plan tourne autour d'un des côtés du cône pour passer à la position infiniment voisine, le point dans lequel la génératrice coupe le côté du cône ou touche sa surface n'a aucun mouvement, et se trouve encore sur cette courbe quand elle est parvenue dans la position suivante; deux génératrices consécutives se coupent donc en un point de la surface du cône, et le lieu de tous ces points d'intei*sections consécutivt^s, qui est une courbe tracée sur la surface du cône, est une arête de rebroussement de la surface engendrée, dont toutes les nappes viennent rencontrer la surface convexe du cône dans l'arête de rebroussement, et se réfléchissent ensuite, sans qu'aucune d'elles entre dans l'espace vers lequel la surface du cône présente sa concavité.

La surface conique est évidemment le lieu des centres de la courbure dont les lignes sont sphériques. L'arête de rebroussement se trouvant en même temps et sur la surface conique et sur la surface engendrée, il s'ensuit que, pour tous les points de cette courbe, un des deux rayons de courbure de la surface est nul ; et ce rayon est <*elui de la courbure dont les lignes sont sphériques.

fia génération que nous venons de trouver est peut-être la plus facile à concevoir; néanmoins son expression analytique ne conduit pas directement à un résultat aussi simple que celle de la génération suivante, que nous emploierons.

(Concevons que dans le plan mobile, et par le sommet du cône qui est toujours dans ce |)lan, on mène une droite qui ne change pas de position par rapport à la génératrice, et à laquelle cette courbe, pendant tout son mouvement, [)uisse être rapportée comme à une directrice mobile ; il est évident que, dans toutes les positions

du plan générateur, les distances d'un même point de la génératrice à la directrice et au sommet du cône ne changeront pas. La directrice, par son mouvement, engendrera une autre surface conique qui aura même sommet que la première, et à laquelle le plan mobile sera constamment normal. Cette seconde surface conique dépendra de la première, qui en est une développée; en sorte que si l'équation de la première était déterminée, celle de la seconde en serait dérivée par intégration. Mais si la première surface conique est considérée comme arbitraire, la seconde, qui est, par conséquent, aussi arbitraire, peut, à son tour, être considérée comme indépendante, et comme la seule qui serve à la génération. Donc la surface proposée peut aussi être regardée comme engendrée par le mouvement d'une courbe plane quelconque, dont la directrice parcourt la surface d'un cône à base quelconque, et dont le plan est constamment normal à la surface conique, la courbe n'ayant d'ailleurs aucun mouvement dans son plan.

Il suit de là que la surface dont il s'agit est celle d'une moulure quelconque poussée sur une surface conique à base quelconque, et dont le profil arbitraire, mais constant, est toujours dans un plan normal à la surface conique, et à la même distance du sommet.

Equation de la surface en quantités finies .

En employant la seconde génération, nous avons vu que pour tous les points d'une même ligne de la seconde courbure, c'est àdire de la courbe engendrée par un même point de la génératrice, la distance à la surface conique et la distance au sommet du cône sont toutes deux constantes; et il est évident qu'en passant d'une des lignes de cette courbure à une autre de la même espèce, ces deux distances varient. Ces deux grandeurs qui , pour les diffé-

rents points de la surface engendrée , sont constantes ensemble et variables ensemble, sont donc fonctions Tune de l'autre.

Or^ en supposant que le sommet du cône soit à l'origine, et représentant par «r, j, z les coordonnées du point de la surface engendrée, et par a;', j', z' celles du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la surface conique, le carré de la distance du point au sommet du cône sera o;^ -t- >'^ h- z% et celui de sa distance à la surface conique sera [x — «^')^ H- ( J — j')** + (^ — ^'Y'^ on aura donc pour équation de la surface

dans laquelle la fonction 4 est arbitraire, et où il ne s'agit plus que de trouver les valeurs de œ\ y et z.

On sait que l'équation générale de la surface conique dont le sommet est à l'origine, est — = cp ( - j, la fonction <p étant arbitraire ; ou qu'en représentant par a la quantité qui est sous la fonction, elle est le résultat de l'élimination de * entre les deux

équations

X = zflt, y = z^et.

Le pied de la perpendiculaire étant sur la surface conique, on aura donc entre ses trois coordonnées les deux équations suivantes :

.r' = ZA, y = z'(p, et le carré de la perpendiculaire deviendra

(a> — z'aY + (j — z'(py -i-iz — zy.

Mais cette perpendiculaire étant un minimum, sa grandeur ne doit point varier, soit qu'on fasse varier z seule, soit qu'on fasse varier a seule: donc ses différentielles, prises en regardant succès-

sivement s' et et comme seules variables, doivent être milles; ce qui donne les deux équations

{x — Zet) fit 4- ( J — z'(p) (p -\- z — z' = o, {x — z'a) -h ( J — z'<p) (p' = o.

On aura donc, entre les trois coordonnées x\ y\z\ quatre équations. Tirant des trois premières les valeurs de ces coordonnées, et faisant, pour abréger,

dX -\- y<p-\- z = M,

I 4- fit' -f-(p==/t% on aura

substituant ces valeurs dans l'équation de la surface, et développant, on aura

et parce que la fonction 4? qui est arbitraire, absorbe la quantité a;* -h j^ + 2% qui est dans le premier membre, cette équation deviendra

ou

Mais, des quatre équations que nous avions entre les trois coordonnées x\y\ z\ nous n'en avons encore employé que trois. Si donc on substitue pour z' sa valeur dans la quatrième, on aura

— ^92 — <)u, à cause de l'équation précédente,

('.quation qui doit aussi avoir lieu, et qui servira à éliminer tt de l'équation de la surface.

Donc r équation de la surface engendrée est le résultat de l'éliini nation de a entre les suivantes :

De ces deux équations, il est facile de voir que la seconde est la différentielle de la première prise en ne faisant varier que a; ainsi, en représentant la première par N = o, l'équation de la surface est le résultat de l'élimination de a entre les deux suivantes :

11 suit de là que la surface engendrée peut être considérée comme r enveloppe de l'espace parcouru par la surface dont l'équation sciait la première des deux précédentes, et qui se mouvrait en vertu de la variation du paramètre a. Mais, en regardant a et ^a comme deux constantes indépendantes, ce qui arrête le mouvement de la surface mobile, la i)remière de ces équations N = o, ou

AX

-f-jcp-t- 3 = y/i -f-a- + <p' 4{^'^ H-.r'* H- ^^)î

rst celle d* une surface de révolution, dont l'axe, déterminé d'ailleurs de position par les deux constantes et et (pet, passe par l'origine, et dont la distance à l'origine est indépendante de la quantité *. De

plus, si, comme nous le supposons ici, les quantités et et ^ et sont des variables dépendantes Tune de l'autre, lorsque la quantité et varie, l'axe dont les équations sont x = az et y = z<p'A^ parcourt une surface conique quelconque, dont le sonmiet est à l'origine; donc la surface peut être engendrée d'une troisième manière, ainsi qu'il suit :

Si une surface quelconque de révolution se meut de manière, 1° que son axe, passant toujoui's par l'origine, parcoure une surface conique quelconque; 2® qu'un même point de la surface mobile ne change pas de distance au sommet du cône, l'enveloppe de l'espace qu'elle parcourra sera la surface que nous considérons.

Cette troisième génération, qu'on aurait pu démontrer à priori, fournit une vérification des équations que nous avons trouvées.

Équations des deiuv lignes de courbure en quantités finies .

Si, dans les deux équations N = o, (-j-j = o, on regarde la

quantité et comme une constante arbitraire qui doive subsister, ces deux équations sont celles de la génératrice considérée dans la position déterminée par la valeur de et, qui est constante pour elle; par conséquent, elles sont celles de la ligne plane de courbure, et il est facile de voir qu'elles appartiennent à une courbe plane, puisque, par l'élimination de la fonction 4? on obtient l'équation d'un plan. Mais, si la quantité et est regardée comme une variable indéterminée qui doive disparaître par l'élimination, les deux équations

JV = o, (-7-|==o se réduisent à une seule, qui est celle de la

surface engendrée; et parce que la ligne de la seconde courbure ^st sur la surface d'une sphère dont le centre est à l'origine, et dont le rayon , variable en général , est constant pour chaque ligne individuelle, il s'ensuit que, des équations de la ligne sphérique de

courbure , la première sera

et la seconde sera le résultat de l' élimination de l'indéterminée a entre les deux équations

clans lesquelles y est la constante arbitraire qui détermine la ligne de courbure individuelle.

Équations de l* arête de rebroussement en quantités finies .

Nous venons de voir que les équations de la génératrice sont N = o, f ~ j == o, dans lesquelles a est la constante qui détermine la position de cette courbe. Donc, si Ton difFérentie ces équations, en regardant a comme seule variable, les a:, j, z, qui se trouveront dans les différentielles , appartiendront au point d' intersection de deux génératrices consécutives, et, par conséquent, au point de Tarête de rebroussement; mais, par la différentiation, on n'obtient qu'une équation nouvelle, savoir ( -j-j J = o: ainsi, entre les

trois coordonnées .r, j, z, du point de l'arête de rebroussement, on aura les trois équations

au moyen desquelles ces trois coordonnées pourront être détermi-

— agfi — dans le cas présent on a

D = J3 — px — qy ;

par conséquent, la distance de T origine au plan tangent est

z — px — qy

Donc, en exprimant que cette quantité est une fonction arbitraire de la première , une des équations aux différences partielles du premier ordre sera

z — px — qy=\/i-{-p'' -hç' V(a:' + j' + z'),

dans laquelle la fonction m n'est pas de même forme que la fonction 4j qui entre dans l'équation intégrale, quoique Tune soit une dérivée de l'autre.

Passons actuellement à l'autre équation aux différences partielles du premier ordre.

Pour tous les points d'une même génératrice, le plan mené par l'origine et la normale est invariable, puisque ce plan est celui de la courbe elle-même, que l'on regarde en cet instant comme fixe. Or l'équation du plan mené par l'origine et ^normale est, en x\y\ z\

— x' {x -h qz) -h y {oo -h pz) -hz'{qx—px) = o;

donc, pour tous les points d'une même génératrice, les deux quantités -^ — ^ et —- conservent les mêmes valeurs, et elles en

qx — pjr qoc — py

changent dans le passage d'une génératrice à une autre. Ces deux quantités, qui sont constantes ensemble et variables ensemble pour

les différents points de la snrfoce, sont donc fonctions l'une de l'autre; donc la seconde équation de la surface engendrée, aux différences partielles du premier ordre, est

dans laquelle la fonction <I> n'est pas de même forme que celle qui est exprimée par ^ dans l'intégrale finie, quoiqu'elle en soit dérivée.

Cette seconde équation aux différences partielles du premier ordre peut être trouvée par une autre considération, qui la produit sous une forme différente, et qu'il est bon de connaître.

Il suit de tout ce qui précède, que la surface des centres d'une des courbures de la surface courbe que nous considérons est celle d'un cône à base quelconque dont le sommet est à l'origine. Or, si l'on représente par a?', r^ z' les coordonnées du centre de cette courbure, en tant que ce centre se trouve sur la normale , on aura d'abord', entre les quantités x\ y\ z\ les deux équations de la

normale