X -\- pz' = X -\- pz

y + qz' = y -^ qz.

De plus, si l'équation de la surface conique est ^ = ^ [ — \ , ou, ce

qui revient au même, si elle est le résultat de l'élimination de a entre les deux équations x = za,, r = z<p(t^ on aura encore, entre les mêmes coordonnées, les deux équations

.X'' = z'ût, y = z'(p(t.

Enfin le point de la surface doit être sur le plan qui touche la surface conique dans le centre de courbure, et l'équation de ce plan

est

— x(p' -\-X-\-z{(p — flfc(p') = o ;

flonc, si des qtwtre premières on élimine les trois quantités .ï', j', z\ il restePca, en x^y^ z^ les deux suivantes :

(.r 4- pz) (p — (j + 7^) a 4- (jx — py = o,

— x(p' H- y -^ z((p — ct<p^) = o;

ou bien, éliminant <p de la seconde, au moyen de la première,

(.r -h pz) <p — ( j -}- qz)A-+- qx —py = o,

{x -\-pz) (p' — [y -\-qz) = o\

et la seconde équation aux différences du premier ordre sera le résultat de l'élimination de a entre les deux équations précédentes, dans lesquelles la fonction arbitraire (p diffère de celles que nous avons ci-devant représentées par cp et *.

I A\ seconde de ces équations étant la différentielle de la première, prise en regardant a comme seule variable, la surface peut donc être regardée comme l'enveloppe de l'espace parcouru par la surface à laquelle appartient la première de ces équations, et qui change de forme et de position en vertu du p.iramètre a. Cette surface mobile est la surface développable engendrée par la tangente de la génératrice; elle est circonscrite à une sphère dont le centre est à l'origine, et dont le rayon, constant pour la surface engendrée par la même tangente, change pour celle qui est engendrée par une autre, et deux de ces surfaces consécutives se coupent dans une des lignes splîériques de courbure de la surface principale. Mais en voilà assez sur cet objet, que nous terminerons par l'observation suivante.

Des deux équations que nous venons de trouver en dernier lieu, Tune est destinée à éliminer a de l'autre: or il est clair que si c*ette élimuiation était exécutée, ce qui ne peut se faire tant que la forme de la fonction cp n'est pas déterminée, il ne resterait dans la

résultante d'autres quantités que ~ — et -^ ^- ; donc ces deux

^ 1 qx — pj qx — pjr'

quantités sont fonctions arbitraires Tune de l'autre, ce qui coïncide avec réquation unique que nous avions d'abord trouvée.

Equations de la surface aux différences partielles du second

ordre.

De même qu'une équation aux différences partielles du premier ordre n*est que l'expression de la [)ropriété du plan tangent ou de la normale de la surface à laquelle elle appartient, de même une équation aux différences partielles du second ordre n'est que l'expression de la propriété des rayons ou des lignes de courbure. Or, dans la surface que nous traitons, nous connaissons les propriétés de ses deux lignes de courbure ; donc nous pourrons obtenir son équation aux différences secondes, de deux manières différentes ; et d'abord, en considérant sa ligne sphérique de courbure.