I.i' équation générale des lignes de courbure est
— dx^ \[^+p^)s — pqr^ =^.0'
Pour la ligne sphérique de courbure, on a
xdx H- ydy -h zdz = o ,
ou
(x H- pz) dx H- ( j H- qz) dy = o.
Ces deux équations appartenant à la même courbe, la propriété de la surface est donc que les valeurs de -j-^ qu'elles donnent, soient égales entre elles. Donc l'équation aux différences secondes est le résultat de l'élimination de ^^ entre ces deux équations. Si l'on fait, pour abréger,
qx — py ' qx — jn '^
— 3oo — ce qui donne les deux équations
aa:-h |3jH- z = o, cxp -^ ^q — i =o,
le résultat de Télimination de ^^ et, par conséquent, l'équation aux difFérences secondes sera
(«r -+- ^s) (/3 -+- 7) = (a -h p) {oLS -i- ^t).
Si nous employons la considération de la ligne plane de coiu*bure, nous savons que cette courbe est dans le plan mené par la normale et l'origine, plan dont l'équation en j?', y\ z' est
— x' ( j -h qz) -+- / {x-^pz) -h z' {qx — py) = o,
et dont l'équation différentielle est
— dx' [y -+- qz) -+- dy' [x H- pz) ■+- dz {qx — py) = o.
Mais y si sur ce plan on ne considère que la ligne de courbure, les coordonnées x\ y\ z' deviennent respectivement égales aux x^ /, z de la surface ; on aura donc, pour toute ligne de courbure plane,
— dx[y -^ qz) '+'dy{x-^ pz) -+- dz {qx — py) = o ;
ou, mettant pour dz sa valeur /?dlr -+- qdy^ et employant les mêmes abréviations que ci-dessus,
(ct-h/;)eir4- (/3 -h 7)^7 = 0:
donc, en substituant pour ^ cette valeur dans l'équation générale
des lignes de courbure, on aura l'équation de la surface, qui se trouve, comme précédemment,
(ar -+- ^s) {(i -+-q)= {cc+p) {as -h ^A).
Actuellement nous allons traiter cette équation aux différences
— 3oi —
secondes comme si elle était le résultat des recherches d'autie nature, nous allons trouver ses intégrales des différents ordres, et nous en déduirons, par la seule analyse, les principales propriétés de la surface à laquelle elle appartient.
JOes caractéristiques de la surface à laquelle appartient t équation
aux différences secondes.
J'ai fait voir que, si la différentielle d'une équation aux différences partielles du second ordre, prise en ne faisant varier que les seules quantités r, s^ t^ est
^dr + ?^ds-^Tdt = o,
r équation générale de ses caractéristiques est
Reij» Sdxdy + 'Mr^ = o :
or, dans le cas présent, on a
S=|3(^-h^)-ct(« + /^), T = -r^(«-H/.);
donc l'équation des caractéristiques sera
fx[^'\-q)dy^—[^{^^q) — u{u^p)\dxdy—[i[fx^p)dx''=o, qui, pouvant être mise sous la forme
{ddy — ^dx) [(|3 -h q) dr -h (a H- /;) dv\ = o, est composée de deux facteurs, et donne les deux équations
adf — ^(lv = o,
(/3 + q) dy + (a + p) dx = o:
donc la surface a deux caractéristiques indépendantes, et les quantités dont seront composées les deux fonctions arbitraires qui compléteront son intégrale finie seront différentes entre elles, li'équation de la première caractéristique est
OL
dy — ^tir = o,
ou, remettant pour a et |5 leurs valeurs,
{x + pz) dx H- ( j -h qz) dy = o, ou enfin
xdi' H- ydy + zdz = o, dont l'intégrale
appartient à la surface d'une sphère dont le centre est à l'origine, et dont le rayon 7, constant pour chaque courbe individuelle, est variable de Tune à l'autre. Donc la première caractéristique est l'intersection de la surface par celle d'une sphère dont le centre est à l'origine, et dont le rayon y est arbitraire.
Il suit de là que cette caractéristique ne peut pas produire d'arête de rebroussement sur la surface; car, chaque courbe individuelle étant contenue sur la surface d'une sphère particulière, et les surfaces de sphères concentriques n'ayant aucun point commun, deux caractéristiques individuelles consécutives ne peuvent pas se couper, et, par leur intersection, donner lieu à une arête.
Reprenons l'équation de la première caractéristique
ady — ^dx = o.
fiCs abréviations donnent, comme nous Tavons vu,
— 3o'3 — Si de ces deux équatioiis on tire les valeurs de a et (3, on trouve
ctdz = cLvj ^dz = rfy ;
ces valeurs, substituées dans T équation aux différences secondes , donnent
{rdv -h sdy) {dy -+- qdz) = {dx -+- pdz) {sdœ -^ tdy) ,
ou
dp (dy -f- qdz) = {dx -h pdz) dq^
équation générale des lignes de courbure.
Donc la première caractéristique de la surface est la ligne d'une de ses courbures. Ainsi la surface est telle, que les lignes d'une de ses courbures sont les intersections de la surface par une série de sphères concentriques, et dont le centre commun est à l'origine.
Passons actuellement à la seconde caractéristique, dont nous avons vu que l'équation est
(dt -H p) dv -h {[^ -f- q) dy = o,
ou
adx 4- (idy +- dz = o.
Cette équation serait celle d'un plan, si les deux quantités ot, |5 étaient constantes. Or, pour tous les points de cette même caractéristique, ces deux quantités sont, en effet, constantes; car, si l'on différentie les deux équations
ûLX H- |3j -f- z = O, ctp -h ^jq — I = o,
que fournissent les abréviations, on aura
xdcL -i-yd^ -h adx -I- (idy -|- rfz = o, pda -+- qd^ -h <tdp -+- ^dq = o,
qui, pour la seconde caractéristique, dans laquelle on a
ddx -h ^dj -h rfs = o, deviennent
xda H- yd^ = o, pdd H- qd^ + ctdp -^ ^d(j = o;
tirant de ces deux équations les valeurs de da et rf|3, on a
doL {(jx — py) = y [adp H- ^d(j)^ rfj3 [qx — pj) = — X {ctdp -h ^dq) :
donc les différentielles rfot, d^ seront toutes deux nulles, et les quantités fit et /3 seront toutes deux constantes lorsque Ton aura
ctdp -r- ^dq = o.
Or, pour tous les points de la seconde caractéristique, cette dernière équation a lieu; car T équation de cette courbe est
ctdi' H- ^dy H- rfz = o,
et , à cause des abréviations , on a
oLX -I- p j -4- z = o,
ce qui donne pour et et ^ les deux valeurs suivantes :
fit {ydx — xdf) = ydz — zdx^ |3 (ydx — xd/y) = xdz — zdx^
qui, substituées dans l'équation aux différences partielles du second ordre, donnent
— ^fp ir -+- q^) = dq {x ^pz) = o, ou
adp H- [idq = o.
Donc, pour toute l'étendue de la même seconde caractéristique, les
quantités a et ^ sont toutes deux constantes; donc l'équation de
cette courbe
ddx H- ^jdy '\- dz = o
est celle d'un plan. Ainsi la seconde caractéristique est une courbe plane.
L'intégrale de cette équation est, en général,
ctx -\- ^y -\- z = constante ;
mais les abréviations donnent
dx -\- pjf -+- z = o:
donc la constante introduite par intégration est nulle, et le plan de la courbe passe par l'origine.
Ainsi la seconde caractéristique est une courbe plane dont le plan passe toujours par l'origine.
Reprenons l'équation de la seconde caractéristique
ctdûo H- ^dj -^ dz = o\
les abréviations donnent
ctp-j- ^q '\- ï = o.
Ces deux équations donnent pour a et ^ les valeurs suivantes:
a {qdx — pdy) = — dy — qdz^ |3 {qdx — pdy) = doo -h pdz^
qui, substituées dans l'équation aux différences partielles du second ordre, donnent
dp{dy'\- qdz) = {dœ -hpdz) dq,
équation générale des lignes de courbure : donc la seconde caractéristique est la ligne de l'autre courbure de la surface, qui est par conséquent plane, et dont le plan passe constamment par T origine. En résumant cet article, on voit que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences secondes
(dtr -4- ^s) (/3 H- 7) = {a-hp) {cts + ^t)
a deux caractéristiques différentes ; que ces caractéristiques ne sont autre chose que les lignes de ses deux courbures; et que de ces deux lignes, l'une est une courbe plane dont le plan passe par l'origine, et l'autre est sur la surface d'une sphère dont le centre est à l'origine. De cela seul il serait facile de déduire les générations que nous avons exposées précédemment.
Des deux intégrales premières de V équation aux différences
partielles du second ordre.
Chacune des caractéristiques devant fournir une intégration, nous allons d'abord employer la première, dont l'équation est
(xdy — ^dx = o, ou
xdx -^- ydy + zdz = o.
ou enfin, en intégrant,
Si, dans la proposée
[ar-+-;5j] {{-^-^q) = {ct-^-p) [as -+- [it\,
on substitue pour r et ^ leurs valeurs tirées de dp =^ rdx -h sdy^ dq = sdx -h tdy^ en vertu de l'équation de la caractéristique, elle
devient
àp{[^-hq) = {ct-hp)dcj;
mais en faisant, pour abréger,
