I -hp' H- 7" = Ar', z — px — qx

si Ton substitue pour a et |3 leurs valeui's dans la dernière équation, elle devient

dp [k'^x -h pv ] -hdqlPr -H y^ ] = o,

ou

A-* [xdp -+- ydq^ -h i' [/^^^ + qdq^ = o,

ou enfin

— k'^dv H- t»A-6^A' = o,

dont r intégrale est ^ = (T, cT étant la constante arbitraire . La caractéristique sphérique a donc les équations intégrales

z — px — qj .

dans lesquelles les quantités 7, lî', qui sont généralement variables, sont néanmoins toutes deux constantes pour toute l'étendue d'une même caractéristique individuelle : donc ces deux qu^mtités sont fonctions arbitraires l'une de l'autre; donc une des intégrales premières de la proposée est

z—px — qy = y/i -hp^ -hq' ^{x' -^ y' -f- r.'),

qui coincide avec celle que nous avons trouvée par les considérations géométriques.

Pour trouver Fautre intégrale première, il faut employer la seconde caractéristique, dont l'équation est

( |3 -f- r/) c/y -+- {ct-hp)dx = o,

ou

acfx H- ^dy -+- rfz = o.

Nous avons vu que les quantités a et /3 , qui sont généralement variables, sont toutes deux constantes pour tous les points de cette courbe; ces deux quantités sont donc fonctions Tune de l'autre, et l'on aura, pour la seconde des deux intégrales premières,

ou

qx — pY qx — py

qui coïncide avec une de celles que nous avons trouvées directement.

Si l'on introduit |3 = $ct dans les équations produites par les abréviations, elles deviendront

dx H- j$a-h z = o, cfc/? H- y$a — I = o,

qui auront lieu en même temps pour la caractéristique plane et dans lesquelles a est la constante qui détermine la position de la courbe individuelle : donc le résultat de l'élimination de a entre ces deux équations appartiendra encore à la surface, et sera la même intégrale que la précédente, présentée sous une autre forme. Cette intégrale exprime que si l'on pose la première des deux équations ûta?-hj$aH-2; = o, c'est-à-dire que si l'on coupe la surface par un plan tangent à la surface d'un cône à base quelconque dont le sommet est à l'origine, on doit aussi avoir la seconde équa-

tion etp-hq^a — i =o; c'est-à-dire que ce plan sera partout perpendiculaire à la surface. D'où il est facile de conclure que la surface est engendrée par une courbe plane quelconque et constante de forme, dont le plan roule autour d'un cône à base quelconque, dont le sommet est à l'origine.

Intégration de V intégrale première

z—px—qy= sji -\-p'' 4-7' W{x'' + j^ H-z').

On sait que si la différentielle de la proposée prise en regardant p etq comme seules variables est Vdp -\- Qdrj = o, l'équation de la caractéristique est l?df — Qdx = o. Or, en faisant, pour abréger, I -hp' -h q^ = k'j on a, dans le cas présent,

L* équation de la caractéristique est donc

[kx H- pW] dy — [ky H- ^V] ^; = o ; ou, chassant ^ au moyen de la proposée,

— {y 'hqz)dx -{- {x 'i-pz)dy -h {qx — py) dz = o,

éauation qui sera celle d'un plan si les quantités ^ — ^ et

H n in qx—pj qx—py

sont toutes deux constantes pour tous les points de cette courbe.

Or cela a lieu, en effet; car, après avoir représenté ces deux quantités, la première par — a, la seconde par |3, ce qui donne

eta; H- Pj H- z = o, (tp -\- ^q — I =0

— 3io —

on trouve, par la différentiation, que les différentielles da^ d^ sont toutes deux multiples de ctdp -^ ^dq, et sont, par conséquent, toutes deux nulles, quand on a adp -+- pdq = o. De plus, cette dernière équation a lieu pour toutes les caractéristiques; car, si l'on différentie la proposée en regardant successivement xety comme seules variables, on a

Pr -h Qj -h '2k {x -^ gz) ^' = o, P^ 4- Q^ -h 2k (j -+- qz) m' = o,

qui, par l'élimination de ^', donnent

ou

l?{ar H- p^) H- Q (as -+- f^t) = o,

équation qui appartient à toute la surface. Mais l'équation de la caractéristique est

Pdj — Qcfcr= o;

donc, éliminant ^ des deux dernières équations, on aura, pour toute l'étendue de la caractéristique,

{ar H- ^s) dx -h {cis -h |3<) rfy* = o,

ou enfin

ocdp H- ^dq = 0.

Les quantités a et p sont donc toutes deux constantes pour une même caractéristique. L'équation de la caractéristique

adx H- ^dy rh dz = o

est celle d'un plan; et parce qu'à cause des abréviations, cette intégrale ne peut être que

ax -+- [-ij -h z = o,

— 3ii —

il s'ensuit que la caractéristique est une courbe plane, dont le plan passe constamment par l'origine.

Pour avoir l'expression de cette courbe, indépendamment de la surface sur laquelle on la considère, il faut, au moyen de son équation et de dz =pdx + qdy^ éliminer de la proposée les deux quantités/; et ^. Le résultat de cette élimination, qui, en faisant, pour abréger,

est l'équation unique aux différences ordinaires,

dx' -f dy^' -4- dz' = -[^y^'v^y

exprime donc la caractéristique considérée d'une manière abstraite. La propriété qu'énonce cette équation est que l'arc de la courbe est une certaine fonction du rayon vecteur, ou que la distance de l'origine au plan normal est aussi fonction du même rayon vecteur.

La caractéristique étant exprimée par une seule équation aux différences ordinaires, qui appartient aussi à toutes les courbes touchées par les différentes séries de caractéristiques, il s'ensuit que la surface a une arête de rebroussement qui résulte de la génération elle-même, et qui a lieu, quelle que soit la génératrice.

Intégrons d'abord l'équation aux différences ordinaires considérée comme appartenant aux caractéristiques. Pour cela, si, des deux équations

aa; + ^j + z=:o, .r^ -h r^ + ^' = ^^%

et de leurs différentielles

adx -i- |3rfj -h rfz = o , xdjo -h ydy H- zdz = udu^

on tire les valeurs de .r, j, dlr, rfj, pour les substituer dans la proposée, on les réduira à une équation aux différences ordinaires entre

les deux seules variables w et z. Dans ces équations, aet^ sont des (constantes arbitraires. De ces quatre équations, les deux dernières donnent pour dœ et dy les valeurs suivantes :

dx{^x — cfcj) = ^udu -\- dz[y — |3z) , dy {^x — (ty) = etudu -+- dz{x — etz),

qui, en faisant, pour abréger, i -f- a* -+- p* = A% donnent

^cLv^ + dy^ -+- dz') {^x — ctyY = h' {udz — zduy + du^ [u' {a' + ^') — h'z'].

Mais des deux premières on tire

{^x — ctyY = w'.(a^-+-^^) —h'z';

donc on aura

dx^ -i dr' -4- dz' — du' -4- h' {udz -zduy ax ^ay ^az —au -h- ^,^^,^^,^^,^,'

Substituant cette valeur de dx' -\- dy^ -^ dz^ dans Téquation aux différences ordinaires, elle deviendra

du . Ym' h (udz — zdu )

dans laquelle on séparera les variables en faisant - = v: ce qui donne

qui s'intègre par les quadratures, et dont l'intégrale est

'¥du

arc cos -

u^u' — '¥* i-Va'-f-lS

rT=m = y

Mais, pour la surface que nous considérons, la série ne doit pas être formée d'une manière entièrement arbitraire. Dans chaque série , deux courbes consécutives quelconques doivent se couper, et la suite de ces intersections doit donner lieu à l'arête de rebroussement. Il s'agit donc de trouver la relation qui doit exister entre a, (pflt, Tflt, pour que cette condition soit remplie.

Or le point de la caractéristique qui appartient aussi à l'arête de rebroussement est celui dont les coordonnées a?, j, z ne changent pas dans les deux équations précédentes quand ti varie. Donc, si l'on diflférentie ces deux équations en regardant tt comme seule variable, les deux nouvelles équations