TT

et

qu'on obtiendra, appartiendront, ainsi que les deux précédentes, au point de l'arête de rebroussement. Donc, si, entre ces quatre équations, on élimine les trois coordonnées a:, j, z, l'équation résultante en a, ^a, TTût détermine la forme que doit avoir la fonction TT, pour que toutes les caractéristiques d'une même série se coupent consécutivement.

De ces quatre équations , la première et la quatrième donnent

x[(p — flt^') = z^', y{(p — a^') =• — z,

et, par conséquent

Cette valeur, substituée dans la troisième, opère l'élimination dont

fonction arbitraire que Ton peut représenter par un signe particulier TT. Donc l'intégrale finie de l'équation aux différences partielles du second ordre est le résultat de l'élimination de a entre les deux équations :

7r(.x''-j-y'-h2;^)4-arccos , ^J=== /-

etx -\-' y(p -h Z = o.

Intégration de Vautre intégrale première

Si l'on représente par a la quantité qui est sous le signe de la fonction $, on aura les deux équations

y -^-qz =— A {qx—py), X -{- pz'= (pd {qx — py) .

(ics deux équations peuvent être remplacées par les deux suivantes:

dX 4- J* H- z = o, ap -\~ q^ — * "= ^'

dont la première est destinée à éliminer l'indéterminée a de la seconde, et dans lesquelles les différences partielles sont linéaires.

Or il est évident que, quelle que soit la forme de la fonction *, la valeur de a, prise dans la première et substituée dans la seconde, n'y introduira que les quantités x^y^ z: donc, si l'on diflférentie la seconde en regardant /; et ^ comme seules variables, on aura P = ût, Q = $ ; par conséquent, l'équation de la caractéristique sera ady — (pdx = o, ou, remettant pour (3 et $ leurs valeurs,

{y -H qz) dy -h (x-h pz) dx = o,

OU enfin

xdx -h ydy + zdz = o,

dont l'intégrale est

7 étant la constante arbitraire.

Ainsi la caractéristique est sur la surface d'une sphère dont le centre est à l'origine, et dont le rayon y a une valeur particulière pour chaque caractéristique individuelle; c'est-à-dire que, si l'on conçoit la surface coupée par une série de surfaces sphériques dont les centres soient à l'origine, les intersections seront la série des caractéristiques. Or les surfaces de sphères concentriques ne se coupent ert aucun point : donc deux de ces caractéristiques consécutives ne peuvent se couper; donc leur série ne peut donner lieu à une arête de rebroussement ; donc enfin la surface, en vertu de sa génération, n'aura d'autre arête de rebroussement que celle qui est touchée par toutes les caractéristiques planes , et dont nous avons parlé dans l'article précédent. On pourrait encore conchire que la caractéristique sera exprimée aux différences ordinaires par deux équations distinctes, et cette conséquence, ainsi que les précédentes, résulterait de ce (jue les différences partielles sont linéaires dans la proposée. Mais, pour éviter de trop grandes généralités, nous nous contenterons ici de prouver cette dernière proposition à posteriori.

Si, dans la proposée (jui résulte de l'élimination de a entre les

deux équations

ûL/) -h y* — I ^ o,

on substitue pour q sa valeur tirée de dz := pdx -f- qdy, la seconde

devient

p {adr — ^dx) =^ dy — 4>r/z,

et appaitient encore à la surface entière; niais, si Ton considère seulement la caractéristique pour laquelle on a ady — ^(Lv = o, le premier membre devient nul. Le second Test donc 2|ussi pour elle , et Ton a

et, par conséquent encore,

cLt = %dz.

Eliminant a entre ces deux équations, on aura aussi pour la caractéristique l'équation aux différences ordinaires

dz \dz )

qu'on peut réduire aux deux seules variables a;, j, en chassant z

et dz au moyen de la première équation de cette courbe. Ainsi la

<'aractéristique a donc les deux équations aux différences ordinaires

distinctes

xd^v 4- ydy + zdz = o ,

dy^y' — x'—j* ^ ^ /dx^y*—x' — r'\ xdx -h jdy . \ xdx-hjdy /

dans la dernière desquelles y est une constante.

De ces deux équations, Tune est déjà intégrée, et son intégrale est complétée par la constante arbitraire y. Lorsque nous aurons intégré l'autre, dont l'intégrale sera complétée par une autre constante arbitraire <î, si l'on regarde les deux constantes y, S comme susceptibles de toutes les valeurs possibles, les deux équations intégrales appartiendront à la caractéristique sphérique considérée d'une manière abstraite , c'est-à-dire à toutes les caractéristiques individuelles qui se trouvent sur toutes les surfaces soumises à la génération dont il s'agit; le lieu de toutes ces caractéristiques sphé-

riques sera Tespace entier. Mais si l'on veut former une série de ces courbes dont le lieu soit sur une surface courbe, il faut établir entre y et S une relation; ce qui se réduit à faire S =^fy: alors les deux intégrales ne renfermeront plus que la seule constante arbitraire 7, dont la valeur déterminera sur la surface la caractéristique individuelle; et, par conséquent, Télimination de y entre ces deux intégrales produira en Xy y^ z l'équation de la surface qui sera le lieu de la série. Cette surface sera la plus générale qu'il sera possil:)le, et son équation sera l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles, si la fonction W est arbitraire. Tout se réduit donc actuellement à intégrer la seconde équation aux différences ordinaires

dyyjy^ — ^* — /* ^ ( dx^y'^ — x* — r*

xdx-^ydj \ xdx -\- jdy

Pour cela, soit représentée par cô la quantité qui est sous le signe de la fonction, on aura

(ùr ^y^ — x'^ — y^ = [xclx -+- ydy) û).

dy ^y^ — x^ — y^ = [xdx -h ydy) $û), desquelles on tire les deux suivantes, qui en tiendront lieu,

cûdy — ^dx = o,

cox — j* := y/>* — ^^ — J^-

Si c& était constante, l'intégrale de la première serait

coy — x<P = constante ;

ruais, cû étant variable, la constante doit être une fonction de ey, que nous représenterons par/o), et qui doit d'abord être telle, que la différentielle de l'intégrale, prise en ne faisant varier que «, ait

lieu. A la place des deux équations [)récëdentes, on aura donc les trois suivantes :

{a) a>r — .r* =^feo,

(c) cox — j4) = )Jy' — X' —X',

qui, par l'élimination des deux variables j:, r, donneront en ai, $ et y une équation aux différences ordinaires qui servira à déterminer la forme de la fonction y!

Or, en faisant, pour abrép;er, — -^ == i;, le résultat de cette

élimination est

rl^ (* — rjt)<I>')r/o)

équation dans laquelle les variables sont séparées, et dont l'intégrale complétée par la constante arbitraire S est

Remettant pour i» sa valeur, et faisant, comme nous l'avons dit, ^ = ^'y, on aura, pour la valeur dey.

Cette valeur, substituée dans les trois équations (a), (6), (c), tiendra lieu de l'une d'elles, de la troisième par exemple; et parce que la seconde est la différentielle de la première, prise en regardant cû comme seule variable, il s'ensuit que, si Ton représente par M la quantité suivante :

/ . r r ^(?— wcpMrfo) 1

dans laquelle on a

l'intégrale complète de l'intégrale aux différences partielles sera le résultat de l'élimination de co entre les deux équations

rlM

La zone de la surface comprise entre deux caractéristiques planes consécutives peut être regardée comme le fuseau infiniment étroit d'une surface de révolution autour de l'intersection des deux plans, considérée comme axe ; l'aire de cette zone est donc égalé à l'arc de la génératrice multiplié par l'espace que parcourt le centre de gravité de l'arc pendant la génération de la zone. Donc l'aire finie, parcourue par un arc quelconque de la génératrice , est égale au produit de cet arc multiplié par l'arc que parcourt le centre de gravité de l'arc générateur. Il est facile de voir aussi que la cubature de l'espace parcouru par un segment ou un secteur de la génératrice est égale au produit de l'aire de ce segment ou de ce secteur, multiplié par l'arc que parcourt le centi-e de gravité du segment ou du secteur. Cette surface, quoique son équation contienne deux fonctions arbitraires, n'est encore qu'un cas particulier de celle qui jouit de la même propriété, et dont nous nous occuperons dans un autre paragraphe.