PRÉLIMINAIRES

On sait que tontes les normales d'une surface courbe sont en même temps tangentes à deux autres surfaces, dont la première est le lieu des centres d'une des courbures de la surface primitive, et dont la seconde est le lieu des centres de l'autre courbure. En général, les deux surfaces des centres de courbure sont les nappes distinctes d'une même surface courbe; elles sont exprimées par une même équation d'un degré pair, et dont les radicaux ont des signes différents pour l'une et pour l'autre. Cependant, pour certains cas particuliers dont le nombre est encore infiniment grand , les équations des deux nappes de la surface des centres de courbure sont séparées; elles ne sont pas de nature à s'échanger l'une en l'autre dans aucune hypothèse, et l'une de ces surfaces peut être entièrement construite sans qu'on ait déterminé un seul point de l'autre : mais, même alors, il existe entre ces deux surfaces une relation dont nous allons nous occuper.

Par exemple, pour une surface quelconque de révolution, le lieu des centres de la courbure, dans le sens des parallèles, se réduit à ime ligne droite qui est l'axe de révolution, hes équations de cette droite sont absolues, et n'ont aucun rapport avec l'équation du lieu des centres de la courbure dans le sens des méridiens : mais, par cela seul que cette première nappe est une ligne droite,

la seconde est assujettie à certaines conditions ; elle est elle-même une autre surface de révolution autour du même axe, et Ton voit aisément que le méridien de cette nouvelle surface de révolution est la développée du méridien de la première.

Ainsi deux surfaces ne peuvent pas être prises arbitrairement pour être les deux nappes du lieu des centres de courbure d'une troisième surface. De ces deux nappes une seule peut être prise arbitrairement; et celle-ci étant donnée, l'autre s'ensuit nécessairement: ce qui donne lieu au problème suivant, que nous allons d'abord résoudre.

(hie surface courbe quelconque donnée étant regardée comme le lieu des centres dune des courbures dune autre surface^ troui^er i équation du lieu des centres de Vautre courbure,

La normale devant toucher les deux surfaces des centres de courbure, soient x\ y\ z les coordonnées de son point de contact avec la première, et x'\ y\ z" celles de son point de contact avec la seconde. De plus, soient

dz' = p'dx' -^q'dy'

l'équation différentielle de la première surface des centres, et

dz' =l/dx' -^q"df

celle de la seconde surface; il est clair que p '^ q' seront des fonctions de x' et j', et que /?'', q" seront des fonctions de x'\ r".

Cela posé, si par le point de contact de la normale avec la première surface des centres, et dont les coordonnées sont .r\ y\ z\ on mène un plan tangent à cette surface, l'équation de ce plan en

X, j, z sera

Mais ce plan contient la normale, et passe par conséquent par le point de contact de cette droite avec l'autre surface des centres, point dont les coordonnées sont x" ^ y'\ z" \ donc Téquation de ce plan aura lieu entre les trois coordonnées du second point de <^ontact, et Ton aura

De même, si, par le point de contact de la normale avec la seconde surface des centres, et dont les coordonnées sont x^\ y" ^ z" ^ on mène un plan tangent à cette surface, l'équation de ce plan en .r, j, z sera

et, parce que ce second plan contient encore la normale, et passe, par conséquent, par le point de contact de la normale avec la première surface des centres, point dont les coordonnées sont x\ )•', z\ il s'ensuit que l'équation du plan doit avoir lieu entre ces trois dernières coordonnées : donc on aura

if

De plus, par la propriété des courbures des surfaces courbes, les deux plans tangents que nous venons de considérer, et qui passent par la même normale, sont rectangulaires entre eux ; donc les coeffu^ients de leurs équations auront entre eux la relation suivante :

On aura donc , entre les coordonnées des deux surfaces des cen-

aux deux suivantes :

p'x" + q'f = O, pY -h q'/ = O,

entre lesquelles éliminant /j\ r/ ' , seules quantités qui contiennent encore .t', j', on aura

p'Y - rfx" = o,

équation aux différences partielles du premier ordre qui appartient à une surface quelcomjue de révolution autour de Taxe des z, et ^ qui d'ailleurs ne statue rien sur la nature du méridien de cette surface, qui est par conséquent arbitraire.

Donc, lorsqu'une des surfaces des centres se réduit à une droite, Tauti'e surface des centres est de révolution autour de cette droite <*onsidérée comme axe.

Passons maintenant à im autre cas particulier relatif à l'objet du parajiçraphe suivant, et supposons que la première surface des centres soit une surface développable quelconque; l'équation de cette surface sera, comme on sait, le résultat de l'élimination de Tindéterminée a entre les deux équations suivantes :

z/ = .r>a -h yWa -f- «, o = .r'4>'^ -hy'w^a -h- i ,

dont la seconde est la différentielle de la première, prise en regardant « comme seule variable, et dans lesquelles les fonctions 4* et 4sont arbitraires.

Kii différentiant, on aura et substituant pour s', p\ q leurs valeurs dans les équations ci-

dieu quelconque d'une surface de révolution est nonnal à cette surface dans chacun des points de la courbe du méridien. Concevons ensuite un second plan .tangent à la surface développable, infiniment voisin du premier, et qui coupera le premier dans la.droite de son contact avec la surface déyeloppable ; ce second plan tangent coupera la surface proposée dans une nouvelle courbe, et sera lui-même normal à la surface dans tous les points de cette intersection. L'élément de la surface proposée compris entre ces deux intersections consécutives, et qui sera partout perpendiculaire en même temps aux plans qui les produisent, pourra donc être regardé comme le fuseau indéfini d'une surface de révolution compris entre ces deux plans considérés comme méridiens consécutifs , et dont l'axe de rotation sera la droite d'intersection de ces deux plans. Cet élément pourra donc être regardé comme engendré par le commencement de rotation de l'intersection de la surface par le premier plan autour de la droite de son intersection avec le second; et, par conséquent, la courbe génératrice viendra s'appliquer sur l'intersection de la surface du second plan, et se confondre avec elle.

Concevons encore un troisième plan tangent à la surface développable, et infiniment voisin du second; il coupera le second plan dans une autre droite infiniment voisine de la première, et qui, comme elle, sera sur la surface développable. Ce troisième plan sera aussi normal à la surface dans tous les points de son intersection avec elle; l'élément de la surface compris entre cette troisième intersection et la seconde pourra aussi être regardé comme engendré par le commencement de la rotation de la seconde autour de la seconde droite; et, dans ce mouvement, la seconde intersection vient s'appliquer sur la troisième et se confondre avec elle.

En continuant de considérer ainsi la suite des plans consécutivement tangents à la surface développable, et qui touchent cette sur-

face dans les droites consécutives dont elle est le lieu général , on voit que chacun de ces plans produit une section sur la surface proposée, et que ces sections sont telles, que si la première se meut d* abord en tournant autour de la droite de son plan avec la surface développable , et qu'elle continue à se mouvoir en tournant toujours autour de la droite variable du contact de son plan actuel, elle viendra successivement s'appliquer sur toutes les autres, et se cx)nfondre entièrement avec chacune d'elles.

Il suit de là que la surface proposée peut être regardée comme engendrée par le mouvement d'une courbe plane arbitraire, constante de forme et de grandeur, et dont le plan roule sans glisser sur une surface développable quelconque .

Quelle que soit la nature de la surface développable sur laquelle roule le plan de la génératrice, et quelle que soit la nature de la génératrice elle-même considérée dans son plan, la surface engendrée a plusieurs propriétés générales indépendantes de ces particularités. L'énoncé de chacune de ces propriétés générales peut être ï^egardé comme une définition complète et sufBsante de la surface; et toutes ces propriétés sont exprimées dans une seule équation, ou peuvent en être déduites par les règles de l'analyse. Nous allons d'abord nous occuper de celles de ces propriétés générales qui se ciéduisent le plus facilement de la génération que nous venons de trouver.

Par chacun des points d'une surface courbe quelconque passent t:oujours deux lignes de courbure qui se coupent à angles droits sur la surface; et chacune de ces deux lignes est telle, que si par tous les points on mène des normales à la surface, ces normales se ren-

contrent consécutivement deux à deux, c'est-à-dire sont toutes tangentes à une même courbe, qui, en général, est à double courbure, et réciproquement. Or, si, considérant la génératrice de la proposée dans une position quelconque, on mène par tous ses points des normales à la surface, ces droites ^ qui seront aussi nmmales à la génératrice, seront toutes dans le plan générateur; elles se rencontreront donc consécutivement deux à deux, et elles seront toutes tangentes à une même courbe, qui, dans ce cas, sera la développée plane de la génératrice.

11 suit de là, i^ que la génératrice, dans toutes ses positions, est la ligne d'une des courbures de la surface engendrée; ^ que cette ligne de courbure est toujours plane. Mais un plan ne peut être susceptible d'une seule série de positions, et être mobile d'une manière plus générale que de rouler sur une surface développable quelconque : donc il n'y a point d'autre surface qui jouisse de la même propriété ; donc la surface engendrée est définie d'une manière complète lorsque l'on énonce qu'une de ses lignes de courbure est constamment plane.

La courbe parcourue par chacun des points de la génératrice est perpétuellement normale au plan générateur; elle est donc aussi perpétuellement normale à la génératrice, et, par conséquent, aux lignes d'une des courbures : donc elle est une des lignes de l'autre courbure.

Il est bien évident que la surface développable touchée par toutes les normales, ou sur laquelle roule le plan générateur, est la surface des centres d'une des courbures; mais nous venons de voir qu'en considérant le plan générateur dans une position quelconque, toutes les normales à la surface qu'il contient sont tangentes à la développée plane de la génératrice : cette développée

est donc sur la surface des centres de l'autre courbure, surface qui est le lieu de toutes les développées qui conviennent aux positions différentes et successives du plan générateur. Or, la génératrice est constante de forme et de position dans son plan mobile; sa développée est, par conséquent, aussi constante de forme et de position dans le même plan : donc, en même temps que la génératrice engendre la surface proposée, sa développée constante engendre la surface des centres de la seconde courbure.

La surface proposée est donc définie d'une manière complète lorsque l'on dit que la surface des centres de Tune de ses courbures est engendrée par le mouvement d'une courbe plane constante de forme, dont le plan, sans glisser, roule sur une surface développable quelconque, ou lorsque l'on dit que la surface des centres d'une de ses courbures a toutes ses normales tangentes à la même surface développable.

La surface proposée peut avoir des lignes singulières ou des points singuliers qui dépendent et de la surface développable sur laquelle roule le plan générateur, et de la nature même de la génétrice; mais, indépendamment de ces particularités, elle a une arête <le rebroussement nécessaire , qui est une suite de sa génération . Kn ^ffet, concevons que le plan générateur roule sur la surface jusqu'à ^e que la génératrice se soit entièrement appliquée sur elle, et que les points dans lesquels se fait cette application laissent leurs traces sur la surface développable; on aura sur cette surface une courbe à <loid)le courbure, qui sera en même temps sur la surface engendrée. Cela posé, considérons un point quelconque de la généra- 1:rice; ce point décrit une courbe qui d'abord s'approche de plus en plus de la surface développable, à laquelle elle devient perpen-

diculaire au moment où le point décrivant s'applique sur cette surface. Le point décrivant, ne pouvant pas pénétrer au delà de la surface développable, se réfléchit; la nouvelle branche de la courbe qu'il parcourt commence par être encore normale à la surface développable, dont elle s'éloigne ensuite de plus en plus. La ligne de seconde courbure qu'il parcourt a donc un point de rebroussement placé sur la surface développable en un des points de la trace de la génératrice. La même chose ayant lieu pour toutes les autres lignes de seconde courbure, il s'ensuit que la surface engendrée a une arête de rebroussement ; que cette arête est la trace même de la génératrice sur la surface développable ; qu'elle est perpétuellement touchée par la génératrice, et qu'elle est, par conséquent, le lieu de l'intégrale particulière de toutes les lignes de courbure planes.

Si l'on suppose que le plan générateur continue de rouler sur la surface développable jusqu'à ce que la développée de la génératrice s'y soit aussi entièrement appliquée, et que cette développée y ait aussi laissé sa trace, on aura sur la surface développable une nouvelle courbe à double courbure , qui sera évidemment une arête de rebroussement pour la surface des centres de la seconde courbure. Cette arête se trouvant en même temps sur les deux surfaces des centres, chacun de ses points sera un centre commun aux deux courbures. Donc, si l'on conçoit toutes les tangentes possibles à cette arête, chacune de ces droites sera normale à la surface engendrée, et la coupera en un point pour lequel les deux courbures de la surface seront égales entre elles et dans le même sens. Donc la courbe qui passera par tous ces points sera sur la surface une ligne singulière; ce sera celle de ses courbes sphériques.

La surface engendrée jouit généralement de la propriété exprimée par la règle de Guldin; car, si Ton suppose qu'un arc fini et constant de la génératrice soit entraîné par le plan générateur et parcoure une zone finie sur la surface, cette zone finie pourra être considérée comme divisée, par les positions consécutives de la génératrice, en fuseaux infiniment étroits de surface de révolution : l'aire de chacun de ces fuseaux sera égale à l'arc multiplié par le chemin que parcourt le centre de gravité de cet arc; donc l'aire de la zone entière sera égale à cet arc, facteur commun, multiplié par la somme des espaces parcourus par le centre de gravité.

On reconnaît de même que si l'on circonscrit sur le plan générateur un espace par une courbe quelconque continue ou discontinue, mais rentrante en elle-même, la solidité du volume parcouru par cet espace est égale au produit de l'aire de l'espace multiplié par l'arc que parcourt le centre de gravité de l'aire.

Si la génératrice est une droite fixe dans le plan et mobile avec* lui, la surface engendrée sera une nouvelle surface développable, dont l'arête de rebroussement , perpétuellement touchée par la droite génératrice, est entièrement sur la première surface développable. Cette nouvelle surface développable est perpétuellement normale au plan générateur, tandis que la première est perpétuellement touchée par lui. Enfin, ces deux surfaces développables ont entre elles cette relation , que la première est la développée de la seconde : ainsi les surfaces développables ne sont qu'un <*as infiniment particulier de la surface que nous considérons.

Seconde génération. — Une surface quelconque de révolution, constante de forme et de grandeur, étant supposée fixe s|ir son axe, mais mobile avec lui, cqncevons que Taxe tourne autour d'un de ses propres points, et entraîne la surface de révolution dans une seconde position , à une distance quelconque de la première ; on aura alors deux surfaces de révolution semblables et égales entre elles, et placées à égales distances du point d'intei^section de leurs axes. Ces deux surfaces se couperont dans une courbe plane, dont le plan passera par le point commun aux deux axes, sera perpendiculaire au plan des deux axes, et partagera en deux parties égales l'angle que les deux axes forment entre eux.

Gela posé, concevons que l'axe de la surface de révolution roule sur une courbe à double courbure quelconque, c* est-à-dire se meuve de manière à être perpétuellement tangent à cette courbe, sans glisser sur elle, et qu'il entraîne avec lui la surface de révolution ; il engendrera une surface développable qui aura pour arête de rebroussement la courbe perpétuellement touchée, et la surface de révolution , constante de forme et de grandeur, parcourra un espace dont l'enveloppe sera la siœface dont nous nous occupons.

En effet, considérons deux enveloppées consécutives qui sont ici deux surfaces de révolution semblables et égales entre elles, dont les axes se coupent, puisqu'ils sont deux tangentes consécutives d'une même courbe, et qui sont toutes deux à la même distance de ce point de rencontre des deux axes. La courbe d'intersection de ces deux enveloppées, courbe qui sera la caractéristique de l'enveloppe, sera plane, ne différera pas du méridien de l'enveloppée, et sera, par conséquent, constante de forme comme lui. Le plan de cette caractéristique passera par le point commun aux deux

axes, et sera perpendiculaire au plan qui passe par ces deux axes; il sera donc perpendiculaire au plan tangent à la surface développable parcourue par l'axe. Enfin ce plan, devant partager en deux parties égales Tangle infiniment petit formé par deux axes consécutifs, pourra être considéré comme passant par l'un d'eux, et, par conséquent, comme tangent à la courbe touchée par l'axe mobile. Donc le plan de la caractéristique sera perpétuellement tangent à la surface développable qui est la développée de celle que parcourt l'axe. Mais ce plan est normal à l'enveloppe dans tous les points de la caractéristique : donc il contiendra toutes les normales pour les diflFérents points de la caractéristique; donc toutes ces normales seront tangentes à la surface développable, développée de celle qu'engendre l'axe; donc l'enveloppe est telle, que toutes ses normales sont tangentes à une même surface développable.

Dans la génération que nous venons de donner, les points qui se correspondent dans les différentes caractéristiques sont tous à la même distance de leurs axes respectifs; les courbes qui passent par ces points homologues ont donc tous leurs points à la même distance de la surface développable parcourue par l'axe de l'enveloppée: donc la surface que nous considérons n'est autre chose que celle de la moulure générale poussée sur ime surface développable quelconque, au moyen d'un profil arbitraire continu ou discontinu, mais qui doit être plan, et dont le plan doit toujours être normal à la surface développable, et être tangent à l'arête de rebroussement de cette dernière surface.

Cette propriété comporte encore une définition complète et exacte de la surface que nous considérons.

Toute surface de révolution peut être regardée comme l'enveloppe de l'espace parc^ouru par une sphère variable de rayon, et dont le centre se meut sur Taxe. Dans la génération précédente, chacune des enveloppées peut donc elle-même être regardée comme l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère variable arbitrairement de rayon, et dont le centre se meut sm* une des droites de la surface développable ; mais ce qu'il y a d'arbitraire dans la variation du rayon n'a lieu que pour une seule surface de révolution: en sorte que, pour toutes les autres, les sphères dont les centres se trouvent sur une même ligne de courbure de la surface développable doivent avoir le même rayon que celle qui leur correspond dans la première surface de révolution.

D'après cela, étant donnée une surface développable quelconque, si l'on conçoit qu'une sphère variable de rayon se meuve de manière que son centre parcoure successivement tous les points de cette surface, avec cette condition cependant que la sphère soit toujours de même rayon lorsque son centre est sur la même ligne de courbure de la surface développable, quelle que soit d'ailleurs la loi suivant laquelle elle en change quand le centre passe d'une des lignes de courbure à une autre, cette sphère parcourra un espace dont l'enveloppe générale, ou la double enveloppe, sera la surface que nous considérons.

Il est nécessaire de donner une épithète à l'enveloppe dont il s'agit ici, parce qu'elle diffère de toutes celles dont nous nous sommes occupés jusqu'à présent. Les enveloppes simples touchent l'enveloppée dans une courbe qui est la caractéristique et qui est l'intersection de deux enveloppées consécutives. L'enveloppe que nous considérons ne touche chaque enveloppée qu'en un seul

point, déterminé sur l'enveloppée par T intersection des deux caractéristiques. Dans le cas présent, une quelconque des sphères est coupée dans la circonférence d'un de ses petits cercles par celle qui la suit immédiatement, et dont le centre est placé sur la même droite de la surface développable ; elle est coupée dans la circonférence d'un de ses grands cercles par celle qui la suit immédiatement, et dont le centre est sur la même ligne de courbure de la surface développable : et c'est dans le point d'intersection de ces deux circonférences qu'elle est touchée par la double enveloppe. La courbe qui touche la série des petits cercles de mêmes rayons, et qui est leur intégrale particulière, est une des caractéristiques de la double enveloppe ; celle qui touche une série de grands cercles de rayons différents, et qui est leur intégrale particulière, est l'autre caractéristique de la double enveloppe : et c'est encore dans l'intersection de ces deux caractéristiques que la double enveloppe touche la sphère individuelle.

Dans la dernière génération, si l'on considère la suite des sphères de même rayon, dont les centres sont placés sur la même ligne de

courbure de la surface développable, l'enveloppe simple de ces sphères sera la surface d'un tuyau circulaire de rayon constant, et dont l'axe curviligne sera la ligne de courbure elle-même. Cette surface sera touchée par la surfaire engendrée dans une courbe dont tous les points seront distants de la ligne de courbure, d'une quantité égale au rayon constant du tuyau ; et si l'on considère les surfaces de deux de ces tuyaux consécutifs et de rayons différents, elles se couperont dans la courbe de contact du tuyau avec la surface engendrée.

Donc, si l'on suppose que la surface du tuyau soit mobile, de

manière, i^ que son axe curviligne se confonde successivement avec les difFérentes lignes de coiu'bure de la surface développable; 2^ que son rayon, qui est constant pour toute retendue du tuyau, varie d'une manière quelconque, en même temps que l'axe curviligne change de position, elle parcourra un espace dont l'enveloppe simple sera la surface engendrée. La stirface du tuyau mobile est donc une enveloppée nouvelle, et l'intersection de deux de ces enveloppées consécutives produit la seconde caractéristique de l'enveloppe, comme l'intersection de deux surfaces de révolution consécutives produit la première.

Donc enfin, en regardant la seconde caractéristique comme une génératrice, la surface est engendrée par le mouvement d'une courbe variable de forme et de grandeur, qui se meut de manière qu'elle soit perpétuellement une trajectoire orthogonale du plan mobile qui contient la génératrice plane.

Recherche de l'équation intégrale de la surface.

Nous avons vu que la surface dont toutes les normales sont tangentes à une même surface développable quelconque e^t susceptible de cinq générations essentiellement difFérentes.

Elle peut être engendrée par une courbe mobile de deux manières différentes: ou par une courbe plane, constante de forme, de grandeur et de position dans son plan, mais dont le plan roule sans glisser sur la surface développable; ou par une courbe à double courbure, variable de grandeur, qui se meut de manière qu'elle ne cesse pas d'être une trajectoire orthogonale au plan mobile qui contient la génératrice plane.

Elle peut être considérée comme enveloppe simple de l'espace parcouru par deux surfaces mobiles essentiellement différentes : ou

par une surface de révolution quelconque constante de fonne et de position sur son axe, mais dont Taxe se meut de manière à être perpétuellement tangent à une même courbe à double courbure; ou par la surface d'un tuyau à section circulaire, dont le rayon est constant dans toute son étendue, dont Taxe curviligne se confond perpétuellement avec la ligne de courbure d'une même surface développable , et qui se meut de manière qu'elle change de rayon «suivant une loi quelconque, lorsque l'axe curviligne change de position et passe d'une ligne de courbure à ime autre.

Enfin, elle peut être considérée comme l'enveloppe générale de l'espace parcouru par une sphère mobile et variable de rayon, dont le centre parcourra successivement tous les points d'une même surface développable quelconque, et dont le rayon, constant lorsque le centre reste sur la même ligne de courbure de la surface développable, change de grandeur d'ime manière quelconque, lorsque le centre passe d'une des lignes de courbure à une autre.

Chacune de ces cinq générations peut conduire directement à toutes les équations de la surface, tant intégrale qu'aux différences partielles de tous les ordres; mais elles ne le font pas avec la même facilité. Pour l'équation intégrale, c'est la dernière génération qui exige des considérations moins compliquées, et c'est elle que nous allons employer : ainsi nous regarderons la surface comme enveloppe générale de l'espace parcouru par une sphère mobile.

La surface développable parcourue par le centre de la sphère mobile peut être regardée en même temps et comme le lieu des tangentes de son arête de rebroussement, et comme le lieu des développements de cette arête; en sorte qu'un point est déterminé sur

cette surface, lorsqu'on indique la tangente de l'arête de rebrousse-

ment et la développante de cette arête, à l'intersection desquelles il doit se trouver.

Cela pose, soient

les deux équations de T arête de rebroussement de la surface développable parcourue par le centre de la sphère mobile; puis, considérant la tangente de cette arête dans une position quelconque, soit a la valeur de z au point de contact : les trois coordonnées de ce point de contact seront

Les deux équations de la tangente en j;, j seront donc

La position de cette tangente sur la surface développable sera déterminée par la valeur de a; et si Ton élimine a entre les deux équations précédentes, on aura l'équation du lieu des tangentes, c'est-à-dire de la surface développable elle-même.

L'élément de l'arc de l'arête de rebroussement sera évidemment

ou, en faisant, pour abréger, i + ^'^ + ^1,'^=^% l'expression de cet élément sera

et, par conséquent, la longueur de l'arc rectifié de l'arête df

rebroussement sera

fhdoc.

Cette expression comprend implicitement ime constante arbitrai qui dépend du point de l'arête par lequel commence sa rectificatic Actuellement, si, pour obtenir le point d'une développante.

trois coordonnées d'un point quelconque de cette nouvelle développante seront

Lt»s valeurs de ces trois coordonnées sont donc celles d'un point

déttTininé sur la surface développable par les valeurs des deux |uantitcs a, ^3, dont la première indique la tangente de l'arête de ^chroussenient, dont la seconde indique la développante de cette

arctc, et qui, par leur intersection, déterminent ce point sur la

surface,

Il n'est peut-être pas inutile d'o!>server, en passant, i** que les ti*ois dernières équations appartenant au point général d'une surfaire <lcveloppiU>le, si Ton élimine entre elles les deux quantités «, [ï, le ivsultat de félimination en a\ v, 3 n'est autre chose que r(''(|uation de la surface développable elle-même; 2^ que si Ton élitiiiut* [i seule, ce qui entraîne aussi l'élimination de ÇhdoL^ les deux i'*quations résultantes

sout vAWs de la tangente dont la position est déterminée par la valeur de a; 3*" enfin, que si Ton élimine a seule, ce qui ne peut s'ellccluer Uuit (jue les fonctions ^ et ^ sont regardées conmie arbili*aii*es, It^s deux équations résultantes sont celles de la développaute de farête de rebroussement déterminée par la valeur de /3 (|ui r(*Ht(* dans les équations.

Considérons actuellement la sphère mobile, et représentons par •'^'j y' ■> 2' les coordonnées de son centre ; comme ce centre est un point de la surface développable, on aura

s'=a — -^ (/3 -h/Arfa).

D'ailleurs le rayon de la sphère étant constant lorsque son centre est sur une même développante de l'arête de rebroussement, et variable lorsque le centre passe d'une développante à une autre, ce rayon est donc constant et variable en même temps que j3, et, par conséquent, fonction de |3. De plus, la forme de cette fonction dépend uniquement de la nature de la génératrice plane, qui est arbitraire : ainsi le rayon de la sphère mobile est une fonction arbitraire de /3 que nous représenterons par 7r|3. Donc l'équation en x^y^z de la sphère mobile sera

. {X - x'Y H- {y-y'r -h (z - ^y = {tt^Y,

ou, en remettant pour x', y', z' leurs valeurs,

-|-[z — «H-^(/3-|-/Arfa)]' que, pour abréger, nous représenterons par M = o.

Or, si Ton considère deux sphères consécutives dont les centres soient sur la même développante, la quantité ^ aura la même valeur pour toutes deux; leurs équations ne différeront entre elles que par la valeur de a qui aura varié de Tune à l'autre. Elles se couperont dans un grand cercle dont la circonférence passera par le point de contact de l'enveloppée avec l'enveloppe générale, et la différentielle de M = o, prise en regardant a comme seule variable, c'està-dire

appartiendra à la circonférence de ce grand cercle.

De même, si l'on considère deux sphères consécutives dont les centres soient sur la même tangente à l'arête de rebroussement, les équations de ces deux sphères ne différeront entre elles que par la valeur de ^ qui aura varié de l'une à l'autre. Ces sphères se couperont dans un petit cercle dont la circonférence passera encore par le point de contact de l'enveloppée avec l'enveloppe générale; et la différentielle de M = o, prise en ne faisant varier que /3, c'està-dire

appartiendra à la circonférence de ce petit cercle.

Donc on aura pour le point de contact de la sphère mobile avec l'enveloppe générale, les trois équations

' /dM\

mais le point de contact, en vertu des valeurs dont sont suscep

tibles les deux indéterminées a, /3 peut être transporté successivement sur tous les points de la surface engendrée, qui n'est autre chose que le lieu de tous les points qu'on peut obtenir en donnant successivement à a et à |3, dans ces trois équations, toutes les valeurs possibles; donc le résultat de l'élimination des deux indéterminées a et /3, entre les trois équations précédentes, est, en a?, j^-, z, l'équation intégrale de la surface engendrée.

Si des trois équations précédentes on ne considère que les deux

premières

/dM\

dans lesquelles la quantité |3 ait une valeur déterminée et constante, il est clair qu'elles appartiennent à la circonférence du grand cercle dans laquelle la sphère mobile est coupée par celle qui est de même rayon et infiniment voisine. Le plan de ce cercle est normal à la surface développable , et passe par une tangente à l'arête de rebroussement; son centre est toujours sur une même développante de cette arête : la position du centre sur la développante est déterminée par la valeur de a, et le rayon est constant. Le lieu de tous les cercles qu'on obtiendrait en donnant à a, dans les équations, toutes les valeurs possibles, est la surface d'im tuyau à section circulaire, de rayon constant, et dont l'axe curviligne serai^ une des développantes de l'arête de rebroussement de la surface développable.

Donc le résultat de l'élimination de a entre les deux seules équations est, en x, j, z et ^, l'équation intégrale de la surface du tuyau à section circulaire, constant de rayon, et dont l'axe curvi-

ligne est une des lignes de courbure de la surface développable, équation dans laquelle la valeur de /3 détermine quelle est la ligne de courbure qui sert d'axe curviligne.

La surface de ce tuyau est un cas particulier de la sur&ce engendrée; c'est celui où la génératrice plane, constante de forme. et de position dans son plan, est la circonférence d'un cercle : et nous avons déjà vu qu'en le supposant mobile en vertu de la variation de son paramètre /3, elle est une enveloppée de la surface engendrée, considérée comme une enveloppe simple.

De même, si des trois équations qui comportent l'équation intégrale de la surface engendrée on ne considère seulement que la première et la dernière, c'est-à-dire

dans lesquelles a ait une valeur déterminée et constante, il est évident qu'elles appartiennent à la circonférence du petit cercle dans lequel la sphère mobile est coupée par celle qui est infiniment voisine, et dont le centre est sur la même tangente à l'arête de rebroussement de la surface développable. Le plan de ce cercle est perpendiculaire à la tangente; son centre est sur cette même tangente, et la positign du centre est déterminée par la valeur de ]3. Le lieu des circonférences de tous les cercles qu'on obtiendrait ainsi, en donnant dans ces deux équations toutes les valeurs possibles à /3 , est évidemment une surface de révolution autour de la tangente considérée comme axe. Donc le résultat de l'élimination de /3, entre ces deux équations seulement, est, en .r, j, z et a, l'équation intégrale

d'une surface de révolution dont le méridien est arbitraire et invariable, qui est fixe sur son axe, et dont Taxe est tangent à une courbe à double courbure. Dans cette équation, la grandeur de « détermine la position de Taxe de révolution.

Cette surface de révolution est encore un cas particulier de la surface engendrée, car elle n'est autre chose que ce que celle-ci devient lorsque la surface développable , autour de laquelle roule le plan générateur, est réduite à une droite; et nous avons vu qu'en la supposant mobile, en vertu de la variation de son paramètre a, c'est-à-dire qu'en supposant que son axe roule sans glisser sur l'arête de rebroussement de la surface développable, elle est une autre enveloppée de la surface engendrée considérée comme enveloppe simple.

Reprenons les trois équations

et supposons que des deux quantités «, /3 la première ait une valeur déterminée et invariable, tandis que la seconde est encore susceptible de toutes les valeurs possibles. Le centre de la sphère mobile ne pourra plus se transporter sur tous les points de la surface développable ; il ne pourra se mouvoir que le long de la seule tangente de l'arête de rebroussement déterminée par la valeur de a. Le point de contact de la sphère mobile avec l'enveloppe générale, point auquel appartiennent les trois écjuations, ne pourra plus parcourir successivement toute cette enveloppe; quelque valeur

que Ton donne à j3, il se trouvera toujours sur la courbe de contact de r enveloppe générale avec la surface de révolution autour de la tangente individuelle déterminée par la valeur de a. Or cette courbe de contact, qui est le lieu du point pour toutes les valeurs possibles de j3, est évidemment là première caractéristique de la surface engendrée. Donc, si entre ces trois équations on élimine la seule quantité /3, les deux équations résultantes seront, en a?, r? 3, a, et sous forme intégrale, celles de la première caractéristique de la surface engendrée, et, dans ces équations, la valeur de a déterminera la caractéristique individuelle.

Supposons, au contraire, que dans les trois équations du point de contact de la sphère mobile avec l'enveloppe générale, ce soit :S qui ait une valeur déterminée et invariable, tandis que a est' à son tour susceptible de toutes les valeurs possibles; le centre de la sphère mobile ne pourra plus se mouvoir que sur une certaine développante individuelle de l'arête de rebroussement, développante qui sera déterminée par la valeur particulière de j3 . Quelque valeur que l'on donne à a, le point de contact se trouvera sur la

courbe de contact de l'enveloppe générale avec la surface du tuyau circulaire dont l'axe curviligne correspond à la valeur particulière de |3. Mais cette courbe de contact, lieu de ce point pour toutes les valeurs possibles de a, est la seconde caractéristique de l'enveloppe générale : donc si , entre les trois équations

/dM\

/dM\

on élimine seulement la quantité a, les deux équations résultantes seront, en j?, j, z, /3, et sous forme intégrale, celles de la seconde caractéristique de la surface engendrée , équations dans lesquelles la valeur de /3 déterminera la caractéristique individuelle.

Le raisonnement que nous venons de faire pour trouver les équations intégrales des caractéristiques est général, et peut être employé pour toute surface dont F équation résulte de l'élimination de deux indéterminées a, /3 entre trois équations dont les deux dernières sont les différentielles de la première, prise en regardant a (pour Tune) et /3 (pour l'autre) comme seules variables; c'est-à-dire pour toute surface qui , dans son équation intégrale , est regardée comme enveloppe générale.

Mais, dans le cas présent, et pour la première caractéristique,

l'opération devient beaucoup plus simple, car l'équation ( -^ ) =^^ est immédiatement

dans laquelle la quantité /3 a naturellement disparu; en sorte que l'élimination de /3 est toute opérée : ainsi cette équation appartient purement à la première caractéristique. Or, pour une même valeur de a, c'est-à-dire pour une même caractéristique individuelle, cette équation est évidemment celle d'un plan; donc la première caractéristique est une courbe plane. D'ailleurs le plan passe par le point de l'arête de rebroussement pour lequel on a

x — ç = o, y — %!. = o, z — a = o. De plus, il est facile de reconnaître qu'il est tangent à cette arête,

et normal au plan osculateur de cette courbe; donc le plan de la première caractéristique passe par une tangente de l'arête de rebroussement, et est toujours normal à la surface développable, et, par conséquent, est toujours tangent à la surface développable, développée de celle-ci, etc. : propositions que nous avions trouvées précédemment par des considérations géométriques, et qui se déduisent analytiquement de l'équation intégrale obtenue par d'autres considérations.

Ilec/ierches des équations aux différences partielles du premier

ordre.

Le propre des équations aux différences partielles du premier ordre est d'exprimer les propriétés des surfaces par rapport à leurs plans tangents ou à leurs normales; il s'agit donc d'exprimer que toutes les normales sont tangentes à une même surface développable, ou que chacune d'elles est dans un plan tangent à une même surface développable.

En représentant par r, j, z les coordonnées du point de la surface, et si l'on représente par .r', y\ z' celles de la normale en ce point, les équations de la nonnale sont

or l'équation du plan tangent à une surface développable quelconque est

dans laquelle la valeur de a détermine le plan tangent individuel, et dans laquelle les formes des deux fonctions <l> et ^ sont inva-

riables, et la surface développable est toujours la même. Il faut clone que les deux équations de la normale satisfassent à celle du plan; mais si Ton élimine entre ces trois équations deux quelconques des coordonnées .r', j', z', la troisième disparaît aussi, et

l'on a

p^OL -H q'^cf! -h I ^ o,

équation qui doit avoir lieu pour tous les points de la surface. De plus , le point de la surface devant se trouver sur le plan tangent à la surface développable, on aura aussi

z = a:<I)a' + yH'oc^ H- a.

Donc une des équations aux différences partielles du premier ordre de la surface proposée est le résultat de l'élimination de l'indéterminée a' entre les deux équations précédentes.

On peut obtenir le même résultat par la considération du plan tangent, dont la propriété est évidemment d'être constamment perpendiculaire au plan générateur. En effet, le plan générateur étant toujours tangent à une même surface développable, a pour équation

de plus, l'équation du plan tangent est évidemment

z = px -h qy H- constante ,

dans laquelle les quantités /?, 17 et la constante sont fonctions des coordonnées du point de contact, constant pour chaque plan tangent. Or ces deux plans doivent être rectangulaires; donc il doit y avoir entre les coefficients de leurs équations la relation suivante :

p^u H- çr^a' -+-1=0.

On a donc pour tous les j)oints d'une même génératrice plane, déterminée par la valeur particulière de a', les deux équations

;: =z .r*a' -h yWoc^ -h a', o = p^oc' -h qWa -h I ;

donc le résultat de T élimination de a entre les deux équations appartiendra au lieu général de la génératrice plane, c'est-à-dire à la surface qu'elle engendre par son mouvement.

Si, dans les deux équations précédentes, on regarde a' comme constante, la seconde est celle d'mie surface cylindrique à base quelconque, dont la droite génératrice est constamment perpendiculaire au plan qui a pour équation la première; or les quantités p et (/, qui entrent dans l'équation de la surface cylindrique, sont les mêmes que celles qui appartiennent à la surface engendrée : donc la surface cylindrique touche la surface engendrée dans toute l'étendue de la caractéristique plane qui peut être considérée comme sa base; donc on peut la regarder comme l'enveloppée cylindrique de la surface engendrée : ce qui fournit la génération suivante.

Si l'on conçoit qu'une surface cylindrique quelconque, constante de base, se meuve de manière que, si on la considère dans deux positions consécutives, la courbe suivant laquelle les deux surfaces cylindriques se coupent soit toujours dans le plan parallèle à la base mobile, cette surface parcourra un espace dont l'enveloppe sera la surface que l'on considère.

Nous avons vu (art. IV) que si le lieu des centres d'une des courbures est une surface développable quelconque, l'équation du

lieu des centres de l'autre courbure est le résultat de rélimination de a entre les deux équations

z = x^cK '-\- y'\(x. H- a, o = /?$a -h q^oL -h I .

Or nous venons de voir que cette même équation est celle de la surface engendrée par une courbe plane dont le plan roule sans glisser sur la même surface développable : la surface que nous considérons est donc telle , que le lieu des centres de la courbure , prise dans le sens de la génératrice plane, est une surface soumise à la même génération qu'elle; ce que nous avions déjà trouvé par des considérations géométriques.

Lia quantité que nous représentons par a' dans l'équation aux différences partielles n'est pas la même que celle que nous avons exprimée par a dans l'intégrale; de même les fonctions arbitraires <t et V ne sont pas les mêmes que les fonctions (p et 4 qui entrent dans l'intégrale : mais ces six quantités ont entre elles une relation qu'il est facile de trouver. En effet, l'équation

est celle du plan générateur pour lequel (art. XXV) nous avons trouvé une autre équation en a, ^, 4- Si l'on met cette dernière équation sous la forme précédente, on a

dh

Ces deux équations appartenant au même plan, il faut que leurs coefficients soient respectivement égaux; donc, en mettant pour

hdh sa valeur ((p'(p'^ -h 4'4'^)fi?a, on aura les trois équations

Oa = — (p' H ^-

yVcc' = 4' -^

Cf'(fff-^i^,^l^t^f

Au reste, ces trois quantités cc\ ^cc\ ^a' sont les coeffidents du plan qui touche l'arête de rebroussement au point dont les coordonnées sont ^a, 4^9 ^9 6t qui est perpendiculaire au plan qui oscule la courbe en ce point.

D'après cela, il est facile de vérifier que l'équation aux différences partielles du premier ordre, que nous venons de trouver directement par les considérations géométriques, est la même qu'une de celles qu'on aurait obtenues en différentiant l'intégrale comprise

dans les trois équations M = o, i-j—) = o, (-^â-) = o; car,

de l'article XXV, et de ce qui précède, il suit que l'équation

( —i— ) = o est la même que

De plus, si l'on différentie M = o, en regardant successivement .r, / comme seules variables, et en regardant a, |3 comme constantes, ce à quoi on est autorisé en vertu de ( -j- )=o, ( -jg )=o,

on obtient deux autres équations qui, par l'élimination de (3, et en vertu des valeurs précédentes, produisent

/?4>a' -h 7^a' H- 1 = o, comme nous l'avons déjà trouvé.

Si Ton voulait traiter cette équation aux différences partielles du premier ordre pour Tintégrer, il faudrait d'abord chercher l'équation de la projection de sa caractéristique sur le plan des r, r, et l'on trouverait

<Pa(i^' — Wu(lx = o;

ce qui donnerait pour les projections de la même courbe sur les deux autres plans

^oc'dz -h (Lr = o, ^'oc^dz -h dy = o,

équations dont deux quelconques comportent la troisième. Or ces équations sont évidemment celles d'ime courbe perpétuellement noimale au plan qui a pour équation

et qui est mobile en vertu de la variation de a'; donc la caractéristique dont il s'agit ici est une trajectoire orthogonale du plan générateur ; ce que nous savions déjà.

Si, des trois dernières équations, on tire les valeurs de a', Oa',

M'a', on trouve

/ X{lx -hydy -f- zdz

dz

, —dx (I)a = -j — , dz

dz

Donc, si l'on établit que de ces trois quantités différentielles deux quelconques sont fonctions arbitraires de la troisième, on aura les

deux équations aux différences ordinaires de la caractéristique, qui seront

- / xda: -+- ydy -}- zdz \ dx

„. ( xdx H- ydy H- zdz \ dy

L'équation intégrale contenant les trois fonctions arbitraires (p, 4? '^ doit être susceptible de trois équations aux différences partielles du premier ordre, dans chacune desquelles une des trois fonctions arbitraires ait dispaini. Nous venons de trouver celle de ces trois équations qui est délivrée de la fonction t; il resterait donc à trouver celles qui ne contiendraient que (p et tt pour Tune, et ->!. et TT poiu* r autre. Ces deux équations sont de la nature de celles qu'on a coutume de regarder comme intégrales intermédiaires qui n'existent pas; elles existent néanmoins, mais on ne peut les obtenir que sous la forme d'équations aux différences mêlées, ordinaires et partielles, celles-ci étant du premier ordre. Je ne pourrais être clair sans entrer dans des détails préliminaires trop étendus, et je réserve à en parler dans un Mémoire dont l'unique objet sera la théorie et la construction des surfaces exprimées par les équations aux différences mêlées, ordinaires et partielles, et dans lequel la surface dont nous nous occupons entrera comme un exemple remarquable.

Recherche des équations aux différences partielles du second

ordre.

Les équations aux différences partielles du second ordre expriment les propriétés des surfaces, relatives ou à leurs lignes de cour-

bure ou à leurs rayons de courbure. Or la surface que nous considérons jouit, par rapport à ses courbures, de deux propriétés qui conviennent à toutes les surfaces individuelles de la même génération, et qui ne conviennent qu'à elles : la première est qu'une de ses lignes de courbure est constamment plane; la seconde est que, pour l'autre ligne de courbure, le rayon de la première courbure est constant. Donc , pour trouver les équations aux différences partielles du second ordre, il faut exprimer ces deux propriétés. Occupons-nous d'abord de la première.

Un plan ne peut convenir à toutes les lignes successives d'une même courbure, à moins qu'il ne soit mobile en vertu de la variation d'un seul de ses paramètres, ou que son équation ne soit de cette forme,

dans laquelle a est constante pour chacune des lignes de courbure plane, et variable d'une de ces lignes à la suivante. De plus, ce plan devant contenir toutes les normales à la surface qui passent par les points de la ligne de courbure, on doit avoir l'équation

p<Pa -h q^'cc +1=0.

Actuellement l'équation générale des lignes de courbure est, comme

on sait,

{dx -h pdz) dq = {dy -+- qdz) dp.

Pour que cette courbe soit dans le plan, il faut que la valeur de -j- >

produite par son équation, soit égale à celle que donne l'équation du plan, différentiée en regardant a comme constante, c'est-à-dire

soit éfi^ale à — m—^' Faisant cette substitution, on trouve

(\t'a — q) (rOa -h sWa) = ($a — p) {s<b(x •+• «Va). On a donc entre les trois quantités a, $a, Va trois équations des-

((iielles il est facile de tirer les valeurs, et entre lesquelles on peut, par conséquent, éliminer Tindéterminée a. Kn faisant, pour abréger,