I -\- p' -h y" = Aet

on trouve pour les quantités a, 4>a, ^ « les valeurs suivantes :

,, . .r(/M -^qt — q\) —r(pr -\- qs — p\ )

rqr-^{q^ — p^]!i — pqt

^rj = />5 + qt -q\ ^

pqr-^(q'—p')s — pqt

4 « = PL-^qs-p\

pqr^[q' — p^-)s—pqt

Donc, en éliminant a, on a pour la surface les deux équations aux différences partielles du second ordre

pqr-\-(p^—q-)s—pqt { pq'-^(q' — r')^—pq^ ï

/>r -h qs — p\ ^^r\^^ .r(;;54-yf — yV )—>'(/>/• -f-y.v— /A )1

pqr-\-[q^ — p*)s—pql [ pqr -h (q' — p')s — pqf J'

dont chacune contient encore une des deux fonctions arbitraires <1>, M , et est, par conséquent, aussi générale que l'intégrale finie, (jui en contient trois.

liCS deux équations que nous venons de trouver d'après la propriété que la ligne de courbure a d'être plane, auraient pu être obtenues par la différentiation partielle de celle du premier ordre. Nous avons vu, en effet (art. XXVI), que celle-ci est le résidtat

et employant pour V cette valeur, au lieu d'une abréviation qui a quelque chose de capricieux , on en aura une autre qui emploie le rayon de courbure. Faisant donc cette substitution, les valeurs de «, 4>a, Wa deviennent

^ — z—px—qy-^ *[;;7r-f-{7«-^«)i-p90

4>a =p k^gr-ps)-hq(rt-s')R^

^ Kpr'^(9"-p")'-P9^V

et mettant pour oc sa valeur dans les deux autres équations, on aura les deux équations aux différences partielles du second ordre.

Il est nécessaire de remarquer ici que le rayon R qui entre dans ces équations est celui de la courbe plane.

On aurait pu se contenter d'employer une seule des trois équations

z = x^OL -\- y^OL -f- a,

(^a -- q) {r(Pa -h sWa) = ($a —p) {s(bûc -f- tWoc),

pour chasser des deux autres Tune des deux fonctions arbitraires; et alors les deux équations aux différences partielles du second ordre auraient été, Tune le résultat de l'élimination de a entre les deux équations

z = x(Poc — r ^ h a,

(i + q^ -hp^boc) [qr^a — ^(i H- /?$«)] )

\ = o, q{<bcc — p) [qs<Pcc — t{i -h /?$«)]

— 36ii -

équation qui a deux facteurs rationnels, et qui produit les deux équations

(^- -f- 1 -\~ p^OL)dY — q[^(x. — p)dx^= o,

On peut conclure de là : i** que la surface a deux caractéristi(|ues indépendantes, et dont Tune quelconque peut changer, tandis que l'autre reste la même; a^ que les fonctions arbitraires qui complètent les intégrales premières et finies sont composées de deux quantités différentes pour Time et pour Vautre.

Tj' équation de la première caractéristique peut facilement être mise sous la forme

(Iz = <l^(xax ^ rfr,

et l'équation arbitraire de la proposée est

Or, de ces deux équations, la première est la différentielle de la seconde, prise en regardant oc comme constante, et toutes deux ont lieu pour la première caractéristique : donc, pour cette caractéristique, la quantité a est constante, ainsi que les deux coefficients de r équation

dz = Oactr ^ ~ dr:

donc le coefficient de dy doit être une fonction arbitraire de a : et si Ton représente cette nouvelle fonction par Va, on aura

p^OL -t- q^OL H- I = o; d'où il suit qu'une des intégrales premières de la proposée est le

résultat de rélîmination de ol entre les deux équations

z = ,v^(x -h )*M'a -4- «, o = p<t>(x -h (/Woc -h I ;

ce que l'on savait déjà.

Quant à la seconde caractéristique, son équation, que nous venons de trouver, peut facilement être niise sous la forme

mettant pour 4>a cette valeur dans Téquation auxiliaire, on a

Xfix -h ydr -h zdz

ùr — — — 4

ce (|ui produit deux des équations de cette earactéristicjue (jue nous avons trouvées art. XXXI.

Nous avons déjà dit que la surface engendrée jouissait, par rapport à ses courbures, d'une autre propriété générale qui pouvait servir à en donner une définition complète; cette propriété est que, [>our tous les points d'une même ligne de la seconde courbure, le rayon de la première courbure est constant. Kn effet, chacun des points de la génératrice plane engendre une des lignes de la se- 4*onde courbure; or cette génératrice est constante de forme : donc, pour le même point générateur, le rayon de courbure de la génératrice, c'est-à-dire le rayon de la courbure plane de la surface, est constant.

Lfd ligne de la seconde courbure étant toujours normale au plan générateur, les équations différentielles de ses projections sur les

trois plans rectangulaires sont

<boLdy — Wddx = o, ^adz H- (Lv = o, ^ocdz -\- dy = o.

Donc la surface est telle , que si le point de la génératrice plane ne change pas, c'est-à-dire que si l'une des trois équations précédentes a lieu, par exemple

^Pccdf — ï ar/.r = o,

le rayon de courbure R de la génératrice plane ne change pas. Il faut donc que l'on ait

tparfr — ^adx = ïlRdR.

Si, dans cette équation, on met pour <!>« et ï'a les valeurs que nous avons trouvées art. XXXV, et qui contiennent la même quantité R, on aura une équation aux différences mêlées, ordinaires et partielles, qui seule exprimera toutes les surfaces soumises à la génération dont nous nous sommes occupés. Cette équation est aux différences partielles du second ordre, puisqu'elle contient les (juantités r, ^, ^, R; elle est délivrée des deux fonctions arbitraires <P, ¥, qui dépendent de la nature de la surface développable sur laquelle roule le plan générateur, et elle ne contient que la fonction n, qui dépend de la nature de la génératrice plane; elle est, de plus, aux différences ordinaires : elle est donc la différentielle ordinaire de la troisième équation aux différences partielles du second ordre, équation qu'elle peut suppléer, soit pour descendre de l'intégrale finie à l'équation aux différences partielles du troisième ordre, soit pour remonter de celle-ci à l'intégrale finie.

L'équation aux différences mêlées que nous venons de trou\er est la même que celle qu'on aurait obtenue si Ton avait d'abord dîfférentié l'équation intégrale de l'art. XX aux différences partielles du second ordre; ce qui n'aurait pas suffi pour éliminer l'indéterminée a et les fonctions (p et 4? f^însi que toutes leurs dérivées. Il eût fallu, pour cela, différentier ensuite une fois aux différences ordinaires, ce qui aurait introduit le mélange des différences ordinaires et partielles; et alors l'équation résultante eut encore différé de celle que nous venons de trouver, parce que les quantités /3 et n|3 qu'elle renferme ne sont pas respectivement les mêmes que R et nR: mais il est facile de ramener Tune de <'es équations à l'autre, en observant, ce qui est évident, que la quantité que nous avons exprimée par n/3 dans l'intégrale est précisément celle que, dans l'équation aux différences mêlées, nous représenterons par R.

Recherches de Véquaticm aux différences partielles du troisième

ordre.

Nous avons vu que, pour tous les points de la même ligne d'une courbure, le rayon de l'autre courbure est constant. Or on sait que l'expression du rayon de courbure et l'équation de la ligne de courbure sont

dx'^ 2.[[\->rq^)s — pqt]

équations dans lesquelles le radical, qui est le même, a des signes

difFérents, s'il s'agit de la ligne et du rayon de la même courbure; mais, si l'on veut comparer le rayon d'une des courbures avec la ligne de l'autre, comme dans le cas présent, il faut que les signes du radical soient les mêmes pour l'un et pour l'autre.

Notre surface est donc telle, qu'en donnant à — ^ la valeur qui «•onvient à la seconde courbure, c'est-à-dire en faisant

où le signe du radical est le même que dans la valeur de R, on ait

R = constante;

par conséquent

rfR = o,

ou

Faisant cette substitution, et effectuant les difFérentiations partielles de R, on aura l'équation aux différences partielles du troisième ordre.

Cette équation du troisième ordre, que nous venons de trouver directement par les considérations géométriques, pouvait être obtenue par la différentiation de chacune des trois équations du second ordre. Commençons d'abord par l'équation aux différences mêlées

(Pocdy — Wudv = nRr/R,

qui, étant regardée i*omme une différentielle ordinaire totale, donne pour différentielles partielles

mais, en différentiant partiellement l'équation en a:,f, z, on a

¥a — y = Mr/',

dans lesquelles il est inutile de développer les valeurs de L et de M. De ces quatre équations, si Von multiplie Tune par Fautre les deux extrêmes, et Tune par l'autre les deux moyennes, et si l'on retranche l'mie de l'autre ces deux produits, les quantités/;', fj\ L et M disparaissent à la fois, et l'on a

équation dans laquelle il n'y a plus qu'à substituer pour *a et ^^a leurs valeurs en différences partielles du second ordre, que nous avoiLs trouvées art. XXXIII ou XXXV, et l'on aura l'équation aux différences partielles du troisième ordre, qui exprime généralement la surface que nous considérons, indépendamment de toute fonction arbitraire.

(iCtte équation, conmie on voit, est linéaire en w, ta, u', v.

.ren resterai la par rapport à cette surface, sur laquelle je me pi'opose de revenir, conmie exemple, lorsque je traiterai de la constiiiction et de l'intégration aux différences mêlées, ordinaires et partielles; mais elle a ({uelques rapports avec une autre surface dont je ne crois pas qu'il faille la séparer, et dont je vais m' occuper dans le paragraphe suivant.