XXVI

SUR LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE L'ESPACE PARCOURU PAR UNE SPHÈRE VARIABLE DE RAYON , ET DONT LE CENTRE PARCOURT UNE COURBE A DOUBLE COURBURE QUELCONQUE.

Si Ton suppose qu'une sphère variable de rayon se meuve de manière que son centre parcoure une courbe à double courbure quelconque, et que la grandeur de son rayon dépende de la position du centre, cette surface parcourra un espace dont l'enveloppe est la surface dont nous allons nous occuper. Je pourrais citer plusieurs exemples de surfaces soumises à cette génération, dont une des plus remarquables est celle de la colonne torse, qui n'est autre chose que l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère variable de rayon, et dont le centre parcourt une hélice de vis dont l'axe est vertical.

Le centre de la sphère mobile étant assujetti à être sur une courbe à double courbure, ses trois coordonnées ont entre elles les deux relations exprimées par les deux équations de la courbe : ainsi deux d'entre elles sont fonctions de la troisième; mais le rayon qui dépend aussi de la position du centre doit être de même une fonction de l'ordonnée principale : donc le rayon et les trois coordonnées du centre sont tels, que trois de ces quantités sont fonctions de la quatrième. Prenant donc le rayon lui-même pour quantité principale, et en la représentant par a, les trois coordonnées du centre seront des fonctions de a, et ces fonctions seront arbitraires. Ainsi, pour une valeur du rayon égale à a, l'équation de la surface de la sphère

— Syo — mobile, considérée comme enveloppe, sera

{x — (puY -+- ( j — 4^y + (^ — '^^y = ^%

dans laquelle les trois fonctions 9, 4' "^ ^^^^ arbitraires.

Pour avoir une équation de la caractéristique, c'est-à-dire de l'intersection de deux sphères consécutives, il faut difFérentier l'équation de la sphère , en regardant a comme seule variable ; ce qui donne

Mais la caractéristique, à laquelle appartiennent les deux équations précédentes, peut être regardée comme la génératrice de la surface enveloppe, en regardant cette courbe comme mobile dans l'espace en vertu de la variation de a. Ou, ce qui revient au même, l'enveloppe n'est autre chose que le lieu de toutes les caractéristiques individuelles qu'on obtiendrait en donnant à a successivement toutes les valeurs possibles : donc l'équation intégrale de l'enveloppe n'est autre chose que le résultat de l'élimination de a entre les deux équations précédentes; opération qui ne peut s'effectuer que lorsque les formes des trois fonctions <f>, -^l^ tt sont déterminées.

L'équation intégrale de la caractéristique que nous venons de trouver est évidemment, en x^y^ z, celle d'un plan: donc cette courbe est l'intersection de la surface de la sphère mobile par un plan aussi mobile, et est, par conséquent, la circonférence d'un cercle; mais ce plan ne passe pas par le centre de la sphère, puisque, indépendamment des trois termes qui contiennent x — ^, r — '^ et z — TT, l'équation a un quatrième terme a : donc ce cercle n'est point un grand cercle de la sphère; donc son plan n'est

normal à l'enveloppe en aucun point de la caractéristique, et ne contient aucune des normales de la surface.

Si Ton considère la suite des caractéristiques dont la surface est le lieu, il est facile de reconnaître que deux quelconques d'entre elles, prises consécutivement, se rencontrent en deux points qui sont sur la droite d'intersection de leurs plans. Le lieu de tous les points ainsi déterminés est sur la surface une courbe à double courbure qui a deux branches, et qui est touchée dans chacune de ses branches par chaque caractéristique. Cette courbe est une ligne singulière de la surface; c'est une arête de rebroussement, suite nécessaire de la génération.

Chacun des points de l'arête de rebroussement étant à l'intersection de deux caractéristiques consécutives, les coordonnées .r, /, z de ce point sont celles de la caractéristique qui ne changent pas lorsque, dans ces équations, a change et devient a -h rfa : on aura donc une équation relative à ce point, si l'on différentie les équations de la caractéristique, en regardant x^ r, z comme constantes, et a comme seule variable ; ce qui donne la troisième équation

Pour un a déterminé, les trois équations donnent les valeurs des coordonnées a?, j, z du point correspondant de l'arête de rebroussement; et cette arête elle-même est le lieu de tous les points qu'on obtiendrait ainsi en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles.

Donc les équations intégrales de T arête de rebroussement sont le résultat de l'élimination de a entre les trois équations précédentes.

Les valeurs de a?, j, z, que produisent les trois équations précédentes, contiennent toutes le même radical. Si les quantités oc^ Çj 4, TT ont entre elles une relation telle, que la valeur de ce radical commun soit nulle, deux caractéristiques quelconques ne se coupent plus en deux points; elles n'ont qu'un seul point de commun, et ce point est un point de contact. Les deux branches de la courbe touchée par toutes les caractéristiques se confondent en une seule; et cette courbe, sans cesser d'être une ligne singulière de la surface , n'est plus une arête de rebroussement , elle est une ligne de striction .

Il est facile de trouver qu'en faisant, pour abréger,

l'équation qui établit la relation que doivent avoir entre elles les quatre quantités a, ^, 4> •^''7 pour que le radical s'évanouisse, est

Cette relation est destinée à chasser une des trois fonctions (p, •>!., tt. Pour ce cas particulier, l'équation intégrale ne doit donc renfermer que deux des trois fonctions (p, •>!., tt, et son équation aux différences partielles, délivrée de toute fonction arbitraire, ne doit donc être que du second ordre. Mais l'équation en a, ^, 4> "^^ q^^ nous venons de trouver, n'est pas algébrique; elle est aux différences ordinaires du second ordre : on ne peut donc , par son moyen , éliminer une des trois fonctions arbitraires et ses deux dérivées, à moins qu'on ne différence aux différences ordinaires les autres équations qui appartiennent à la surface. L'équation différentielle de ce cas particulier doit donc être aux différences mêlées, ordinaires et partielles. Je reviendrai sur cette surface, et je la traiterai

dans le plus grand détail, lorsque je remploierai comme exemple dans le Mémoire que je donnerai sur les équations aux différences mêlées.

Lorsqu'une surface est du premier ordre, ou, pour mieux dire, lorsque l'équation de son enveloppée ne contient qu'une seule fonction arbitraire de a, son arête de rebroussement est toujours susceptible d'être exprimée par une seule équation aux différences ordinaires, délivrée de a et de la fonction. En effet, soit M = o l'équation de l'enveloppée qui ne soit composée que de cT, j, z, a, ^a; les équations intégrales de l'arête de rebroussement seront

On pourra donc différentier les deux premières, en regardant a comme constante; ces deux premières, et leurs différentielles ordinaires, ne contiendront, par rapport à a, que a, (pa, (p'a: on pourra donc toujours éliminer ces trois quantités entre les quatre équations, et l'équation aux différences ordinaires résultante exprimera, en général, les arêtes de rebroussement de toutes les surfaces soumises à la même génération, et renfermera, comme cas particuliers, toutes les caractéristiques de ces surfaces.

Dans les surfaces d'ordres supérieurs, comme celle que nous traitons, et dont l'équation de l'enveloppée contient plus d'une fonction arbitraire de a, quelque loin que l'on pousse les différentiations ordinaires, il est, en général, impossible d'éliminer toutes les fonctions, parce que chaque différentiation introduit des dérivées nouvelles; et l'on ne peut avoir, pour l'arête de rebroussement,

une équation délivrée de ol et de toutes ses fonctions, qu'aux différences mêlées, ordinaires et finies. Cela tient à ce que, dans notre cas par exemple, pour qu'un point appartienne à une arête de rebroussement, il ne suffit pas que chacun de ses points soit déterminé par l'intersection de deux circonférences de cercles consécutifs et variables de rayon; car si l'on faisait mouvoir un cercle variable de rayon de manière qu'il fût perpétuellement tangent à une même courbe donnée, sa circonférence n'engendrerait pas la surface dont nous nous occupons. Il faut que les circonférences des deux cercles consécutifs se coupent en deux points, et que ces deux points soient sur les deux branches de l'arête de rebroussement. Dans l'équation différentielle de cette arête, on est donc obligé de (considérer en même temps deux points placés à une distance finie; i*e qui introduit nécessairement les différences finies. Dans un Mémoire où je m'occuperai de la construction des équations aux différences mêlées, ordinaires et finies, l'arête de rebroussement dont il s'agit ici entrera naturellement comme exemple.

Pour trouver directement les équations de la surface aux différences partielles du premier ordre, il faut exprimer une propriété générale du plan tangent ou de la normale : or la surface a évidemment cette propriété, que si, par un quelconque de ses points, on hii mène une normale, cette droite, qui sera aussi normale à la sphère enveloppée que la surface touche en ce point, passera par le centre de la sphère. Or, en nommant x\y\ z' les coordonnées du point variable de la normale, les deux équations de cette droite sont, comme on sait,

la normale devant passer par le centre de la sphère dont les coordonnées sont ^ocj -^lu^yra, ces deux équations doivent donc avoir lieu pour la surface, en mettant, pour .r', >', z\ les valeurs respectives ^, 4, 9r : donc on aura

.r — ^-}-p{z — tt) -.-■- (), j — 4-t-7(z — tt) = 0.

Tirant de ces deux équations et de celle de la sphère les valeurs de .r, K, 3, et faisant, pour abréger,

I + p' + 7' = /•', on aura les trois équations

{X — ?)/• -h OC/J = O,

(j — 4)X- + ary = 0, {z — 7r)k — a =0,

qui comprennent les trois équations aux différences partielles du premier ordre de la surface; c'est-à-dire que, si Ton prend ces trois équations deux à deux, ce qui se peut faire de trois manières différentes, le résultat de l'élimination de a, entre chacun de ces trois systèmes, sera une des trois équations différentielles du premier ordre. Ainsi ces trois équations sont, la première, le résultat de l'élimination de oc entre les deux équations

(cX* — (p)k -h (xp = o,

(7 — 4)* + «7 = 0; la seconde, le résultat de l'élimination de a entre les deux suivantes :

et la troisième, le résultat de l' élimination de a entre les deux

autres :

{x — ^)k -+- ûtp = o,

où Ton voit que chacune de ces trois différentielles est délivrée d'une des trois fonctions arbitraires (p, 4? '^•

Puisque toutes les normales à la surface, menées par les points de la génératrice considérée dans une position fixe, passent par le même point, qui est le centre de la sphère correspondante, la génératrice est telle, que les normales qui passent par deux de ses points consécutifs sont dans un même plan; elle est donc la ligne d'une des courbures de la surface. H y a donc entre la surface que nous considérons ici, et celle qui fait l'objet du paragraphe précédent, cette analogie, que dans l'une et l'autre, la ligne d'une des courbures est plane; mais il y a cette différence, que dans la surface précédente le plan de cette ligne de courbure contient toutes les normales qui passent par ses différents points, tandis que dans celle-ci le plan n'en contient aucune. Le lieu des normales qui passent par la même ligne plane de courbure est la surface d'un cône à base circulaire, dont le sommet est au centre de la sphère, et dont la base est dans le plan de la ligne de courbure.

Pour tous les points de la même ligne de courbure plane, le centre de cette même courbure n'est autre chose que le centre de la sphère enveloppée : donc, dans la surface que nous considérons, le lieu des centres d'une des courbures cesse d'être une surface

courbe; il se réduit à une ligne courbe, qui est celle que parcourt le centre de la sphère mobile, comme cela arrive aux surfaces de révolution, qui en sont des cas particuliers.

D'après cela, il est facile de trouver, par des considérations géométriques, les trois équations aux différences partielles du second ordre; car il évident que, pour tous les points de la ligne plane de courbure, le rayon de cette courbure est constant et égal au rayon de la sphère enveloppée, que nous avons représenté par a. Or l'expression générale du rayon de courbure est donnée en R par l'équation

R^(^rt — s')-hRk[{i-{'(j')r—y?rjs-h{i-hp'}t]-hk'=o;

donc, tirant de cette équation la valeur de R, et la substituant pour a dans les trois équations aux différences premières, les trois équations aux différences partielles secondes seront

{x — (pR) k -+-pR = o, (j— 4R)Â + ^R=o,

{z — 7rR)k— R =o,

équations qui sont séparées, et dont chacune ne contient plus

qu'une fonction arbitraire.

Ces équations sont les mêmes que celles qu'on aurait obtenues

en différentiant partiellement les trois équations aux différences

premières.

Les équations aux différences partielles du troisième ordre expriment les propriétés des surfaces courbes, relatives aux variations de leurs lignes de courbure ou de leurs rayons de courbure : or, par rapport à ces variations , la surface que nous considérons jouit évi-

— SyS —

demment de cette propriété, que, pour tous les points de la ligne plane de courbure, le rayon de cette même courbure est constant ; ce qui établit une opposition entre cette surface et celle du paragraphe précédent, dans laquelle le rayon de la courbure plane est constant pour tous les points d'une même ligne de l'autre courbure. Si donc on représente par

\dx -h Brfj = o

l'équation générale de la ligne de courbure que nous avons donnée art. XL du paragraphe précédent, et dans laquelle le signe du radical doit être différent de celui qui entre dans l'expression du rayon de courbure R , afin que le rayon et la courbe appartiennent

à la même courbure, il faut qu'en donnant à -^ la valeur qu'elle a

dans cette équation, le rayon de courbure soit constant, ou que

l'on ait

dK = o,

ou enfin

On aura donc , pour tous les points de notre surface ,

Si Ton effectue les différentiations partielles indiquées dans cette équation, on aura l'équation unique aux différences partielles du troisième ordre de la surface.

Pour effectuer les différentiations partielles de l'article précédent, et arriver à un résultat mieux ordonné, je reprends, dès l'origine, la recherche des lignes et des rayons de courbure.

FiCs équations de la normale, en x\ y\ z sont, comme on sait,

Si Ton considère deux normales consécutives, telles qu'elles soient dans un même plan, ou qu'elles se coupent, il faut difFérentier ces deux équations, en regardant x\ >*', z comme constantes; ce qui donne

dx\\'\-p^ — (z' — z)r\ -h dy[pq — (r/ — z)s\ = o, dx [pq — {z — z)s^ -h dy f i -H ^' — [^' — z) t\ = o,

lans lesquelles la valeur de -^ est celle qui convient k la ligne de

courbure par laquelle passent les deux normales consécutives, et dans les quatre équations, les coordonnées x\ r', z sont celles du point de rencontre des deux normales, et, par conséquent, du centre de la courbure : on aura donc

^X'—XY-^ {y' — yy-^{z/—zY= K\ OU

substituant cette valeur de z — z dans les deux équations différentielles, elles deviendront

<i^ii+p' — -fj -+- dy [pq — -^ ) = o, dœ{pq— ^^ 4- dy ( I -h ^* — ^ ) = o.

Actuellement, soit fait, pour abréger,

Rr— {\-^p')kz= A, R.V — pqk = B,

l'équation de la projection de la ligne de courbure sera, indifféremment, Tune des deux suivantes :

Kdx H- Brfj = o, Brfo? H- Cdy = o,

entre lesquelles éliminant^, on aura, pour l'équation qui donne la valeur du rayon de la même courbure,

AG — B^=o.

C'est cette équation qu'il faut différ entier partiellement pour avoir les valeurs de ( -j- j > ( ^ ) •

La différentielle ordinaire de l'équation AG — B^ = o est

GrfA — aBrfB + kdC = o,

ou, en mettant pour rfA, rfB, dC leurs valeurs,

dK (Gr 2B^ -+- A^) H- R (Grfr — aBeiy + \dt) — 7,k [Cpdp — B {pdq -+- qdp) H- kqdq ]

Donc, si l'on fait

dr = wctr -h uidy^

ds = wdx -h wdf,

dt = ivdx H- vdy,

les deux différences partielles de cette équation sont

ps-hqt

l(i^p^)C — pqY^-h(i-h(j')A] = o.

Pour substituer ces valeurs de ( t- ) » ( ^— J dans

il faut multiplier la première par B, la seconde par A, et retrancher; ce qui donne, pour l'équation aux différences partielles du troisième ordre,

Mais des trois termes dont cette équation est composée, le second est le double du troisième. En effet, si dans les équations qui donnent les valeurs de A, B, C, on prend celles de i -h/;% prjj i -h 7 ' , pour les substituer dans le dernier facteur du troisième terme, on trouve, à cause de AG — B ^ = o,

(i-h/?^)(G-2B/?7-+-(i-h7^)A = J(Cr-2Ry + A0,

et, prenant dans les mêmes équations pour r,s,t leurs valeurs pour les substituer dans le premier facteur du même terme, on trouve

donc le troisième terme de l'équation aux différences partielles du troisième ordre sera

— /• {Bp — Aq) (Gr — 2Bs-h At),

et, par conséquent, la moitié du second terme: donc, réduisant et chassant G au moyen de AG — B ^ = o , cette équation sera

R (B V — 3B'Aiu -h 3 BA^v — A\) — 3k (Rp — Aq) (BV — 2 ABj + AH)

dans laquelle il n'y a plus qu'à substituer pour A et B leurs valeurs, qui sont en différences partielles du second ordre.

S'il s'agissait d'intégrer cette équation , sa simplicité rendrait l'opération très-facile. En effet, l'équation de la projection de la caractéristique est

B Vj^ -h 3\^'Adr'cLJC -h 3B\'dr(h:' -+- A'rùv' = o,

qui est un cube parfait, et dont la racine est, indifféremment,

Brfj -h Adx = o, ou

Cdr -h Bctr = o,

à cause de AC — B^ = o ; ce qui prouve que la surface n'a qu'une seule caractéristique , et que la quantité qui doit entrer sous les trois fonctions arbitraires qui complètent son intégrale finie, est la même. Remettant dans ces équations, pour A, B, G, leurs valeurs, elles deviennent

(R^ — pqk) dy -h[Kr — (i -h/?"*)^] dx=^o^ [Kt — (i + 7') k] dy + (R^ —pqk) dv = o,

Kdp — k {dx -j- pdz) = o,

Rdq — k {dy H- qdz) = o,

entre lesquelles, si l'on élimine la quantité R, on trouve |)our caractéristique,

[dy -+- qdz) dp = {dx -h pdz)dq^

(jui est l'équation générale de la ligne de courbure ; donc la c téristique est une des lignes de courbure de la surface.

Si , des deux équations

Kdp — k [dx H- pdz) = o,

Rdff — /• (dy -h gdz) = o,

et de

dz — pda' — gdy = o,

on tire les valeurs de r/j*, dj% dzj on trouve

r/.r = Rrf ? ,

dz = — Rrf Y '

équations qui, en regardant R comme constante, sont des diftérentielles exactes. Or ces trois équations ont lieu pour la caractéristique : donc, pour tous les points de cette courbe, la quantité R est constante; donc, en intégrant ces trois équations, et les complétant chacune par ime fonction arbitraire de la quantité R, qui a été regardée comme constante, on aura, pour la surface courbe, les trois équations premières séparées

X— (pR = R^,

-4R = Rf,

z — tR = — ï^ jL '

dans lesquelles il faut mettre, pour R, la valeur du rayon de courbure en diflFérences partielles du second ordre.

La quantité R étant la seule, dans ces équations, qui contienne des différences partielles du second ordre, il est évident que, si Ton

éliminait R entre deux quelconques de ces équations, le résultat ne renfermerait plus que des différences partielles du premier ordre, et contiendrait deux des fonctions arbitraires; ce résultat serait donc une des intégrales secondes. Ij' élimination dont il s'agit ici ne peut s'effectuer tant que les fonctions qui contiennent R sont arbitraires, et Ton ne peut que l'indiquer. Donc les trois intégrales secondes sont les résultats de l'élimination de l'indéterminée R entre les trois équations précédentes considérées deux à deux ; ce qui peut se faire de trois manières différentes.

Enfm, si l'on fait la somme des carrés des trois équations pré- (*édentes , on trouve

(a; (pR) = -^ (j ^Ry + (2 ttR)^ = R%

qui est F équation de l'enveloppée mobile, en vertu de la variation de l'indéterminée R. L'équation intégrale finie est donc le résultat de l'élimination de R entre cette équation et sa différentielle, prise en regardant R comme seule variable.

L'équation aux différences partielles du second ordre, que nous venons de traiter, appartenant à une surface qui n'a qu'une seule caractéristique, et l'intégrale finie de l'enveloppée ne contenant les quantités a?,/, (pa, 4« q^^ sous les parenthèses {a: — <pa), ( J — ^a), elle peut être intégrée d'une autre manière, que je ne dois pas passer sous silence, parce qu'elle convient à toutes les autres équations qui sont dans le même cas, et pour les ordres supérieurs au premier.

Nous avons vu que l'équation de la caractéristique, déduite de l'équation du troisième ordi*e, est indifféremment l'une des deux suivantes :

Bdy -+- Adx = o, Cdy + Beir = o :

mettant pour ^ sa valeur —7 — dans la proposée, elle devient

R (iid^ ^ -h 3 ludx '^dy -\- 3 wdxdy ^ -h vdy ' ) — 3k{pdx -h qdj) [rdx' -+- isdxdy + tdy^)

Si l'on considère cette équation comme appartenant à la surface, et, par conséquent, aussi à l'enveloppée, de manière que dx et dy puissent être regardées Tune et l'autre comme constantes, elle peut être mise sous la forme suivante :

Rrf'z — 3kdzddz = o.

Actuellement, des deux équations de la caractéristique , si Ton multiplie la première par dx^ la seconde par rfj, et si l'on ajoute, on a

Cdf^ -\- ilàdxdy -h kdx' = o,

qui, par la restitution des valeurs de A, B, G, donne

R {rdx'^ H- 2 sdxdy 4- tdj^) \

— Â[(i-|-/?^)Gtr-+ ipqdxdy -+- (1 + ^^) rfj'])"^'

^ddz — k {dx' -h dy- ^dz^) = o\

au moyen de laquelle chassant ^de l'autre équation aux différences

ordinaires de z, on trouve pour la surface, et par conséquent pour Tenveloppée, l'équation aux différences ordinaires du troisième ordre,

{dx' H- dy- H- dz') d^z — 3dzddz^ = o,

qu'avec un peu d'habitude on reconnaît aisément pour être l'équation générale de la sphère, quelles que soient et la position de son centre dans l'espace, et la grandeur de son rayon; mais si on ne la

reconnaissait pas, il serait très-facile de l'intégrer, car elle n'est autre chose que

^( Td-i H-z) = o,

dont l'intégrale, complétée par la constante arbitraire ^, est

f/jo^ -h rff' -h dz^ H- (2: — S) ddz = o.

En regardant dx et dy comme constantes, cette intégrale est une autre différentielle exacte, qui peut se mettre sous la forme suivante :

d \xdx -h ydy -h (z — S) dz\ = o,

dont l'intégrale doit être complétée par une quantité de cette forme [i,dv-\-ydy^ puisque dx et dy ont été regardées toutes deux comme constantes dans la différentiation ; donc l'intégrale seconde sera

{x — ^)dx -+- {y — y) dy -h (z — S)dz = o,

dans laquelle (S et y sont deux nouvelles constantes arbitraires introduites par la même intégration : ainsi, l'intégrale troisième de l'équation de l'enveloppée sera

Or la surface à laquelle appartient la proposée n'a qu'une seule caractéristique ; par conséquent , des quatre constantes arbitraires que contient l'intégrale précédente, trois quelconques sont des fonctions arbitraires de la quatrième : donc l'équation intégrale de l'enveloppée, considérée comme mobile en vertu de la variation de son rayon , est

{x— (p«)' --f- {y— 4a)' H- (z — Tra)^ = a^ ;

donc, enfin, Téquation intégrale de l'enveloppe est le résultat de

réiimination de a entre cette équation et sa clifîérentielle, prise en regardant a comme seule variable.

Lorsqu'une surface courbe n'a qu'une seule caractéristique, c'està-dire lorsque les fonctions arbitraires qui complètent son équation intégrale sont toutes composées d'une même quantité a, il est toujours possible de déterminer quelles doivent être les formes de toutes ces fonctions, pour que la surface passe par autant de courl)es données arbitrairement dans l'espace, ou embrasse autant de surfaces courbes données. Mais, comme le procédé est un peu compliqué, je vais en donner la marche [)Our F un et pour l'autre cas.

Trois courbes étant données arbitrairement dans l'espace, déterminer les formes des fonctions arbitraires qui entrent dans l'intégrale, pour que la surface passe par ces trois courbes, ou, ce qui revient au même, pour que l'enveloppée, dans son mouvement, soit perpétuellement tangente à ces trois courbes.

Représentons les deux équations qui comprennent l'intégrale, par

puis, soient

les deux équations données en .f, /, z de la première des trois courbes par lesquelles la surface doit passer. Si l'on considère ensemble les trois équations

c'est-à-dire si Ton regarde les coordonnées Xy y y z comme ayant respectivement les mêmes valeurs dans les trois équations, ces coordonnées sont celles d'un point commun à l'enveloppée et à la courbe; mais il ne suffit pas que ce point soit commun à la courbe et à la surface, il faut qu'il soit un point de contact: donc, si Ton différentie aux différences ordinaires ces trois équations, ce qui, pour la première, donnera

[x — (pa) dx -h (r — 4^) ^X ~^ {^ — '^^) ^^ = ^? et, pour les deux autres,

\'dx -f- X'dy + // dz = o, X'da^-hY'dy + 7/dz = o,

dans lesquelles les six coefficients sont connus et donnés par la différentiation , il faudra que les deux quantités ^ ' ^' q^î déterminent la direction de la tangente de la courbe , aient chacune la même valeur dans ces trois équations; donc, si l'on élimine ces deux quantités entre les trois équations, on aura en x^y, z, ^, 4, -tt, une équation que je représente par

et qui doit avoir lieu pour que la courbe et l'enveloppée se touchent dans le point que l'on considère. Ainsi l'on aura, entre les trois coordonnées de ce point, les quatre équations

Donc, si l'on élimine entre elles les trois coordonnées .r, /, z di point de contact, on aura ena, cpa, 4«, tt» une équation que y représente par

et qui exprimera la relation que doivent avoir entre elles les trois fonctions arbitraires, pour que Tenveloppée touche la première courbe dans un certain point.

Actuellement, si, pour chacune des deux autres courbes données par lesquelles doit passer la surface, on fait les opérations analogues, on aura deux autres équations

qui seront aussi en a, (p«, 4 a, 7ra, et qui doimeront les relations que les fonctions arbitraires doivent avoir entre elles, pour que l'enveloppée touche chacune de ces deux courbes.

Mais il ne suffît pas que l'enveloppée touche chacune des trois courbes ; il faut que ce contact ait lieu pendant tout son mouvement, c'est-à-dire il faut que les relations que nous venons d'exprimer ne cessent pas, quand même a varie : donc il faut que l'on

ait encore

dH = o,

rfH' = o,

équations qui contiendront les quantités «, (pa, 4^? ^^^ ?'^5 4'^? 7r'«. Nous aurons.donc, entre ces sept quantités, les huit équations

dH — o,

dH' — o,

dH" — o.

Donc, en éliminant les sept quantités entre ces huit équations, on aura en j:, j, z une équation délivrée de a et de toutes les fonctions arbitraires, et qui sera celle de la surface demandée.

— Sgo —

Trois surfaces courbes étant données arbitrairement dans l'espace , déterminer les formes que doivent avoir les fonctions arbitraires dans l'équation intégrale, pour que la surface engendrée touche chacune des surfaces données dans une courbe de contact, c'est-à-dire pour que l'enveloppée, dans son mouvement, touche perpétuellement ces trois surfaces.

Représentons de même par

les deux équations qui comprennent l'intégrale, et soit

l'équation donnée d'une des trois surfaces que doit toucher la surface engendrée. Si l'enveloppée et la surface donnée se touchent en un certain point, non-seulement les coordonnées -VjX^ ^' ^^ ^^ point satisferont aux deux équations

mais encore le plan tangent en ce point à l'une des surfaces coïncidera avec le plan tangent à l'autre surface en ce même point : donc, si Ton diflférentie partiellement les équations de ces deux surfaces, ce qui, pour la première, donnera

*/ = —:— et, pour la seconde,

Ces trois dernières équations contiennent les sept quantités a, ^a, 4a, 7ra, (p'a, 4'a) "^'^^ ^ï*? entre ces sept quantités, nous avons les huit équations

H = o, rfH =^ o,

tr^.:=o, r/H'^=o;

donc, si, entre ces huit équations, on élimine les sept quantités, on aura en .r, >•, z une équation délivrée de toute fonction arbitraire, et qui sera celle de la surface demandée.