XXVII

SUR LES DÉVELOPPÉES, LES RAYONS DE COURBURE ET LES DIFFÉRENTS GENRES DINFLEXIONS DES COURBES A DOUBLE COURBURE.

l'out ce que l'on a fait jusqu'à présent sur les développées des courbes , en général , se réduit à avoir trouvé celles des courbes planes; encore, parmi le nombre infini de développées que peut avoir une courbe plane, n'a-t-on considéré, jusqu'ici, que celle qui se trouve dans le même plan qu'elle : or je me propose de démontrer qu'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées, toutes à double courbure, à l'exception d'une seule pour chaque courbe plane, et de donner la manière de trouver les équations de telle de ces courbes qu'on voudra, étant données les équations de la développante. Tout ce qu'on connaît

sans qu'on eut eu besoin de connaître auparavant le plan dans lequel elle doit se trouver.

Soit KAaD {fig. i , PL III) (*) une courbe à double courbure quelconque tracée dans l'espace . Par un point A de cette courbe, soit mené un plan MNOP perpendiculaire à la tangente en A ; par lé point a infiniment proche, soit pareillement mené un plan mnOP perpendiculaire à la tangente en a : ces deux plans se couperont quelque part en une droite OP, qui sera l'axe du cercle dont le petit arc Aa de la courbe peut être censé faire partie ; de manière que si des points A et a on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires, égales entre elles, la rencontreront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. Tous les autres points g*, g"',..., de cette droite seront chacun à égales distances de tous les points de l'arc infiniment petit Aa, et pourront, par conséquent, en être regardés comme les pôles. Ainsi, si d'un point quelconque g de cet axe, on mène deux droites aux points A et a, les droites gX et ga seront égales entre elles, et formeront avec Taxe des angles h.gO et agO égaux entre eux: en sorte que, i** si l'on voulait définir la courbure de la courbe au point A , il faudrait donner la longueur du rayon AG du cercle osculateur; 2® si l'on voulait assigner le sens de la courbure, il faudrait donner la position du centre G dans l'espace. Mais s'il s'agissait simplement de décrire le petit arc, il serait également suffisant, ou de faire tourner la droite AG autour de l'axe, sans altérer l'angle AgO qu'elle fait avec lui, ou de faire tourner le rayon AG perpendiculairement à cet axe.

(*) G* est à celte même PL IJl que se rapportent tons les numéros de figures qui vont suivra dans ce paragraphe.

la former. Ce caractère est de pouvoir être développées sur un plan , comme les surfaces coniques et cylindriques à bases quelconques, sans duplicature et sans solution de continuité. En effet, les hèdres OPP'O' dont est composée la surface de lafig^ a, sont des portions de plans infiniment étroites, infiniment longues, et qui se coupent consécutivement suivant des lignes droites. Gela posé, on peut toujours concevoir que la première hèdre OPP'O' tourne autour de la droite O'P' comme charnière, jusqu'à ce qu'elle parvienne dans le plan de l'hèdre suivante O^P^P'^O''; qu'ensuite leur système tourne autour de O'^P'^, et en ne faisant qu'un même plan, jusqu'à ce qu'il soit dans le plan de la troisième 0''P''P'^0^, et ainsi de suite : d'où l'on voit que rien n'empêche que de cette manière tous les éléments de la surface ne viennent, sans rupture, se ranger dans un même plan. Donc la surface des pôles d'une courbe à double courbure quelconque est toujours une surface développable.

[Tne courbe quelconque plane ou à double courbure a une infinité de développées, dont le lieu géométrique est aussi la surfa^ce des pôles de cette courbe,

DEMONSTRATION. Du poiut A de la courbe par lequel passe le premier plan normal MNOP, soit menée dans ce plan, et suivant une direction arbitraire, une droite Ag*, jusqu'à ce qu'elle rencontre la section OP quelque part en un point g\ par les points A' et g soit menée, dans le second plan normal, la droite A'g*, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la section O'P' en un point g'\ soit pareillement menée h!^g'g^\ et ainsi de suite : je dis que la courbe qui passe par tous les points gj g\ g^\... est une des développées de la courbe RAD; car, i° toutes les droites Ag*, A'g', A!'g'\..,

sont les tangentes de la courbe gg'g'' ---^ puisqu'elles sont les prolongements des éléments de cette courbe ; 2** si Ton conçoit que la première Ag* tourne autour du point g pour venir s'appliquer sur la suivante Pi!g^ elle n'aura pas cessé d'être tangente à la courbe gg'g" '"i et son extrémité A, après avoir parcouru l'arc AA^ se confondra avec l'extrémité A' de la seconde. Que l'on fasse de même tourner la seconde ligne A! g' autour du point g*', pour qu'elle vienne s'appliquer sur la troisième A'^g*', elle ne cessera pas de toucher la courbe gg^ g" -^-^ et son extrémité A' ne sortira pas de l'arc A'A'^ et ainsi de suite. Donc la courbe gg'g" -^ est telle, que si l'on conçoit qu'une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans jamais cesser de lui être tangente, et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points de cette tangente décrira la courbe KAD; donc elle est ime de ses développées. Mais la direction de la première droite A g" était arbitraire, et, suivant quelque autre direction qu'on l'eût menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe g g'g^^ --"i qui aurait été pareillement une des développées de la courbe KAD ; donc une courbe quelconque a une infinité de développées toutes comprises sur la surface développable qui est le lieu de ses pôles : or cette surface renferme tous les pôles de la courbe, et est, par conséquent, la seule qui en contienne les développées ; donc elle est leur lieu géométrique.

Remarquons que tous les plans M, N, O, P étant tangents à la surface développable, puisque chacun d'eux est le prolongement d'un de ses éléments, la droite Kg^ qui, dans tous les instants de son mouvement, se trouve dans un de ces plans, est aussi nécessairement tangente à cette surface.

Si du point A on abaisse sur OP la perpendiculaire AG, du point A' sur O'P' la perpendiculaire A'G', du point A" sur O'^P'^ la perpendiculaire Pi!^G\ et ainsi de suite, nous avons vu que les points G, G', G",... seront les centres de courbure des éléments correspondants de la courbe KAD; que, par conséquent, la courbe qui passerait par tous les points G, G', G'',. . . serait le lieu géométrique de ces centres de courbure. Je dis que cette courbe ne peut être une des développées de la proposée, à moins que la proposée ne soit plane, auquel cas elle devient la seule dont on se soit occupé jusqu'à présent. En effet, lorsqu'une courbe est à double courbure, deux tangentes consécutives, quelque part qu'on les prenne, sont bien dans un même plan ; mais trois tangentes prises de suite ne peuvent plus s'y trouver : donc trois plans consécutifs, chacun normal à la courbe, ne peuvent pas être perpendiculaires à un même plan, et, par conséquent, l'intersection du premier et du second ne saurait être parallèle à l'intersection du second et du troisième. Donc, pour une courbe à double courbure, les droites OP, O'P', 0''P",. . . ne peuvent pas être parallèles.

Cela posé, la droite AG étant perpendiculaire à OP, la droite A'G lui sera aussi perpendiculaire, et, prolongée jusqu'en A, ne rencontrera pas O'P' perpendiculairement; elle sera, par conséquent, distincte de la droite A'G' abaissée perpendiculairement du point A' sur O'P'. Donc les deux droites consécutives AG et A'G' ne ren- (*ontreront pas la droite OP dans le même point; mais deux droites, considérées dans des plans différents, ne peuvent se rencontrer, à moins' que ce ne soit sur l'intersection des deux plans dans lesquels on les considère: donc les droites AG et A'G' ne se rencontrent pas, et ne sont, par conséquent, pas dans un même plan. Il en est de même de la suite des droites A'G', A"G", A"'G"', . . . , prises deux

à deux consécutivement ; donc toutes ces droites ne peuvent pas être les tangentes consécutives d'une même courbe. Il suit aussi de là que si, par deux points consécutifs G et G', l'on conçoit une droite qui sera tangente à la courbe GG'G'^..., cette droite ne passera pas par le point A' : or, en tant qu'elle est sur le second plan normal , elle ne pourrait couper la courbe KAD que dans le point A', oii ce plan la coupe lui-même; donc la courbe GG'G''. . . est telle , qu'aucune de ses tangentes prolongées ne rencontre la courbe KAD; donc elle ne peut être une de ses développées.

Si la courbe KAD était plane, toutes les droites OP, O'P', O^P'^,... seraient perpendiculaires au plan de la courbe, et, par conséquent, parallèles entre elles. Les droites AG, A'G', A'^G",. . . seraient toutes dans le plan de la courbe, et se rencontreraient consécutivement dans la courbe GG'G'^... , dont elles seraient les tangentes; et il est évident que cette courbe ne serait alors autre chose que ce qu'on a appelé, jusqu'à présent, la développée de la courbe KAD.

On aura une des désfeloppées d'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, si, par un de ses points, et suivant une direction arbitraire, on mène une tangente à la surface développahle, qui est le lieu de ses pôles, et si Von plie librement sur cette surface le prolongement de cette tangente, c'est-à-dire que la courbe gg'g" ^^^ est celle que formerait sur la surface OPP'"0'" une droite pliée librement sur cette surface, et dirigée, au premier instant, suivant Kg.

Pour le démontrer, observons ce qui arrive à une droite ou à un fil que Ton plie librement sur une surface. Ce fil peut être considéré, ou comme ayant une largeur infiniment petite, c'est-à-dire comme un ruban infiniment étroit, ou comme n'ayant aucune lar-

— 4oo —

geur. Soient OP, P ''O'' [fiS- 3 et 4) deux éléments plans ou deux hèdres consécutives d'une surface courbe, jointe par la droite infiniment petite O'P'. Soit, pour le premier cas, ABG {fig- 3) un ruban infiniment étroit, appliqué sur un de ces éléments suivant une direction quelconque; il est clair que la partie BG ne peut pas se rapprocher de l'élément suivant pour s'appliquer sur lui, sans faire une partie de révolution autour de Bè ou de O'P'; et comme cette révolution doit se faire librement, ce qui comporte que ce ruban doit, dans tous ses points, toucher la surface, l'angle P'BG doit rester constant : le ruban prendra donc une position BC telle, que l'angle P'BG sera égal à l'angle O'BA. Dans le second cas, soit ABC {fig* 4) un fil tendu sur l'arête commune O'P' des deux éléments de la surface. Comme ce fil n'a aucun mouvement, il doit être également tiré par ses deux extrémités, et l'on pourra prendre, de part et d'autre du point B, des droites égales BA, BC, pour représenter ces tensions. On pourra décomposer chacune de ces deux forces en deux autres, l'une parallèle et l'autre perpendicuhdre à O'P'; et, en abaissant des points A et G des perpendiculaires sur O'P', ces quatre forces seront représentées par AD, BD, BE et CE. Puisque le fil est en équilibre, le point B n'a de mouvement ni vers O' ni vers P': on aura donc

BD = BE; donc on aura

l'angle EBG = l'angle ABD.

De quelque manière donc que l'on considère la ligne que forme, sur une surface courbe, une droite pliée librement, elle doit faire des angles égaux de part et d'autre avec chaque arête que l'on considère sur la surface. Or la ligne gg^g'^--- [fig- ^) jouit de cette propriété; car on a

l'angle A'^'O' = l'angle A'^^'O' = l'angle V'g'g' :

— 4oi —

et ce que nous venons de dire par rapport à l'arête O'P' doit aussi se dire par rapport à toute autre arête. Donc la courbe S S s'"' ^* ^^^^ ^^ formerait, sur la surface OPP'^'O'", une droite pliée librement, avec une direction kg au premier instant; donc, etc.

La courbe que forme une droite pliée librement sur une surface courbe est la plus courte entre ses extrémités que Von puisse mener sur cette surface.

DEMONSTRATION. Pour Ic démontrer, il suffît de faire voir que la ligne ABC {fig- 4)? ou la somme des deux droites AB-hBC, est plus courte que la somme de deux autres droites quelconques AM-+-MC, menées par les deux points A et G. Pour cela, soient

AD = a, DE = b, EC = c et EM = .r; on aura

MC = \Jc'' ^x\ AM = v/«' -h (* — x)\

et, par conséquent,

AM + MC = \lc' -h x' + \/a^ ^{b — x)\ dont la différentielle, égalée à zéro, donne

[b — x) : y/a^ -+- {b — xf = x : yjc' + .r=* ;

ce qui exprime que, dans le cas du minimuniy Tangle AMD doit être égal à l'angle EMC, et que, réciproquement, lorsque ces angles sont égaux, la somme AB+BC est un minimum. Donc, etc.

On aurait pu démontrer que chaque développée est la plus courte entre ses extrémités que Ton puisse mener sur la surface développable, par une considération beaucoup plus simple; car, puisque Ton a partout l'angle gg'O' = P'g'g% l'angle g'g"0"= ^"g"g'^, et ainsi de suite, il est évident que si Ton développe la surface dé-

veloppable sur un plan, la courbe g g g" doit s'étendre en ligne

droite; d'oii il suit immédiatement qu'elle est la plus courte entre ses extrémités qui puisse exister sur la surface développable. Mais cette démonstration ne peut avoir lieu que pour les surfaces développables. D'ailleurs ce n'est pas là la propriété des développées qu'il importait de connaître : il est bien plus utile, dans la pratique, de savoir qu'ayant construit la surface développable, lieu géométrique des développées d'une courbe quelconque à double courbure, on a mécaniquement une de ses développées en menant, par xm point de la courbe, un fil dans une direction quelconque tangent à cette surface, et pliant ensuite librement le fil sur la surface, ce qui est simple, et suit immédiatement de l'art. IX.

Une courbe plane a donc une infinité de développées qui se trouvent toutes sur la surface du cylindre, qui a pour base celle de ces développées qui est dans le plan de la courbe; et toutes ces développées sont à double courbure, à l'exception seulement de celle dont on s'est occupé jusqu'à présent, et qui sert de base à la surface cylindrique.

Réciproquement, ime surface cylindrique à base quelconque est le lieu des développées d'une infinité de courbes, dont aucune ne

peut être à double courbure. Soient, en effet {fig. 5) , BB'B'^ B'^'. . . .

une courbe plane quelconque, et OO'O'^O''^ sa développée

plane; par tous les points B, B', B '',... soient menés dans le plan de la courbe les rayons de développées BO, B' O', B'^C , . . . , qui se couperont consécutivement dans la développée OO'O'^O'". .., à laquelle ils seront tangents. Par les points O, O', 0'^ O '",... soient menées, perpendiculairement au plan de la courbe, les droites OP, O'P', CP'^. . . , dont l'assemblage formera une surface cylindrique qui, d'après l'article précédent, sera le lieu de l'infinité de développées de la courbe BB'B'^B''^... Par le point B, et suivant une inclinaison quelconque, soit menée sur OP la droite BP; par les points B' et P soit menée la droite B'P, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre O'P' quelque part en P' : de même, soit menée B'^P', prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre 0"P'^ en P'^ et ainsi de suite; ou, ce qui revient au même, par le point B, et suivant une direction quelconque BP, soit menée une tangente à la surface cylindrique, et soit librement pliée cette droite sur la surface en pp'p//pw . Qjj ^yp^ y^jç j^g développées à double courbure de

la courbe plane BB'B'^B'^... Gela posé, la courbe PP'P".... est bien, à la vérité, la développée d'une infinité d'autres développantes que de BB'B'^..; mais il est clair que toutes ces développantes doivent être comprises dans la surface courbe formée par les rayons de développées BP, B'P', B^'P"..., et qu'on aura une de ces développantes en allongeant ou diminuant tous ces rayons d*une quantité constante B6 : ainsi les courbes bh'h''h'" . . , , décrites par l'extrémité du rayon de développée, augmenté ou diminué de la quantité Bè , ont aussi , pour une de leurs développées , la courbe PP'P''P'".... Or, si des points b, h\ //^ 6'^..., on abaisse des perpendiculaires sur le plan de la courbe BB'B'^B'". . , , on aura autant de triangles rectangles W?k, B7/X^..., égaux entre eux et semblables, puisque tous les rayons des développées sont également

inclinés à ce plan : donc toutes les perpendiculaires bk^ h'k\ Vk^ ^. . . seront égales; donc tous les points de chaque courbe bb'b'^b'" ... seront à égales distances du plan de la première; donc ces courbes seront planes: ainsi la courbe PP'P'^P''^.. ne peut être la développée que de courbes planes. Mais ce que Ton vient de dire de la courbe PP'P^'P'^'... peut s'appliquer à toute autre décrite de la même manière sur la surface cylindrique; donc une surface cylindrique à base quelconque ne peut être le lieu des développées que de courbes planes.

Toute courbe tracée sur la surface d'une sphère a pour lieu de ses développées la surface d'un cône dont le sommet est au centre de la sphère, et dont la base dépend de la nature de la courbe; car tous les plans perpendieulaires aux éléments de la courbe le sont aussi à la surface sphérique, et passent, par conséquent, par le

centre.

Réciproquement, une courbe quelconque, dont le lieu des développées est la surface d'un cône à base quelconque, est sphérique, et a pour centre le sommet du cône ; car, pour en trouver une développée, il est indifférent de donner telle direction que l'on voudra au rayon de développée, pourvu qu'il soit normal à la courbe, ou, ce qui revient au même, qu'il soit tangent à la surface conique : on peut donc le diriger au sommet du cône, autour duquel il fera une infinité de révolutions sans s'allonger sensiblement, et le point décrivant restera toujours à la même distance de ce sommet.

Donc une courbe qui n'est ni plane ni sphérique a pour lieu dt ses développées une surface développable, dont deux arêtes recti

lignes consécutives se rencontrent bien quelque part, mais dont trois prises de suite ne se rencontrent pas dans un même point. La suite de ces points d'intersection forme une courbe qu'il est fort aisé de reconnaître pour ne devoir jamais être plane, parce qu'alors la surface développable, dont toutes les arêtes ne sont autre chose que les tangentes de cette courbe, serait réduite à un plan.

Donc, 1° lorsque le lieu des développées d'une courbe à double courbure aura deux arêtes consécutives parallèles entre elles, la partie correspondante de la courbe sera plane, et réciproquement; a** lorsque trois de ces arêtes consécutives se rencontreront dans le même point, la partie correspondante de la courbe sera sphérique, et son centre sera au point de rencontre des trois arêtes.

Avant que d'aller plus loin, disons quelque chose des surfaces développables en général .

Il suit de tout ce qui précède, que les surfaces développables sont toutes composées du système d'une infinité de droites prolongées à Tinfini, et qui, toutes prises deux à deux consécutivement, sont dans un même plan . 11 peut donc arriver ces trois cas : i "* qu'elles soient toutes parallèles entre elles , et alors la surface développable est cylindrique àbase quelconque; a"* qu'elles se rencontrent toutes dans un même point : dans ce cas, la surface est celle d'un cône à base quelconque; 3"* enfin, que toutes ces droites se rencontrent deux à deux consécutivement dans une suite de points, dont le système forme ime courbe à double courbure , à laquelle toutes ces droites sont tangentes, et c'est le cas général des surfaces développables. Cette courbe, pour chaque surface en particulier, est singulièrement remarquable, et jouit, en général, des propriétés suivantes :

i*'. Cette courbe suffit pour déterminer la surface développable à laquelle elle appartient , puisque cette surface n'est autre chose que le lieu géométrique de ses tangentes.

a"*. Elle est la limite de la surface développable, puisqu^aucune des droites dont est composée la surface ne peut passer du côté vers lequel cette courbe est concave. Ceci s'entendra mieux par un exemple. Que l'on conçoive que toutes les tangentes possibles de r hélice d'une vis soient prolongées à l'infini, et forment, par leur système, une surface développable: cette surface aura un nombre infini de nappes^ et chacune de ces nappes sera d'une étendue infinie, comme les droites dont elle est composée; mais aucune d'elles n'entrera dans le cylindre sur la surface duquel est tracée F hélice : elles viendront donc toutes se terminer à cette courbe, qui sera, par (conséquent, leur limite.

3". Cette courbe est pour la surface développable ce qu'un point de rebroussement est pour une courbe ordinaire ; car les tangentes d'une courbe peuvent également être prolongées dans les deux sens, chacune par rapport à son point de contact : or leurs prolongements dans un sens forment une nappe particulière; leurs prolongements dans l'autre sens forment une nappe distincte de la première, tant que la courbe n'est pas plane, et néanmoins ces deu\ nappes passent à la fois par la courbe qui est leur limite commune. Cette courbe est donc, à proprement parler, \ arête de rehroiissement de la surface développable; c'est aussi le nom que je lui donnerai. J'appellerai donc désormais arête de rebroussement d'une surface développable la courbe touchée par toutes les droites dont cette surface est composée, ou, pour parler plus rigoui^usement, la courbe constamment touchée par la droite qui, en se mouvant, engendre la surface.

Il ne s'agit plus actuellement que d'appliquer l'analyse à tout ce qui précède.

Etant données les équations (Vune courbe à double cour bure rapportée à trois plans rectangulaires , tromper celle du plan normal mené par un point déterminé de la courbe.

Solution. Le plan normal étant perpendiculaire à la tangente de la courbe au point oii elle est coupée par ce plan, il suit du premier problème qu'on aura facilement l'équation demandée, lorsqu'on aura celles des projections de cette tangente; or ces projections sont elles-mêmes les tangentes aux projections de la courbe dans des points qui correspondent à la même abscisse : la question est donc réduite à trouver les équations des tangentes des projeo

tions. Soient

y z= (px et 2 = ^x

les équations des projections de la courbe, (p et ^ indiquant des fonctions quelconques; soient, de plus, x' l'abscisse du point déterminé de la courbe par lequel on doit mener le plan normal, et, par conséquent, (px' et '\x' les autres coordonnées de ce point: cela posé, cherchons d'abord l'équation de la tangente à la projection sur le plan des x et y.

Cette équation doit généralement être de cette forme,

y = Ax + B,

A étant la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe des x. Or cet angle est le même que celui que fait avec le même axe l'élément de la projection qui correspond aux coordonnées x' et (px^; donc on aura

Tua tangente devant, de plus, passer par cet élément, il faut que la

constante B soit telle, qu'en faisant x^=x on ait

r équation de la tangente à la projection sur le plan des x et >

sera donc

y — (px' = (.r — .r') (p^x\

Par un semblable raisonnement, on trouvera que réquation de la tangente à la projection sur le plan des ^r et z, pour la même abscisse du point de contact, est

z — ^x^ = (a: — cr' ) 4' j;'.

Ces deux équations sont celles des projections de la tangente de la courbe à double courbure, et l'équation demandée du plan normal sera

Etant données les équations d'une courbe à double courbure rapportée à trois plans rectangulaires, trouver celle de la surface dévehppable qui est le lieu géométrique de toutes ses développées.

Solution. Soient, comme précédemment,

y z=i (px et z=^'\x

les équations de la courbe proposée, de manière que c^Ue du plan normal mené par le point de la courbe qui correspond à l'abscisse x' soit, en vertu du problème précédent,

(A) (z — 4^*') 4'*^'+ (j — <px')<p'x' -\r- X — J?' = 0.

Si l'on prend encore sur la courbe un point infiniment voisin du

premier, et correspondant à l'abscisse x'-^dx', l'équation du plan normal mené par ce nouveau point se trouvera en mettant, dans la précédente, .r' + ctr' à la place de a;', et sera

j [z — ^x'^dx')^\x'^dx') \

^^^ \-^[y — ^'i^x'^dx')](p\x'-^d.v') + X — {x'+dx'))^'

et si, dans les deux équations (A) et (a), on fait les x^ y et z de Tune égales respectivement aux x^ y tt z de. l'autre, ces deux équations seront celles de la droite d'intersection des deux plans infiniment voisins; ou bien, retranchant (A) de (a), négligeant les infiniment petits du second ordre, et divisant par dx\ on aura pour cette droite d'intersection les deux équations suivantes :

(A) (s — '^x')^\v' -\- ( j — (px' ) (p' x' -{- X — cf'= o,

(B) (2 — 4^')4V+(j — ^a'>V— [i+((pV)^H-(4V)^J=o.

Or cette intersection se trouve tout entière sur la surface des développées, et renferme tous les pôles de l'élément de la courbe compris entre les limites x' et x' -^ dx^ ; donc, pour avoir entre Xr, y et z une relation qui convienne à tous les pôles de la courbe, indépendamment de l'abscisse x\ on n'aura qu'à éliminer x^ des deux équations (A) et (B), et l'équation qui résultera sera celle de la surface demandée.

()n peut déduire immédiatement l'équation (B) de l'équation (A), en remarquant qu'elle est la différentielle de celle-ci prise en regardant x' comme seule variable. Donc, pour trouver l'équation de la surface développable, qui est le lieu géométrique des développées d'une courbe à double courbure, il faut d'abord chercher l'équation du plan normal à la courbe, qui sera nécessairement de cette

— 4io

forme,

A; + Bj 4- C^ -h D = o,

et dans laquelle les constantes A, B, C, D sont des fonctions connues de l'abscisse ^v\ correspondante au point de la courbe par lequel passe le plan normal ; différentier ensuite cette équation en ne faisant varier que oc\ ce qui donnera une seconde équation qui servira à éliminer .x' de celle du plan, et l'équation en x, y et z qu'on obtiendra , sera celle de la surface demandée .

Etant données les équations cVune courbe à double courbure, trouver celle de /'arête de rebroussement de la surface développable qui est le lieu géométrique de ses développées.

Solution. Les deux équations du problème précédent étant celles de l'intersection des deux plans perpendiculaires à la courbe, menés par les points qui correspondent aux abscisses or' et x'-\- dx\ et, par conséquent, celles d'une des droites qui composent la surface des développées; si l'on suppose que dans ces deux équations, .r' devienne x' -^ dx\ et que x^ -h dx' devienne x' + a,dx' ^ ce qui donnera

, v( [z—^[x'^dx')]^' [x'-^ dx')^[j — tf{x'-^ dx')y {x'-\- dx')\ ( [z — ^{x'-^:tflx')']^'[x'-\-^dx')-^[ r—'f[x'^^dx')]^'{x'^^dx')\

ces deux équations seront celles d'une droite qui se trouve encore sur la surface des développées, infiniment près de la première; et si, dans les quatre équations (A), (B), (a) et (6), on fait les j;, j, z de chacune d'elles égales aux a:, j, z de toutes les autres, ces quatre équations seront celles de Tintersection de ces deux droites infini-

- 4ii -

ment proches. Ou bien, remarquant que les équations (B) et {a} se comportent Tune l'autre, et retranchant ensuite {a) de {f?), on aura pour le point d' intersection des deux droites consécutives les trois équations

(A) (z— tp jc') if'x'-h (y — (fx^) 9'.r'H- x — .r' = o ,

Or ce point d'intersection appartient à l'arête de rebroussement ; il se trouve en même temps sur les trois plans perpendiculaires à la courbe proposée , menés par les points de cette courbe qui coiTespondent aux abscisses .r', x-j- dx\ :t'-h *i(Lv ; sa position dépend donc de l'abscisse .r'. Donc*, si l'on veut avoir les équations qui conviennent à la suite des points ainsi déterminés, indépendamment de Tabscisse .r', on n'aura qu'à éliminer .r' des trois équations (A), (B) et (C), et les deux équations en .r, y et z qu'on obtiendra, seront celles de l'arête de rebroussement demandée.

On peut déduire immédiatement l'équation (G) de l'équation (B), en observant qu'elle est la différentielle de celle-ci prise en regardant .r' comme seule variable, et, par conséquent, la différentielle seconde de (A) prise de la même nianière. Donc, pour trouver les écpiations de l'iirête de rebroussement de la surface développable, lieu géométrique des développées d'une courbe à double courbure, il faut d'abord chercher l'équation du plan normal à la courbe, qui sera de cette forme ,

A3 -h Br -h Ca^ -h D = o,

A, B, G et D étant, pour chaque plan normal, des constantes, fonctions connues de l'abscisse déterminée x\ qui correspond au

point (le la courbe par lequel passe le plan normal ; différentier ensuite deux fois cette équation, en regardant x' comme seule variable, et clx' comme constant, ce qui produira deux nouvelles équations ; éliminer enfin de ces deux équations et de celle du plan l'indéterminée x^ : les deux équations en .r, y et z qui resteront, seront celles de Tarête de rebroussement demandée.

Si , des trois équations (A) , (B) et (G) , on tire les valeurs des trois variables x, y et z, on trouvera

y^r^x '^\^'^Yx'{:Yx'Yx'-\-^'x.f^''x')y^^ ^ y^çx;,

Ces valeurs sont celles des coordonnées du point dans lequel se rencontrent les deux droites consécutives prises sur la surface développable, ou les trois plans consécutifs perpendiculaires à la courbe, et menés par les éléments qui correspondent aux abscisses x\ x'-+-dx' et x^-r- idx\ Ce point est à égales distances de ces trois éléments; car, en tant qu'il se trouve dans l'intersection des deux premiers plans, il est à égales distances des deux premiers éléments, et en tant qu'il se trouve dans T intersection du second et troisième plan, il est également éloigné des second et troisième éléments : donc les valeurs de .r, j et z, que nous venons de trouver, sont celles des coordonnées d'un point également éloigné des trois éléments consécutifs de la courbe, pris dans la partie de cette courbe qui correspond à l'abscisse x'\ or ces valeurs seront toujours réelles, tant que la branche de la proposée ne sera pas

imaginaire, c'est-à-dire tant que j' et z ou cpo?' et 4*^-' seront réelles : donc, dans toute courbe à double courbure, trois éléments consécutifs sont toujours à égales distances d'un certain point, et peuvent, par conséquent, être regardés comme placés sur la surface d'une même sphère dont ce point est le centre. La suite de tous ces centres forme l'arête de rebroussement de la surface des développées de cette courbe ; donc cette arête est le lieu géométrique des centres de courbure sphérique de la courbe, sans être une de ses développées, puisque aucune de ses tangentes ne rencontre la proposée, et qu'elles sont toutes sur la surface développable.

Etant données les équations d'une courbe à double courbure quelconque, trouver celles de telles de ses développées quon voudra.

Solution. Toutes les développées d'une courbe étant sur une même surface développable, l'équation de cette surface est commune à toutes les développées: or nous avons donné (art. XXII) la manière de trouver cette équation , et nous avons vu qu'elle était le résultat de l'élimination de la quantité x' des deux équations (A) et (B) ; il ne reste donc plus qu'à trouver pour chaque développée une équation particulière qui la distingue de toutes les autres, et qui détermine sa manière d'exister sur la surface développable. Pour cela, considérons que chaque développée doit être telle, que le prolongement de sa tangente en un point quelconque coupe la développante dans le point dont les coordonnées sont x\ <px et 4«^'î ^"> ^^ Q^* revient au même, que le prolongement de la tangente de sa projection passe par la projection du point de la développante dont les coordonnées sont x\ (px^ et 4«^'- On aura

donc, par rapport à la projection sur le plan des z, y. Si des trois é([uations

(W) (r-'fr')'y\r'4-(v— ?.rO'/V— [i-4-(9'y)«^('}V)*J = o, (C) {z —'}^x') (h --:=()'— 9.r') r/s ,

OU élimine T indéterminée .r', les deux équations qu'on obtiendi-a en r, )• et z^ et dont Tune sera aux difïérences premières, seront les deux équations demandées.

Au lieu d'employer, comme nous avons fait, les projections sur le plan des )* et z^ on peut se servir de la projection sur Fun quelconque des deux autres plans, et à la pla(*e de l'équation (D) on aura, dans le cas du plan des .r et r,

( r — ?.^') d.v = (x — x) d)\ et, dans le cas du plan des x et z,

iz — 4'^*') ^^^ ^^ (•*' — •**') ^'^•

De ces trois équations différentielles, deux quelconques comportent généralement la troisième ; mais si, comme dans le cas dont il s'agit, on suppose que les deux équations (A) et (B) aient lieu en même temps qu'elles, alors, de ces trois équations différantielles, une quelconque comporte les deux autres, et il suffit d'employer celle qui présentera moins de difficulté dans l'intégration.

par un même point donné B de cette courbe, mener deux fils BO, BP, tangents à la surface développable, les plier ensuite librement sur cette surface, l'un en OO'O^O'^.., l'autre en PP'P''P'^... : ces fils, dans leur développement, se contre-balanceront et empêcheront que leur point de réunion cesse d'être dans la développante; ou bien, pour faire usage des formules précédentes, on donnera à l'indéterminée a ou b deux, valeurs différentes, ce qui produira deux développées distinctes, ()0'0"0'". . . et PP'P'^P"'. . . , qui jouiront de la même propriété.

Il suit de là qu'il serait facile de faire osciller un pendule dans ime courbe à double courbure quelconque, si cela était nécessaire, en supposant que cette courbe tournât sa convexité du côté du rentre des forces qui agiraient sur le pendule.

Du rayon de courbure et des différents genres d*bîflexions des

courbes à double courbure.

On appelle point d iriflexion, dans une courbe plane, le point où cette ligne, après avoir été concave dans un sens, cesse de l'être pour devenir concave dans l'autre sens. Il est évident que, dans ce point, la courbe perd sa courbure et que les deux éléments consécutifs sont en ligne droite. Mais une courbe à double courbure peut perdre chacime de ses courbures en particulier, ou les perdre toutes deux dans le même point; c'est-à-dire qu'il peut arriver ou que trois éléments consécutifs d'une même courbe à double courbure se trouvent dans un même plan, ou que deux de ces éléments soient en ligne droite. Il suit de là que les courbes à double courbure peuvent avoir deux espèces d'inflexions : la première a lieu

dans ce point, les équations de la courbe satisfassent à F équation générale du plan : or cette équation générale est

z = oj? -h fry H~ ^•

Si donc on différentie trois fois cette équation à cause des trois constantes, ce qui donne

(Iz = adjc H- bdy^ ddz = hddjj d'z = bd'y,

et qu'on élimine a et è de ces trois équations, on trouvera

ddyd^z — ddzd^y = o,

équation de condition qui doit être satisfaite pour que ces trois éléments consécutifs d'une courbe à double courbure soient dans un même plan, et qui est la même que celle que nous venons de donner dans le problème précédent.

Trouver l'expression du rayon de courbure d'une courbe à double

courbure quelconque.

Solution. Dans tout ce qui précède, nous avons bien distingué les rayons de développées d'une courbe à double courbure de son rayon de courbure. Nous avons vu que, dans chaque point, une courbe quelconque a une infinité de rayons de développées, parce qu'elle a une infinité de développées différentes ; mais que, dans chaque point, elle n'avait qu'un rayon de courbure, et qu'on trouvait ce rayon en abaissant une perpendiculaire du point de la courbe sur l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment voisin.

Or nous avons donné (première partie) l'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point donné sur une droite dont on connaît les équations de projections; de plus, nous avons trouvé (art. XXII), pour équations de l'intersection du plan normal avec celui qui le suit immédiatement,

( z — t|;.r') ^' x' -f- ( 7' — a» x') ^' x' -H JT — x' =- () , {z — ^x')\"x'-\- [y—^x') y'V— [1-4- (o'o:')' -^ W oc')' ] = o ;

d'où l'on tire les trois équations suivantes, qui sont celles des trois projections de cette droite :

— .r+'V-hj(f x'9'V— 9V^^r') — f x'[i4- [i x'Y ^{^' x'Y ^

.-JLZ 0 .

Si Ton compare actuellement ces trois équations avec celles de la droite données dans la première partie, on trouvera, pour expression du rayon de courbure d'une courbe à double courbure quelconque,

Xous avons aussi donné (première partie) les expressions des coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite ; si l'on substitue encore dans ces formules les valeurs ci-dessus, on ti^ouvera, pour coordonnées du centre de (*ourbure d'une courbe quelconque, dans le sens des x^

dans le sens des j,

et dans le sens des z,

4 et' H- 1 4- (cp ;r)' + K^t')* , ,, \, — rnr-\« /!/ — ât"^^ — // ,// x*' T ' I. ' \^ / ' \r / J ((p"T)*-f-(^ J.*) -+-(^ xo'\r — r^"xYocY

De manière qu'à Taide de toutes ces formules, on peut non-seulement connaître la courbure, en un point quelconque, d'une courbe à double courbure, mais encore assigner le sens de sa courbure, puisqu'on peut connaître dans l'espace la position de son centre

de courbure.

Troiwer la formule qui donne les points (le double inflexion (les

courbes à double courbure.

Solution. Il suit de la définition que nous avons donnée (art. XXX) de la double inflexion, que, toutes les fois qu'elle aura lieu, le rayon de courbure sera = oc ou =0, c'est-à-dire qu'on aura

^fxf + (4''af H- {-^'xtp'x — (p'x'^'xy = o ou = oc.

Le premier membre de cette équation étant la somme de trois carrés, on doit avoir

r^'x = o ou 00; ^"j: = o ou oc 5 ^'xtf'^x- -y'j:(|/"jc = o ou oc .

La troisième équation étant une suite des deux premières, la formule pour trouver les points de double inflexion sera

(p^\x = o ou 00 ; 4^^* = o ou 00 ; ou bien

d^j- = o ou oc ; r/'z = o ou oc .

Il est inutile de remarquer que la même formule donne aussi les points de rebroussement.

(Concevons une surface courbe quelconque donnée, dont la construction dépende de deux paramètres a, /3, et dont l'équation soit représentée par

supposons, de plus, que les deux paramètres ne soient pas indépendants Tun de l'autre, mais qu'il y ait entre eux une relation déterminée exprimée par /3 = (p«, (p étant une certaine fonction donnée; en sorte que « soit le paramètre principal : l'équation de la surface sera

Cela posé, suivant que Ton donnera au paramètre a des valeurs différentes, l'équation appartiendra à des surfaces différentes, dans <?hacune desquelles les quantités a, (pa, qui seront toutes deux constantes, auront des valeurs différentes. Si donc on suppose que le paramètre a prenne successivement toutes les valeurs possibles, depuis — ao jusqu'à -i- oo , la surface se mouvra en changeant de forme; elle passera successivement par toutes les formes et toutes les positions dont elle est susceptible, et elle parcourra un certain espace. Enfin, si Von suppose que toutes ces surfaces existent ensemble, et qu'une autre surface les enveloppe toutes, cette dernière surface, jusqu'à laquelle chacune des premières s'étend, au delà de laquelle aucune d'elles ne se porte, et qui est, par conséquent, leur limite, est aussi la limite de l'espace parcouru par la première, regardée comme mobile et variable de forme, en vertu de la variation du paramètre a.

C'est cette dernière surface à laquelle, en la comparant à la sur-

ristique qui correspond à la première des deux enveloppées. Or les équations de ces deux enveloppées consécutives sont

f\x, y, z, a, (pa) = o, J {oc^ y^ z, oc -^ doc, (poc -j- d(pa) = o;

ou, représentant la première par

/=o, la seconde est

Donc ces deux équations sont celles de la caractéristique; et, parce qu'elles doivent avoir lieu en même temps pour cette courbe, la première réduit la seconde, et elles deviennent

dans lesquelles la valeur de a détermine la forme et la position de chacune des caractéristiques. Donc enfin l'enveloppe, qui est le lieu général de toutes les caractéristiques, aura pour équation intégrale le résultat de l'élimination de l'indéterminée a entre les deux équations précédentes.

On voit que si la forme de la fonction ^ est donnée, et, par conséquent, celle de sa dérivée ^', l'élimination de a sera toujours possible, et que l'équation de l'enveloppe sera entièrement délivrée du paramètre variable a; mais elle contiendra toujours des

traces de la fonction (p et de sa dérivée (p' : ainsi, pour chaque forme différente que Von pourra donner à la fonction (p, on aura une enveloppe différente. Si donc on veut que F équation appartienne à toutes les enveloppes possibles qui peuvent être produites par les divers mouvements que l'on pourrait donner à l'enveloppe mobile, il faut regarder la fonne de la fonction (p comme arbitraire; mais alors l'élimination du paramètre a n'est plus praticable, bu du moins elle ne peut s'effectuer que dans des cas particuliers, et l'équation de l'enveloppe ne peut plus, en général, être exprimée (|ue par le système des deux, équations

entre lesquelles il faut éliminer l'indéterminée a, et dans lesquelles la fonction <p est arbitraire.

Néanmoins l'enveloppe peut être exprimée par une équation unique aux différences partielles; en effet, des deux équations précédentes, la seconde énonce que la différentielle de la première, prise en regardant a comme seule variable, est égale à zéro : on peut donc différentier la première en regardant a comme constante.

Mais cette équation J =^o appartient à une surface courbe pour

laquelle deux variables, par exemple a:, j, sont indépendantes, ainsi que leurs différentielles dx^ dy\ il faut donc que les deux différentielles de cette équation, prises en regardant d'abord x, puis/ comme seules variables, aient lieu chacune en particulier:

ia première sera en

ia seconde sera en

r/, .r, y, s, a, (pa.

Donc, entre ces deux équations et /*= o, on pourra éliminer les

deux quantités ol^ <po^^ et Ton aura une équation aux différences partielles du premier ordre

Or, 1" en éliminant «, on transporte à F enveloppe ce qui n'était dit d'abord que de l'enveloppée; 2** en éliminant (pa, on transporte à toutes les enveloppes possibles ce qui n'était dit d'abord que de l'enveloppée déterminée par la forme supposée à la fonction (p.

Donc réc|uation aux différences partielles du premier ordre

appartient à toutes les enveloppes possibles qui peuvent être produites d'une manière quelconque par le mouvement de la même enveloppée mobile.

On sait que, deux courbes quelconques étant données dans Tespace, si l'on approche d'elles un plan qui les touche toutes deux, ce qui ne déterminera pas sa position, et si l'on suppose que ce plan roule de manière qu'il ne cesse pas de toucher les deux courbes dans son mouvement, qui, par là, sera déterminé, il parcourra un espace dont l'enveloppe est une surface développable qui passe par les deux courbes.

Gela posé, concevons deux caractéristiques consécutives dont la

Ce que nous venons de dire de la surface développable dont r équation générale aux différences partielles rt — ^^ = o est du second ordre, peut se dire aussi de toute autre surface dont Téquation aux différences partielles est aussi du second ordre : nous n'en rapporterons qu'un seul exemple.

Concevons qu'une sphère de rayon constant roule en touchant toujours la première caractéristique et la seconde ; elle parcourra un espace dont l'enveloppe sera la surface d'un tuyau à section circulaire de rayon constant; et cette surface, dans l'équation de laquelle le paramètre a aura la valeur déterminée qui convient à la première caractéristique, passera par les deux caractéristiques consécutives, et sera tangente à l'enveloppe primitive.

Si l'on fait la même opération sur la seconde caractéristique et la troisième, on aura la surface d'un second tuyau à section circulaire de même rayon, qui passera par la seconde caractéristique et la troisième, qui touchera de même l'enveloppe primitive, et dont l'équation ne différera de celle de la première que parce que le paramètre a aura pris la valeur a -+- rfa. Les surfaces de ces deux tuyaux consécutifs se couperont dans la seconde caractéristique qui leur est commune.

Si donc on continue de faire passer ainsi des surfaces de tuyaux circulaires par toutes les caractéristiques considérées deux à deux consécutivement, on aura une suite de surfaces tangentes à l'enveloppe primitive, et qui, considérées elles-mêmes deux à deux consécutivement, se couperont successivement dans toutes les caractéristiques. Donc, si l'on conçoit que la surface du tuyau, dans l'équation de laquelle entre le paramètre «, se meuve dans l'espace en vertu de la variation de ce paramètre, elle parcourra un espace qui aura la même enveloppe .

la construction est plus facile, ou à la considération de laquelle on est plus accoutumé.

Considérant sur une enveloppe quelconque la suite des caractéristiques dont elle est le lieu , commençons par celle de ces courbes qui correspond à une valeur déterminée de a ; prenons sur elle un point arbitraire, et concevons sa tangente en ce point; puis, par (;ette tangente, menons un plan quelconque qui sera tangent à la courbe, mais dont la position ne sera pas déterminée, et qui ne sera pas tangent à Tenveloppe. Gela fait, concevons que le plan tourne autour de la tangente jusqu'à ce qu'il touche la caractéristique suivante en un certain point qui sera déterminé ; la position du plan sera alors déterminée, il sera tangent à l'enveloppe, et il contiendra la tangente à la seconde caractéristique.

(^loncevons ensuite que le plan tourne autour de la tangente de la seconde caractéristique, jusqu'à ce qu'il touche la troisième en un autre point qui sera de même déterminé; dans cette position, il sera encore tangent à l'enveloppe, et il contiendra la tangente à la troisième caractéristique.

Enfin, concevons que le plan continue de rouler ainsi, en tournant toujours autour de la tangente de la caractéristique qu'il touche, jusqu'à ce qu'il touche la caractéristique suivante ; il est évident <|ue dans son mouvement il ne cessera pas d'être tangent à l'enveloppe, puisqu'il passera toujours par les tangentes de deux caractéristiques consécutives. Il déterminera sur l'enveloppe une suite de points de contact dont le lieu sera une courbe qui passera par le point de contact pris arbitrairement sur la première caractéristique. Il y aura donc sur l'enveloppe autant de courbes déterminées de cette manière, que l'on peut concevoir de points pris arbitrairement sur la première caractéristique ; chacune de ces courbe

coupera toutes les caractéristiques, et réciproquement. Et, parce fjue la considération de ces courbes va nous devenir nécessaire, je leur donnerai le nom de trajectoires de la caractéristique.

Les angles sous lesquels les trajectoires coupent les caractéristiques dépendent, en général, de la nature de F enveloppe. Par exemple, dans les surfaces de révolution, les parallèles sont les caractéristiques, les méridiens sont les trajectoires ; et, dans ce cas, les trajectoires sont orthogonales.

Le plan qui se meut de manière à toucher toujours l'enveloppe dans la même trajectoire détermine une surface développable qui touche elle-même l'enveloppe dans toute l'étendue de la trajectoire.

Nous avons fait rouler le plan tangent sur l'enveloppe de deux manières différentes.

Dans la première, le point de contact du plan mobile ne sort pas de la même caractéristique, et deux plans consécutifs se coupent dans la tangente à la trajectoire qui passe par le pohit de contact.

Dans la seconde, le plan de contact du plan mobile ne sort pas de la même trajectoire, et deux plans consécutifs se coupent dans la tangente à la caractéristique qui passe par le point de contact.

Ainsi, la surface développable qui touche l'enveloppe dans la caractéristique, et celle qui touche l'enveloppe dans la trajectoire, sont réciproques, en cela que la première est le lieu des tangentes aux différentes trajectoires dont les points de contact sont pris sur la même caractéristique, tandis que la seconde est le lieu des tangentes aux différentes caractéristiques dont les points de contact sont pris sur une même trajectoire .

Cette propriété mérite une grande attention, parce que c'est son expression qui nous produira les deux équations aux différences ordinaires de la caractéristique.

L'enveloj)pe étant le lieu de toutes les trajectoires dont les différentes équations intégrales ne difféi'ent entre elles que par la valeur d'un ceitaiii paramètre (i qui varie de Tune à l'autre, la trajectoire peut aussi être regardée coniine une génératrice de l'enveloppe (|u'elle engendre en vertu du mouvement que lui procure la variation de fi ; mais il y a une grande difFérence entre cette génératrice et la caractéi-isti(|ue.

Pour la caractéristique, les quantités a, <pa, qui entrent dans ses équations intégrales, sont toutes deux constantes, et doivent être regardées connue telles, lorsqu'on dilFérentie aux difTérences ordinaires ces équations ; on peut donc les éliminer comme deux véritables constantes arbitraires, et les équations aux différences ordinaires que Ton obtient aloi's, ne renfermant plus la fonction (p, appartiennent à toutes les caractéristiques qui se trouvent sur toutes les enveloppes possibles. Pour la trajectoire, au contraire, ses deux équations peuvent bien, à la vérité, être regardées comme indépendantes de a, mais elles ne le sont pas de la forme de la fonction (p ; cette courbe dérive nécessairement de celle qui dirige le mouvement de l'enveloppée, et elle tient essentiellement à la nature de l'enveloppe que l'on considère.

Ainsi, la caractéristique est la génératrice commune à toutes les enveloppes différentes et en nombre infnii que l'on peut produire par la même enveloppée, tandis que la trajectoire n'est la génératrice que d'une seule de ces enveloppes; la caractéristique, dont la nature ne dépend absolument que de celle de l'enveloppée, est donc la seule qui j)orte le caractère généi^al de la génération exprimée par l'équation aux différences partielles. C'est pour cela ([ue je lui ai donné un nom particulier qui la distingue de toutes les autres génératrices.

Par exemple, dans la surface de révolution, le méridien, qui est la trajectoire, est bien une génératrice; c'est même la seule qu'on ait coutume de considérer : mais cette génératrice est propre à une surface de révolution individuelle ; elle varie sans aucune dépendance d'un individu à un autre, et ce n'est pas elle qui donne à la surface le caractère d'être de révolution. C'est le parallèle seul, c'est-à-dire la circonférence de cercle dont le plan est toujours normal à l'axe constant de position, qui passe par son centre ; c'est, dis-je, le parallèle qui est la génératrice commune à toutes les surfaces de révolution autour d'un même axe ; c'est cette courbe qui imprime à la surface le caractère d'être de révolution ; c'est elle qui est la caractéristique de cette génération.

Ces préliminaires étant posés, nous allons passer à la recherche des équations aux différences ordinaires de la caractéristique.

Soit proposée l'équation générale aux différences partielles du premier ordre

dans laquelle les cinq quantités entrent d'une manière quelconque, mais donnée; si on la differentie aux différences ordinaires, on a une équation aux différences ordinaires de la forme

Vrlp -h Qdq 4- Xdr-hYdf -+- Zdz = o,

dans laquelle les cinq coefficients P, Q, X, Y, Z, obtenus par la differentiation, sont connus en /;, (7, ^, j, z; et parce que Ton a d'ailleurs dz=pd.v -\- qdy^ cette équation différentielle sera

(B) Prf/? + Qrf7-+-(X+/7Z)rf^+(Y + 7Z)rf>=o.

Cela posé, considérons le plan tangent qui s'appuie sur deux carac-

téristiques consécutives quelconques, et qui les touche chacune en un point. Si, sur l'enveloppe, on veut passer du premier de ces deux points de contact au second, c'est-à-dire parcourir F élément de la trajectoire; comme ces points sont sur le même plan tangent, les quantités /?, q ne changent pas dans le passage : il faut donc faire dans (B) «^ = o, dg = Oj ce qui donnera

dans laquelle la valeur de j- indique, sur le plan des x, j, la

direction suivant laquelle doit se faire le passage, c'est-à-dire la direction de la projection de l'élément de la trajectoire. Cette équation différentielle n'est donc autre chose que celle de la projection de la trajectoire elle-même sur le plan des a;, y.

Le plan tangent n'est pas la seule surface qui passe par la trajectoire; si dans (B) on fait

(D) Pdp-hQd^=o,

on a également l'équation (C) ; ainsi la surface à laquelle appartient l'équation (D) passe aussi par la trajectoire. Or cette surface est développable, puisque son équation aux différences ordinaires est en dp, dq\ de plus, elle touche l'enveloppe, puisque les quantités/?, q ont les mêmes valeurs pour cette surface et pour l'enveloppe : donc l'équation (D) est celle de la surface développable qui touche l'enveloppe dans la trajectoire.

Jusqu'ici, nous avons regardé comme unmobile le plan tangent dont l'équation, limitée à l'étendue de l'élément de l'enveloppe, et rapportée au point de contact pour origine, est

(E) dz = pdx H- qdy ;

mais si Ton veut commencer à faire rouler ce plan d'une manière

on aura une équation qui appartient à l'élément de la caractéristique autour duquel tourne le plan, et, par conséquent, l'équation différentielle de la projection de la caractéristique sur le plan des x^ y. Ainsi, les deux équations aux. différences ordinaires (G), (H) appartiennent à la caractéristique.

En nous résumant, on voit que l'équation

(B) Vdp -h Qd^j -h {X -h pZ)dx -^ {Y -^ qZ)dx = o

étant partagée dans les deux suivantes :

(D) Pdp -h Qdq = O,

et ayant posé l'équation

(F) dpdx -h dqdj = Oy

si l'on substitue dans (G) , (D) , pour i^ ou ^, les valeurs que donne cette dernière , on aura les deux équations

(G) (X + pZ) dq—{Y + qZ) dp = O,

(H) Vdy — Qdœ = o,

qui appartiennent toutes deux à la caractéristique.

Les équations (B), (E) qui appartiennent toutes deux à l'enveloppe sur laquelle se trouve la caractéristique, appartiennent aussi à cette courbe : ainsi on a, pour la caractéristique, les quatre équations aux différences ordinaires (B), (E), (G), (H).

Les quatre équations aux différences ordinaires que nous venons de trouver pour la caractéristique sont entre les cinq différentielles dp^ dq^ dxy dy^ dz. On peut donc éliminer entre elles trois quel-

conques de ces différentielles, et Ton aura une équation qui ne contiendra que les deux autres, ce qui produit les dix résultats suivants :

Pdy — Qdx o,

Pflz (P/?H-Q<7)f/x— o,

qdz—{Pp^qq)fij—.o,

P(f/?-h (X -\-pZ)dc— 0,

Q<//;H-(X -hpZ)dY—o,

Pdfj -f- (Y -h qZ) dx— o.

qdq-h{Y H- ry Z)<>-0,

{Pp H- Q«7) dp -+- (X -hp7.) dz — o,

{?p -h Qry)c&/ -4- (Y + ryZ) ^fe - o,