SECONDE PARTIE
DK L INTEGRATION DES EQUATIONS DE LA CARACTERISTIQUE.
Il peut se présenter deux cas : ou Téquation aux différences partielles est linéaire en p^ //, ou elle ne Test pas; le premier de ces deux cas étant plus simple à traiter, nous allons d'abord nous en occuper.
Soit donc proposée Téquation linéaire générale
dans laquelle les trois coefficients 1^, P, Q soient donnés d'une manière quelconque en .i', j, z. liCS trois premières équations de la caractéristique , qui sont dans ce cas les seules nécessaires , deviennent
Prfr — Q^^ = o,
Prfz — Lr/j: = o,
Qrfz — Lrfr = o.
Kl les appartiennent aux projections de la caractéristique sur les trois plans des coordonnées; ainsi, deux quelconques d'entre elles c'omportent la troisième. 11 suffira donc d'en considérer deux, par exemple les deux dernières.
Supposons d'abord que ces équations soient toutes deux intéj» râbles, et que leurs intégrales soient représentées par
M = «, N = Ti,
dans lesquelles a et [i soient les deux constantes arbitraires introduites par les intégrations. Dans cet état, ces deux intégrales appartiennent à toutes les caractéristiques possibles qui peuvent se trouver sur toutes les enveloppes possibles auxquelles appartient T équation aux différences partielles, c'est-à-dire que, de toutes les caractéristiques possibles dont le nombre est infini du second ordre, il n'y en a aucune dont les deux intégrales ne puissent devenir les équations propres, si Ton donne à chacune des deux constantes arbitraires a, |S une valeur déterminée convenable.
Mais si Ton n'a pas pour objet de considérer à la fois toutes ces caractéristiques, si Ton se propose seulement d'en considérer une certaine série, et si l'on veut que toutes celles qui composent cette série soient liées entre elles par une loi, en sorte que l'on ne puisse passer d'une quelconque à la suivante que d'une manière déterminée, alors les constantes a, ^3 ne sont plus toutes deux arbitraires; l'une quelconque étant prise arbitrairement, l'autre s'ensuit nécessairement : la seconde est donc une certaine fonction de la première, et la forme de cette fonction dépend de la loi qui lie entre elles toutes les caractéristiques de la série. En représentant par (p la forme de la fonction dont il s'agit, les équations intégrales, qui deviennent alors
M = a, N = (pa,
n'appartiennent plus à toutes les caractéristiques, mais seulement à celles de ces courbes qui sont comprises dans la série déterminée j)ar la forme de la fonction -(p ; et, dans cette série, chaque carac- ^ristique individuelle sera déterminée par la valeur particulière de
la constante arbitraire oc.
Donc, si l'on suppose qu'une quelconque des caractéristiques de la série soit rendue mobile et variable de forme en vertu de la "Variation de a, cette courbe, dans son mouvement, se confondra
successivement avec toutes les autres de la même série ; elle euf^endrera leur lieu général, qui ne sera autre chose qu'une des enveloppes auxquelles appartient l'équation aux différences partielles; et Ton aura l'équation unique de cette enveloppe, ou de ce lieu général, en éliminant a entre les deux équations précédentes, c^e qui donnera
N = (piM.
Dans cette équation, c'est la forme seule de la fonction (p qui détermine la série particulière des caractéristiques, dont l'enveloppe est le lieu général; en sorte que si Ton change de série, et par consé- ([uent d'enveloppe, rien ne change dans l'équation que la forme de la fonction (p. Donc, si l'on regarde la fonction (p comme arbitraire, l'équation précédente appartiendra au lieu général de chacune des séries possibles, c'est-à-dire à chacune des enveloppes possibles; elle sera, par conséquent, l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles.
Dans l'article précédent, nous avons supposé que les équations aux différences ordinaires de la caractéristique
Pdz — hdv = o, Qclz — Ijdy = o,
étaient toutes deux intégrables : elles ne peuvent l'être immédiatement que dans des cas très-particuliei^s, parce que chacune d'elles contient une des trois variables sans sa différentielle ; néanmoins leurs intégrations ne dépendent que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires à deux variables.
En effet, puisque ces deux équations appartiennent à une courbe, des trois variables »r, j, s, on ne peut en considérer qu'une seule
ristique, deux équations intégrales : Tune
(G) en .r, j, z, a ;
l'autre
(H) en .r, y, z, p,
qui, résolues chacune par rapport à la constante arbitraire qu'elle contient, deviendront
M = a, N = (pa.
Raisonnant ensuite sur ces deux équations, comme nous avons fait sur celles de l'article précédent, l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles sera
N = (pM.
Donc l'intégration d'une équation aux différences partielles du premier ordre et linéaire ne dépend que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires à deux variables du second ordre, dans laquelle la différentielle d'ime des deux variables est regardée comme constante.
11 faut bien observer qu'il n'est pas nécessaire qu'une équation aux différences partielles soit sous la forme P/; -+- Q^ = L pour être regardée comme linéaire ; il suffît qu'en supposant la perfection de l'analyse, elle soit susceptible d'y être ramenée. Ainsi, pour donner à ce que nous venons de dire dans l'article précédent toute la généralité convenable, il faut regarder comme linéaire toute équation composée d'une manière quelconque des quatre quantités ^p -i- Q//, X, r, 2, c'est-à-dire de la forme
F(P/; + Q(/, r, r, z) = o, dans laquelle P et Q nç contiennent m pmq.
et Ton trouve que l'intégrale est, dans le premier cas, en dans le second cas, en
X, y, s, <py.
Il suit de ce qui précède, que la surface courbe à laquelle appartient l'équation aux différences partielles du premier ordre et linéaire
F jPy;+Qr/,a;, j,zj = o,
de quelque manière que les quantités P, Q soient composées des ti'ois coordonnées x^ j, z, peut toujours être regardée comme engendrée par le mouvement d'une courbe déterminée, mobile et variable déforme en vertu de la variation de deux paramètres, dont l'un est une fonction arbitraire de l'autre, et dans les équations de laquelle les dérivées de cette fonction arbitraire n'entrent pas. Dans ce cas, l'intégrale est exprimée par une seule équation.
Il est facile de démontrer que, réciproquement, lorsqu'une surface est engendrée par le mouvement d'une courbe déterminée, mobile et variable de forme en vertu de la variation de deux paramètres, dont l'un est une fonction arbitraire de l'autre, pourvu que les dérivées de cette fonction n'entrent pas dans les équations de la génératrice, l'équation aux différences partielles de cette surface est toujours linéaire en/;, //, c'est-à-dire de la forme
^\^p-^Qq.oo,y,z\ = o.
Ainsi, les surfaces auxquelles appartiennent les équations au\ différences partielles du premier ordre et linéaires ont un caractère particulier. Quoiqu'on puisse les considérer comme des enve-
à laquelle appartient réquation
,o^ (X ^p7.)dq — {Y -hgZ)d/j = o
est r enveloppée développable dont la génération est simple et la ronsidération facile ; c'est donc celle que nous allons employer.
Autrement, lorsque les quantités P, Q qui entrent dans les trois équations des projections de la caractéristique contiennent les cinq (juantités p, q^ .f, j, z, ces trois équations ne peuvent suffire; parce que, si Ton opère sur deux quelconques d'entre elles, conmie nous avons fait art. XVII, c'est-à-dire si on les différentie aux différences ordinaires, ce qui donne deux équations nouvelles, on introduit aussi les deux différentielles nouvelles dp^ dq^ qu'on ne peut éliminer qu'en prenant leurs valeurs dans les sept autres équations qui les contiennent.
On sait que l'équation générale des surfaces développables est i^ntre les deux seules quantités/?, ^, dont par conséquent une seule peut être regardée comme variable principale; posons que ce soit/?, et que sa différentielle dp soit regardée comme constante. Cela posé, soit
réquation générale aux différences [)artielles du premier ordre qu'il s'agit d'intégrer; puis, parmi les dix équations de la caractéristique, considérons les quatre qui contiennent dp^ savoir :
La quatrième (B), qui est en .— ? /;, y, ^r, r, z\
dy
I ia cinquième (C ), qui est en ^, /?, 7, r, j, z\
dz
fia huitième (D), qui est en y-, /?, 7, .r, >•, z\ Kt la dixième (E), qui est en 'J]'> P^ 7' ^^S .)'? ^-
Si l'on différentie (E) aux différences ordinaires, Téquation à laquelle on arrive directement sera en
ddq dq dx dy dz
IP' ^' d^' tjy' djy' P' ^' ^' y^ ^'
et, en substituant pour 7" » ;y^ ' ^" leurs valeurs tirées des trois
équations (B), (G), (D), on aura une équation aux différences ordinaires du second ordre
ddq dq
(f) en ^f' 7/^. /^ 7' -^^ J' -
dx dy dz
Différentiant encore cette dernière , et mettant pour -r'» ^ ^ ~f
leurs valeurs, on aura une équation aux différences du troisième ordre
,r^K d^q ddq dq
(^) en ^~^ ^-r, ;^;,/>, <1, .1', J, 2-
On aura alors quatre équations (A), (E), (F), (G), qui seront délivrées des difïerentielles des trois coordonnées ^r, j, 3; donc, éliminant .r, j-, z entre ces quatre équations, la résultante
.„. d^q ddq dq
(H) sera en ^^^ -^-^„ ^, y., q,
et, par conséquent, aux différences ordinaires du troisième ordre entre les deux variables/?, q. Gette équation (H), dans laquelle la différentielle de la variable/? est regardée comme constante, appartient à l'enveloppée développable, et de son intégration seule dépend celle de la proposée.
Posons, en effet, que cette équation soit intégrée trois fois aux différences secondes, et que ces intégrales, complétées chacune par
une des trois constantes arbitraires a, ,S, 7, soient (I^) en -/-f-, ;^, /^, 7' r-.
nous observerons d'abord que dans ces équations, qui appartiennent toutes trois à l'enveloppée développable, les quantités a, (5, 7 sont constantes pour la même enveloppée considérée comme fixe, et varient toutes trois lorsque l'enveloppée se meut : cette enveloppée, d'ailleurs, ne peut se mouvoir que d'une seule manière; donc, de ces constantes, deux quelconques sont des fonctions arbitraires de la troisième : ainsi, on aura
Si, dans les trois équations (J), (K), (L), on met pour ^-f j ^5
leurs valeurs en y;, (/, .r, r? ^ tirées des équations (E), (F), elles deviendront
(J') en /?, 7, .r, y, r., a,
(K') en />, q, r, v, r, (pa,
(IV) en /;, //, .r, r, -. 4«-
Cela fait, si de ces trois équations on en emploie deux quelconques, par exemple (J'), (K'), au moyen de ces deux équations, on pourra chasser p et q de la proposée (A) , qui sera alors en
x^ y, z, a, (pa,
que je représente par M = o, et qui sera celle de l'enveloppée développable .
En général, la proposée (A) n'est autre chose que l'expression d'une relation qui existe entre les valeurs des trois quantités a, ^a, 4^- Si donc entre les quatre équations (A), ( J'), (K'), (L'), on élimine trois des cinq quantités/?, ç, ^, jy, z, les deux autres disparaissent, et il reste en a, (pa, 4^ une équation qui exprime cette relation, et qui a pour objet de déterminer la forme d'une des deux fonctions, dont il n'y aura plus qu'une seule qui soit arbitraire. Posons que ce soit 4 a que l'on détermine, et dont on substitue la valeur en a, ^a dans (L') : si des trois équations (J'), (K'), (L') on élimine /;, //, l'équation résultante, qui sera en a?, j, z, a, ça, sera celle de l'enveloppée développable mobile en vertu de la variation de a, et qui, dans toutes ses positions, touchera l'enveloppe dans la caractéristique. Donc, si cette équation est représentée par M = o, le résultat de l'élimination de a entre les deux équations
du
sera l'intégrale de la proposée, complétée par la fonction arbitraire <p.
On voit que l'intégration d'une équation quelconque aux diffél'cnces partielles du premier ordre et à trois variables ne dépend (|!ic de Cécile d'une équation aux différences ordinaires à deux variables du troisième ordre, et dans laquelle la différentielle d'une doH variables est regardée comme constante. Mais les méthodes HUHHi générales que celles que nous venons de rapporter sont raremont utiles, à cause des longueurs et des difficultés analytiques qu'rlIoH entraînent, et elles ne dispensent pas des méthodes applioablrH 1^ (It^H CM moins généraux. On peut en trouver un plus grand iiombns nous n'en rapporterons que quelques-unes, qui serviront tro\ompK\H.
Des surfaces dont les enveloppées développables sont cylindriques
et parallèles à un plan donné.
Soient Aa: + Bj-hs = o T équation du plan fixe mené par Torigine, auquel les surfaces cylindriques doivent être parallèles ; soit j -h ao: = o celle de la projection sur le plan des x^ y de la droite à laquelle, dans chaque surface cylindrique, la génératrice doit être parallèle : il est facile de voir que Féquation intégrale de la surface cylindrique est
A.r -i- Br + z = ^ ( j -h oix) , et que son équation aux différences partielles est
dans laquelle A, B sont les constantes invariables du plan fixe, et oii a, qui est une constante pour chacune des surfaces cylindriques, change de valeur d'une de ces surfaces à l'autre. Si donc on veut avoir une équation qui convienne à toutes les surfaces cylindriques parallèles au plan fixe, il faut faire disparaître cette constante arbitraire par une différentiation aux différences ordinaires, ce qui
donnera
{p -f- A) dq — (// -I- B) ^//? = o ;
or nous avons vu (art. XII) que l'équation de l'enveloppée développable est
(X +/?Z) dq — {\^ qZ) dp = o.
Donc, pour que cette enveloppée soit cylindrique et parallèle au plan fixe, il faut cjue les valeurs de ^, que fournissent les deux
dernières équations, soient égales entre elles, ou que l'on ait
mais, en représentant Téquation aux différences partielles de l'enveloppe par U == o, il est clair que les trois quantités X, Y, Z sont
respectivement (^)» (^~)' ("Z")' ^"^ lesquelles on a regardé p elq comme constantes. La dernière équation est donc aux différences partielles du premier ordre entre les quatre variables U, '^' ? T? ^> ^^'^t ï^ Xvo\^ dernières sont principales. Comme cette équation est linéaire et à coefficients constants, elle est facile à traiter, et elle exprime que la quantité U doit être composée d'une manière quelconque des deux quantités kx + B j H- z et z — px — qy^ et des quantités/?, ^, qui sont constantes dans cette équation. Donc l'équation générale des surfaces dont l'enveloppée développable est cylindrique et parallèle à un plan fixe, est
(A) Fj Aa:H-BjH-z, z — px — qy, p, q\ = o.
Il est facile de vérifier ce résultat; car, si l'on différentie aux différences ordinaires, on trouve pour X, Y, Z les valeurs suivantes :
X = AF' — /?F", Y = BF' — q¥\
ce qui donne
X+/?Z=(/; + A)F', Y + yZ=(9 + B)F';
et, par conséquent, l'équation de l'enveloppée développable
{X+pZ)dq— {Y-+-q7.)dp = o
devient
{p -+- A) dq — {q -+- B) dp = o,
qui est celle d'une surface cylindrique parallèle au plan tîxe.
Actuellement, nous allons voir que l'intégration de l'équation (A), de quelque manière qu'elle soit composée des quatre quantités, ne dépend plus que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires à deux variables. En effet, l'équation de l'enveloppée développable
(/; -i- A ) rfr/ — (7 -f- B) dp = o
s'intègre et donne
q-+- B = cc(p-h A),
dans laquelle a est la constante arbitraire : si, de cette écjuation et
de dz = pdjo -h qdy^ on tire les valeurs de p^ 7, en faisant, pour
abréger,
A j: -i- Br H- z = iij
on trouve
du 4
ufh — i^du
z - px — qy = -^^ ;
substituant ces valeurs dans la proposée (A), elle devient
T^ i udv — vdu du 4 du ^^ \
équation aux différences ordinaires du premier ordre, entre les deux seules variables u^ v^ dans laquelle a est constante, et (|ui
appartient à l'enveloppée développable. L'intégrale de cette équation, complétée par une fonction arbitraire ^a, sera en
donc, si Ton représente cette équation par M == o, l'intégrale de
la proposée (A) sera le résultat de l'élimination de a entre les deux
équations
L'équation F | Ax + Bj + z, z — px — qjTy /?, y | = o, que
nous venons de traiter, est un peu plus générale que nous ne l'avons dit; car elle ne convient pas seulement aux surfaces dont l'enveloppée développable est cylindrique et parallèle au plan fixe, mais encore à celles qui n'ont pas d'autre enveloppée développable qu'elles-mêmes, c'est-à-dire aux siu*faces développables dont l'équation est .
F\z—px — qr,p,q^ = o.
La même équation générale renferme une grande partie de celles que M. Lagrange a traitées dans son bel ouvrage sur les intégrales particulières, imprimé dans les Mémoires de l' académie de Berlin, pour l'année i774-
Par exemple, si la quantité z — px — qy n'entre pas dans l'équation, et si l'on a de plus A = o, B = o, ce qui place le plan fixe dans celui des a', )% l'équation devient
F (z, p, q) = o, que M. Lagrange intègre au moyen de l'hypothèse q = o^p. Dans
ce cas, l'enveloppée développable a pour équation
pdq — qdp = o,
dont rintégrale q= ap appartient à une surface cylindrique parallèle au plan des ^, j, et est fournie par la méthode.
Si l'équation générale est seulement privée de la quantité z — px — qy, elle devient
F j Aa? -+- Bj + z, /?, ^ ) = o,
qui renferme l'exemple précédent comme un cas particulier, et qui (comme nous l'avons fait voir § IX, page 43o) appartient à la surface dont l'enveloppée, invariable de forme et de grandeur, se meut sans tourner, de manière que les courbes parcourues par tous ses points soient semblables entre elles, égales, et dans des plans parallèles au plan fixe : dans ce cas, l'intégrale donnée par la méthode n'est pas la plus élégante, et l'on parvient à un résultat plus simple, et plus facile à se représenter dans l'espace, en employant l'équation de l'enveloppée invariable.
On pourrait traiter d'une manière analogue l'équation générale des surfaces dont l'enveloppée développable est cylindrique et dirigée d'une manière quelconque; mais cette équation est aux différences partielles du second ordre, dont nous ne nous occupons pas encore.
Des surfaces dont les enveloppées déi^eloppables sont coniques, et ont toutes leurs sommets sur une même droite donnée.
On sait que si les coordonnées d'un point, dans les directions des Xj y^ z, sont respectivement |3, 7, a, l'équation aux différences partielles de la surface conique, qui a son sommet dans ce point, est
Supposons que la droite donnée sur laquelle doit être le sommet ait pour équation
j7 = Az -+- a, / = Bz -h è,
dans lesquelles A, B, a, 6 sont des constantes données. Ces mêmes équations auront lieu entre les coordonnées du sommet, et Ton aura
/3 = Aa -t- a, y = Boc-hb.
Si l'on substitue ces valeurs, l'équation de la surface conique sera
z — p{x — a) — q{x — b) = oc{i — Ap — Bq),
dans laquelle a est une constante arbitraire dont la grandeur détermine, sur la droite donnée, la position du sommet.
Des trois dernières équations on tire, pour a, |3, 7, les valeurs suivantes :
I — Ap — Bç
fi — A ^ — ;^(x— g) — y(j — fc)
y—^ i-Ap-Bç ^ ^'
valeurs qui sont constantes pour la même enveloppée conique.
Actuellement, si Ton différentie l'équation (A) en regardant a, |3, y comme constantes, on aura
(7 — y) <iq -H (a: -H fi) dp = o,
qui est l'équation aux différences ordinaires de toutes les surfaces coniques qui ont leur sommet sur la droite donnée, et dans laquelle il n'y aura plus qu'à mettre pour j3, y leurs valeurs. Or l'équation générale de l'enveloppée développable est
{x + pZ) dxi — {^ -\-' qTj) dp =^ o;
donc, pour que cette enveloppée développable soit conique et ait son sommet sur la droite donnée, il faut que les deux dernières équations coïncident, c'est-à-dire que l'on ait
Mais en représentant par U = o l'équation aux différences partielles de l'enveloppe, il est évident que la dernière équation est aux différences partielles du premier ordre, entre les quatre variables U, j;, j, z, et qu'on y traite les quantités/? et q comme constantes; il est clair aussi que les quantités a, /3, > sont constantes, car les différentielles de ces quantités , prises en regardant p et q comme constantes, sont toutes trois nulles. Prenant donc dans cette équation la valeur de Z, pour la substituer dans
rfU = X^' -+- Ydy -+- Zrfz,
ce qui donne
rfU
— a \z — aj \z — aj
on voit que U doit être composée, d'une manière quelconque, des
deux quantités '^~ ? T.IZ1 et des deux quantités p et q, qui ont
été regardées comme constantes. Ainsi l'équation générale des surfaces, dont l'enveloppée développable est conique, et a son sommet sur la droite donnée, est de la forme
dans laquelle il faut remettre pour a, /3, > leurs valeurs données plus haut; ou enfin, pour Yie laisser qu'une seule quantité à substituer, cette équation est de la forme
(B) F i ^=4fi^. ^^^iÈi^î, ^, ? t = o,
dans laquelle il faut mettre pour a sa valeur
Cela posé, il est facile de faire voir que T intégration de l'équation (B) ne dépend que de celle d'une équation aux difTérences ordinaires du premier ordre entre deux variables. En effet, l'équation ((^), qui n'est autre chose que celle de l'enveloppée conique, dans laquelle a est une constante arbitraire, peut être mise sous la forme suivante :
p\x — a — Aaj H- ry( y — h — Ba) = z — a;
ou en faisant, pour abréger,
X — a — Aa r — h — Ba
l'équation de l'enveloppée conique sera
pu -+- qv = i .
Tirant de cette équation et de
pdx -+- qdy = dz les valeurs de p et de q^ on a
p{udy — vdœ) ^= dy — crfz, q {nd/y — ifda^) = — dv -+- iidz, ou bien
— — ^^ ' udi^ — i^dii
Donc, substituant toutes ces valeurs dans la proposée (B), elle
deviendra de la forme suivante :
■-,1 (h — du \
I ' ' udvf — Vf du udv — Vf du ) '
équation aux différences ordinaires du premier ordre entre les deux seules variables w, (^, et dans laquelle a est constante.
L'intégrale de cette équation, complétée par une fonctiori arbitraire de a, sera en
ou en
X — a — Aa y — h — Ba
, ^ , (pa
et appartiendra à l'enveloppée conique. Donc, si l'on représente cette équation par M = o, l'intégrale complète de la proposée (B) sera le résultat de l'élimination de a entre les deux équations
dU
On pourrait traiter d'une manière analogue l'équation générale des surfaces dont l'enveloppée développable est conique. Mais alors les sommets des cônes ne seraient plus assujettis à être sur une droite; ils seraient sur une courbe arbitraire : les deux coordonnées |3, y seraient des fonctions arbitraires de a, et l'équation de l'enveloppe serait aux différences partielles du troisième ordre. Dans ce cas est comprise l'enveloppe de l'espace parcouru par une surface quelconque donnée, qui se meut sans tourner, mais qui change de forme en restant toujours semblable à elle-même.
En ne considérant, parmi les dix équations de la caractéristique rapportées art. XIII, ni la huitième ni la neuvième, toutes les fois qu'une quelconque des huit autres sera irUégrable, ou immédiatement, ou au moyen de la proposée, t intégration de cette dernière ne dépendra plus que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires du premier ordre a deux variables.
Nous allons le démontrer pour le cas de la dixième équation, à cause de l'analogie avec les articles précédents.
Supposons qu'une équation quelconque aux différences partielles du premier ordre, U = o, soit telle, que l'équation
(A) (X -h pZ) dq — {Y-^qZ)dp = (y
soit intégrable directement, ou au moyen de U = o, et que cette intégrale soit représentée par
(B) /(/?, q, oc) = o,
dans laquelle a est la constante arbitraire introduite par cette première intégration, et que Ton ait, jwr conséquent,
par cela seul, la quantité U est susceptible d'une fonne générale qu'il faut trouver.
11 est évident que les valeurs de —- que fournissent les deux
équations (A), (C), doivent être égales entre elles; ce qui donne
Or cette dernière équation, dans laquelle/?, r/, a sont regardées
comme constantes, est aux différences partielles entre les quatre variables U, a;, j, z. Si donc on prend la valeur de Z pour la substituer dans
dV = XcLc + Ydx + Zrfz, on aura
{Pf'^qf")d^ = X[(/?/'+ qf")dx-f'dz\
^[{pf'+<lf")dy-f"dzl
dans laquelle/?, q^ a sont constantes, et qui indique que la quantité U doit être composée, d'une manière quelconque, des deux suivantes : {pf -h qf")x - zf\ {pf + qf")x - zf\ et de /;, 9, qui sont regardées comme constantes. On aura donc
\S = V\x{pf'+qf")-zf\ y{pf'+qf")-zf\ p, r/|,
ou, ce qui revient au même,
\] = V\z—px — qy, xf—yf\p, q\.
et, par conséquent, la proposée U = o est susceptible d'être mise sous la forme
(D) ^\z—px — qy, xf—yf\p, q\ = o,
dans laquelle les fonctions dérivées/', J" sont données en /?, y , et contiennent, de plus, la constante a^ qui peut être chassée au moyen de (B). Il est inutile de former cette équation (D); il suffit d'avoir démontré qu'elle doit avoir lieu .
Gela posé, l'équation (B), qui appartient à l'enveloppée développable, est elle-même aux différences partielles; elle est facile à intégrer, et l'on sait que pour avoir son intégrale il faut, i*^ poser
(E) z—px — qf = '\p\
2" chasser q au moyen de sa valeur prise dans (B); 3** éliminer/? au moyen de la différentielle de (E), prise en regardant x^ r, z comme constantes, c'est-à-dire au moyen de
— xdp — ydq = -\'pdp, qui, en mettant pour dq sa valeur prise dans (C), devient
(F) ^f"-yf'=fH'-
Ainsi l'équation intégrale de l'enveloppée développable est le résultat de l'élimination des deux quantités/?, q entre les trois équations (B), (E), (F) ; et si la fonction ^f., qui entre avec sa dérivée dans les équations, est regardée comme arbitraire, l'intégrale appartient à l'enveloppée développable générale.
Mais si l'on veut que cette enveloppée soit celle qui convient particulièrement à la surface exprimée par U = o, il faut déterminer la forme de la fonction 4 de manière que la proposée U=o, ou, ce qui revient au même, que l'équation (D) soit satisfaite.
Or, si dans (D) on mettait
pour z — px — qy sa valeur 4/^, tirée de (E),
pour xf — >;/■' sa valeur /''^4'/'» ^^^^ ^^ (F)^
et pour q sa valeur en/^, tirée de (B),
il ne resterait plus que a, /;, 4/^? 4'/^- Donc, sans former l'équation ( D) , il sera toujours possible, entre les quatre équations U=o, (H). (E), (F), d'éliminer les quatre quantités y, x^ v, z; et l'on aura un résultat
(G) en a, p, 4/^ 4'/^-
qui sera, aux différences ordinaires du premier ordre, entre les deux variables/^, 4/^^ à^xws lequel a est constante, et qui servira à déterminer la forme de la fonction 4-
on fera
(E) Z = -y^^Xj
(F) pr-gr=r4'-
Entre la proposée U = o et les trois équations (B), (E), (F), il sera toujours possible d'éliminer les quatre quantités /?, y, y, z, et la résultante sera
(G) en a, ^r, -^x^ 4'*^?
dont l'intégrale
(H) sera en a, x, '>lx, ^a,
et déterminera la forme de la fonction 4- Mettant pour 4^* ^ valeur z, cette dernière équation sera
(K) en oc, Xy Zy ça.
Gela fait, des équations (B), (K) on tirera les valeurs de a et 9; et si Ton représente ces valeurs par
l'intégrale complète de la proposée U = o sera
N = (pM.
2". Si l'équation {1?p -hQq)dx — pciz = o est intégrable, et si son intégrale connue est représentée par
la proposée U = o sera susceptible de la forme
— 4C5 on fera
(F) rf"^r--H',
et il sera possible d'éliminer les quatre quantités />>, 7, r, >' entre les quatre équations U = o, (B), (R), (F), f^e résultat de cette élimination sera
(G) en a, z, ^f.^, -nJ.'s,
dont l'intégrale
(H) sera en a, s, 4^^ ?^ î
mettant dans cette intégrale pour 4 2 sa valeur >*, tirée de (E), on aura
(K) en «, y, z, ?«.
Cela fait, si de (B) et (K) on tire les valeurs de a, :pa, et si Ton représente ces valeurs par
l'intégrale complète de la proposée U = o sera
3**. Si c'est l'équation (P/^ -h Q7) r// — Qr/z = o qui est intégrable, et si son intégrale connue est représentée par
la proposée U = o sera susceptible de la forme
F i tf±/', X-, r. ^ t = o,
*t l'on opérera comme dans le cas précédent.
4**. Les deux équations de la caractéristique
Vdp -+- (X -f-/;Z)^= o, Qrf7+(Y-+-çZ)rfr=o
appartiennent à la même enveloppée dont T équation inté{çrale est de la forme générale
Z = -\,X H- TTJ,
et dont les deux équations aux difTérences partielles sont
p = ^'x, q = Tr'y.
Donc, si la première de ces deux équations de la caractéristique peut, au moyen de la proposée U = o, êti^e réduite aux deux variables /?, x^ la seconde sera réductible aux deux variables 9, ,>', et réciproquement.
Soient leurs intégrales
dans lesquelles a et ^a sont les deux constantes arbitraires. L'équation intégrale de l'enveloppée sera
et si Ton représente cette équation par M = o, l'intégrale complète de la proposée U = o sera le résultat de l'élimination de a entre
les deux équations M== o et -j- = o.
5°. Si l'équation de la caractéristique
est rendue intégrable au moyen de la proposée U = o, et si cette
intégrale coniuie est
dans laquelle a est la constante arbitraire, la proposée sera susceptible de la forme
(D) F jy/' +- •':/■"> ïHf' + =/■", p. .>i = o;
on fera
(E) pqf'+-^f" = f"-\y.
Entre les quatre équations U = o, (B), (E), (F), il sera toujours possible d'éliminer les quatre quantités p, r/, .r, r., et la résultante sera
(G) en «, j, 4j, 4V,
dont l'intégrale
(H) sera en a, ,r, 4^5 ?«•
Cela fait, si entre les cinq équations (B), (E), (F), (G), (H), on
élimine les quatre quantités /?,(/, 4j» 4'/' ^^ ^^^^ ^^ ^^N J> ^^ a, ^a, l'équation intégrale de l'enveloppée; donc, si Ton représente cette équation par M = o, l'intégrale complète de la proposée U = o sera le résultat de l'élimination de a entre les deux équations
6°. Il est évident que si c'était l'équation de la caractéristique
Vdq ^ {\ + fil) dx = o
qui fut intégrable directement, ou rendue telle au moyen de la proposée U r=z o, tout serait comme dans le cas précédent, et changeant p et y respectivement en q et x.
Les considérations géométriques sur lesquelles nous venons de fonder la recherche des équations de la caractéristique sont familières aux élèves de l'Ecole Polytechnique; mais elles peuvent être pénibles pour d'autres lecteurs, et nous croyons devoir conduire à ces mêmes équations par un procédé purement analytique. Nous allons d'abord le faire pour le cas des équations linéaires; nous passerons ensuite au cas général.
On sait qu'une équation quelconque aux différences partielles de premier ordre appartient à l'enveloppe de l'espace parcouru par une surface donnée, mobile en vertu de la variation d'un paramètre a, et dont l'équation intégrale renferme de plus une fonction arbitraire de a qui a disparu par la différentiation. Mais cette même équation appaitient aussi à chacune des enveloppées qui sont renfermées sous l'enveloppe; car chaque enveloppée est un cas particulier de l'enveloppe : elle est ce que devient l'enveloppe lorsque le paramètre a est constant.
D'après cela, soit proposée l'équation linéaire générale
(A) P/; ^ Qry = L,
dans laquelle les trois coefficients P, Q, L sont donnés d'une manière quelconque en cT, j, z : si cette équation, qui ne contient pas a explicitement, peut appartenir à chacune des enveloppées individuelles, il faut bien qu'elle contienne au moins implicitement la quantité a, qui est constante pour chaque enveloppée, et dont les différentes valeurs déterminent chacune d'elles en particulier;
et i) n'y a que les quantités/^, q qui puissent la contenir. Mais ces deux quantités ne sont point indépendantes ; elles ont entre elles une relation exprimée par l'équation
dz = pdx H- qdy\, ,
qui résulte de leur définition. On peut donc, au moyen de cette dernière équation, chasser de la proposée Tune de ces deux quantités, et Ton aura Tune des deux équations suivantes :
(B) p i IVj — Qr^r \ = X.dy — Qdz,
(C) q i Vdf — Qdœ \ = — Ldx -f Vdz,
dont il nous suffira de considérer une seule, la première par exemple.
L'équation (B), dans laquelle p renferme implicitement a, est aux diflFérences ordinaires; elle appartient donc à toutes les enveloppées, pour chacune desquelles l'arbitraire a a une valeur constante, maisdiflFérente. Si donc, considérant une certaine enveloppée pour laquelle la constante arbitraire a une certaine valeur a, on passe à l'enveloppée infiniment voisine, pour laquelle l'arbitraire ait la valeur a-f-^/a, il est clair que l'équation de cette seconde enveloppée sera
(D) [// + (g) da \\Pdx- QrU \ = Ldr - Qdz.
Or la caractéristique de l'enveloppe n'est autre chose que Tintersection de deux enveloppées consécutives; donc les équations (B), (D), qui appartiennent à deux enveloppées consécutives, sont celles de la caractéristique.
Si l'on retranche (B) de (D), on a
Vdy — Qd,v - o.
— ^7o — en vertu de laquelle (D) donne
Lr/r — Ç^dz = o.
Enfin, éliminant dy entre ces deux dernières, on a encore
\idx — Vdz = o.
Ces trois équations aux différences ordinaires, dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres, sont celles des projections de la caractéristique sur les trois plans rectangulaires, que nous avons traitées dans Tart. XI V et les suivants.
Il est évident que l'opération que nous venons de faire se réduit à différentier l'équation (B), en regardant p comme seule variable; ce qui donne immédiatement
\^dy — Ç^dx = o, Jjr/)* — Qrfz = o.
Si Ton eut différence (C), en regardant q comme seule variable, on aurait eu de même
IV/r — Qdx- — o, \jdv — Pdz = o ;
ce qui est le même résultat. Passons maintenant au cas général.
Ii()rs(jue l'équation aux différences partielles du premier ordre n'est pas linéaire, l'opération que nous venons de faire, et qui consiste à substituer pour Tune des ([uantités/;, y, sa valeur prise dans dz ^= pdr -i- ([dy^ et à différentier ensuite, en regardant comme seule variable (*elle des deux quantités qui reste, ne fournit
qu'une seule équation pour la caractéristique, et n'est pas suffisante. Pour avoir les deux équations de cette courbe par une même opération, il faut différentier la proposée une fois aux différences partielles.
Soit proposée l'équation générale
F I /?, ^, X, 7, ^t = ^' et supposons que sa différentielle ordinaire soit
(A) Vdp + Qr^y -f- \cLx -V-Ydy + V.dz = o,
dans laquelle P, Q, X, Y, Z sont données en p^ //, x^ r? 2, par la différentiation ; ses deux différentielles partielles prises en regardant d'abord r, puis y comme seules variables, seront
(B) Pr + Q^ -h X + //Z = o,
(C) P.9 + Q^ + Y + ryZ = o.
De ces deux équations, il nous suffira d'en considérer une seule, la première par exemple.
L'équation (B), qui est aux différences partielles du second ordre et linéaire, appartient à une surface plus générale que celle de la proposée, et qui a deux caractéristiques : mais de ces deux caractéristiques, l'une lui est commune avec la surface de la proposée, et l'autre est connue; car on sait que c^tte nouvelle caractéristique a pour équation djr = o ou J = /3 . Donc les équations de la première caractéristique de la surface à laquelle appartient l'équation (B), seront aussi celles de la caractéristique de la surface à laquelle appartient la proposée.
En considérant l'équation (B) comme appartenant à l'enveloppée mobile en vertu de la variation d'un paramètre a, les deux quantités r, s sont les seules qui, en passant d'une enveloppée quelconque à la suivante, soient affectées de la variation de a : car.
si la caractéristique est l'intersection de deux enveloppées consécutives, elle est aussi une ligne de contact pour ces deux surfaces; et, en passant de l'une à l'autre, les quantités/?, q ne changent pas, mais les deux quantités r, ^ ne sont pas indépendantes; elles sont liées entre elles par l'équation
dp = rdjc -t- sfly-i
(jui est l'expression de leur définition, et au moyen de laquelle il est facile d'éliminer de (B) l'une quelconque d'entre elles; ce qui produit l'une des deux équations suivantes :
( D) s j Prfr — Qdx \ — I Vdp -f- (X +/>Z) dx\=o,
(E) rjPrfr Q,it} 4- |Q^/^-f-(X4-/>Z)r/rj =o,
dont chacune appartient à une enveloppée mobile, et ne contient qu'une seule quantité j ou r qui soit variable, en vertu de la variation du paramètre a. De ces deux équations, il suffît d'en considérer une, la première par exemple.
En raisonnant comme nous l'avons fait dans l'article précédent, il est évident que, pour avoir l'équation de la caractéristique, il faut différentier l'équation (D) de l'enveloppée, en regardant a, et par conséquent ^, comme seule variable; et, parce que s est linéaire, cette opération produira les deux équations
Vdy — Q^ = o, Wp-^{X+pZ)dx^ o,
qui appartiendi'ont à la caractéristique, et au moyen desquelles et des deux suivantes
iVdp+qdq^{X^pZ)dx+{\+q7.)dr = o, ( dz = pdx -h qdy^
on peut former les dix équations de l'art. XII I.
Si Ton difFérentiait (E) en regardant a, et, par conséquent, r comme seule variable, on aurait les deux équations
Vdy — Q^dx = o, Q^ + (X -{- pz)dy = o,
qui produisent également les dix équations de l'art. XIII.
Au lieu d'opérer, comme nous l'avons fait, sur l'équation (B), on aurait pu traiter de même l'équation (C). En effet, si l'on chasse de cette équation l'une des deux quantités ^, ^, au moyen de
dq = sdx H- tdy^
on a l'une des deux équations suivantes :
(F) t\l?dy — Çldx\ — jPrA/H- {\ ^(f7.)dx\ = o,
(G) s{Pdx — Qdi\ -f- Qdp -h (Y + qZ)ày' = o,
dont la première, différentiée en regardant a, c'est-à-dire ^, comme seule variable, produit les deux équations
Pdr — Qdx = o, Pdq^{Y -hqZ)dx=: o,
qui fournissent les dix équations de l'art. XIII; et dont la seconde, différentiée en regardant a, c'est-à-dire ^, comme seule variable, produit les deux équations
Prfr — Qdx = o, qdq-^{Y-^qZ)dx==o,
qui remplissent le même objet.
