L'ÉQUATION DES CORDES VIBRANTES
l^orsque les fonctions arbitraires qui complètent les intégrales des équations aux différences partielles sont toutes composées de la même quantité, c'est-à-dire lorsque les surfaces qui appartiennent à ces équations n'ont qu'une seule caractéristique, nous avons vu qu'il était toujours possible de déterminer les formes que les fonctions doivent avoir pom^ que la surface passe par autant de courbes arbitraires données qu'il y a de fonctions, ou soit circonscrite à autant de surfaces données arbitrairement, ou soit normale à ces dernières, et que cette opération n'est sujette à d'autres difficultés que celle de l'élimination algébrique. Mais lorsque les fonctions arbitraires sont composées de quantités différentes, le même procédé pour la détermination de chacune d'elles conduit à une équation aux différences finies. Toutes ces équations doivent être intégrées, et leur intégration introduit autant de fonctions arbitraires nouvelles qui doivent être déterminées par d'autres conditions dont la question est susceptible. J'ai cm qu'il était convenable de donner un premier exemple de cette opération, et j'ai choisi celui de l'équation des cordes vibrantes, moins par l'intérêt qu'inspire une question qui a été traitée avec le plus grand succès par les premiers géomètres, et sur laquelle je ne me propose pas de revenir, qu'à
cause des facilités que présentent les conditions auxquelles cette question est ordinairement soumise : ainsi mon objet est de pure géométrie analytique.
[PL IVj fig. I .) Si Ton conçoit qu'une corde élastique et uniforme AB, tendue en ligne droite, entre ses deux extrémités fixes A, B, par un poids déterminé, soit écartée de sa position par une cause quelconque qui lui fasse prendre la forme curviligne AMB, infiniment peu différente de la droite AB, et que cette cause vienne à cesser subitement dans toute retendue de la corde, la corde, abandonnée à elle-même, tendra à reprendre la forme rectiligne; chacun de ses points se portera vers la droite AB avec une force accélératrice, et, en arrivant dans cette droite, il aura une vitesse acquise, en vertu de laquelle il continuera son mouvement de l'autre côté; mais alors il tendra de nouveau la corde, et il éprouvera une résistance toujoui*s croissante, qui lui fera perdre peu à peu toute sa vitesse. Lorsque tous les points de la corde auront ainsi perdu leurs vitesses, la corde aura une nouvelle position AM'B, dans laquelle elle sera de nouveau abandonnée à elle-même, et de laquelle elle se reportera vers AB, pour passer encore au delà, et ainsi de suite. Elle oscillera donc, de part et d'autre de AB, dans un même plan, et le mouvement d'oscillation ne cesserait pas sans quelques résistances, dont la principale est celle de l'air dans lequel il s'exécute.
Pour passer de l'état initial AMB à l'état final AM'B, la corde emploie un certain temps, et, dans tous les instants intermédiaires, elle est pliée suivant une courbe A/wB, Aw'B, dans l'équation de laquelle doit entrer le temps écoulé depuis le commencement du mouvement : ce temps est une quantité constante pour chaque courbe en particulier, et variable d'une de ces courbes à l'autre.
Depuis longtemps les géomètres se sont occupés de T équation
de la courbe AmB. En nommant x l'ordonnée AP comptée dans le sens de la longueur de la corde, z l'ordonnée Pm qui lui est perpendiculaire, et y le temps écoulé depuis le commencement du mouvement, ils ont trouvé que l'équation de cette courbe était
/ ddz \ o / ddz \
ou, suivant la notation que nous avons employée jusqu'ici, .
dans laquelle a est une constante qui dépend des dimensions, de la densité et de la tension de la corde. I^a même équation exprime aussi le mouvement d'une molécule d'air dans la propagation du son.
Il est assez remarquable que cette équation, qui est du second ordre, soit la première équation aux différences partielles que l'on ait intégrée complètement. On est redevable de son intégration à MM. d'Alembert et Euler, qui en ont déduit l'explication des principaux phénomènes que présentent les cordes vibrantes et les lois de la propagation du son. M. Lagrange a traité depuis la même matière avec la généralité et l'élégance qui lui sont ordinaires.
Je vais d'abord exposer rapidement l'intégration de l'équation; je passerai ensuite à la construction de l'intégrale, qui est mon objet principal.
On sait que lorsqu'une équation aux différences partielles du second ordre est linéaire ou de la forme
Lr H- M^ -h N^ = H,
on a pour chacune de ses deux ciiractéristiques les deux équations
hdy- — Udxdy + Na^x' = o, l^dpdj'-^ ^dqdx= ^.dxdy.
Dans le cas de réquation des cordes vibrantes r — a^t=^o, on aura donc pour chacune des deux caractéristiques les deux équations
df' — a^dx' = o, dpdf — a'dqdv = o.
La première est composée des deux facteurs
dy H- adœ = o, dy — ad.v = o,
dont les intégrales sont
>' H- ax = a, y — oo; = u ,
Ce qui prouve que la surface a deux caractéristiques indépendantes; que chacune de ces courbes est dans un plan perpendiculaire à celui des x^ j, constamment parallèle à lui-même; et que ces deux plans font avec la ligne des x^ et de part et d'autre de cette ligne, des angles égaux entre eux, et dont la tangente est égale à la constante a.
En ne considérant que la première des deux caractéristiques, et substituant pour dy la valeur — adx qui lui convient, la seconde équation devient
dp -h adq = o,
dont l'intégrale est
p -f- aq = /3.
Les quantités a, /3 sont donc toutes deux constantes pour la première caractéristique; elles seront, par conséquent, fonction Tune de l'autre pour tous les points de la surface, et l'on aura
Ainsi
sera iiiie des intégrales premières de la proposée, et c*ette intégrale sera (Complétée par la fonction arbitraire ?^.
De inêine, en ne considérant que la seconde caractéristique, et substituant pour dy la valeur adx qui lui convient, la seconde équation devient
dj) ad<l rrrz <),
dont r intégrale est
Les quantités «', ^J seront donc aussi toutes deux constantes pour la seconde caractéristique; on en conclura pareillement que la seconde» des deux intégrales premières de la proposée est
p — (Kl r= -v^ ( >• — ax ) ,
complétée [)ar la fonction arbitraire 4. Ainsi les deux intégrales premières sont
p - an -^ (p ( )• I ax\.
p — (U{ ^^ -^ (,) ihV).
Oe ces deux é([uations (m tire, pour/^ et <y, les valeurs suivantes:
'Xp ^=z t -^ -^^
qui, substituées dans dz z=^ pdx -h 7^/) , donnent
^x adz = {dy -h adx) (p — (//>■ — r/r/.r ) -v^,
équation aux difïérences ordinaires (jui est intégrable par les (jua- <lratures. quelles que soient les formes des deux fondions, et dont l'intégrale est de la forme
r. = «l) ( ^> ■ -h- ax ) -h- 4-" ( ,>' — ax ) .
(y est cette équation qui est l'intégrale seconde de la proposée, et qui est complétée par les deux fonctions arbitraires <I> et ¥ , composées des quantités différentes y -f- nx^ y — a,i\
Pour construire l'intégrale que nous venons de trouver, considérons d'abord que si l'on avait séparément les deux équations
z — (}>{y H- (u:), - =^ ^(j — aa*),
elles seraient celles de deux surfaces cylindriques à bases quelconques, parallèles, l'une à la droite menée par l'origine dans le plan des .r, r, et qui aurait pour équation
V H- aa: = o,
l'autre à la droite menée par le même point, dans le même plan, et qui aurait pour équation
>• — ad' =^ o;
et les bases de ces deux surfaces cylindriques, considérées dans le plan des r, 2;, auraient pour équations, l'nne
et l'autre
Donc, si après avoir mené par l'origine dans le plan dcp .r, >* deux droites situées de part et d'autre de Taxe des .r, et qui fassent avec cet axe le même angle dont la tangente est r?; et si, après avoir tracé dans le plan des >*, z deux courbes arbitraires destinées à être les bases des siu^faces cylindriques, on conçoit que le plan d'une <le ces bases se meuve parallèlement à lui-même le long de la pre-
Yîiière droite, et que le plan de l'autre se meuve parallèlement à lui-même le long de la seconde, on engendrera deux surfaces cylindriques telles, que si, pour un point quelconque pris sur le plan des j:, j, on construit une ordonnée z égale à la somme des ordonnées des deux surfaces cylindriques, l'extrémité de cette ordonnée sera dans la surface demandée.
Ainsi, pour construire la surface par points, il ne s'agit plus que de déterminer quelles doivent être les bases des deux surfaces cylindriques, pour que la surface satisfasse aux conditions particulières que comporte la question des cordes vibrantes.
Au lieu de construire la surface par points, on peut l'engendrer par le mouvement de Tune ou de l'autre de ses deux caractéristiques. En effet, si par les deux droites tracées dans le plan des 07, j, et dont les équations sont
y -^ ax =^ o, y — ax = o,
on conçoit deux plans perpendiculaires à celui des j;, j, et qui se couperont, par conséquent, dans l'axe des z, chacun de ces plans coupera celle des deux surfaces cylindriques à laquelle il n'est pas parallèle, suivant une trace que l'on pourra regarder comme une autre base de cette surface. Si l'on conçoit que le plan de l'une quelconque de ces traces se meuve parallèlement à lui-même sans tourner, de manière que le point de ce plan qui est à l'origine parcoure l'autre trace (ce qui peut se faire de deux manières, selon que c'est l'une ou l'autre trace qui est regardée comme mobile), la trace mobile engendrera la surface dont il s'agit; car il est évident que, pour chacun des points de la surface engendrée, l'ordonnée z
sera égale à la somme des ordonnées correspondantes des deux surfaces cylindriques, et que Téquatiou de cette surface sera
Il faut observer que les deux traces génératricîes ne sont autre chose que les deux caractéristiques, car ces traces sont dans des plans mobiles dont les équations sont, pour Tune,
pour l'autre,
et que les quantités a , «', dont chacune est Vy à l'origine du plan correspondant, sont constantes cha(*une j)our la trace à laquelle elle appartient.
Or les deux traces sont faciles à c^onstruiie d'après les bases des deux surfaces cylindriques; donc*, pour engendrer la surface par le mouvement de Tune de ses caractéristiques, il ne s'agit plus que de déterminer quelles doivent ctre les bases des deux surfaces cylindriques pour c[ue la surface satisfasse aux (conditions que comporte la question des cordes vibrantes.
Examinons quelles sont ces conditious.
Dans l'équation des cordes vibrantes, la (juantité >' exprime le temps écoulé depuis l'instant oii la corde, ayant été écartée de sa position en ligne droite, a été sul)itement abandonnée à elle-même; et, pour chacime des formes (pie la (*orde prend ensuite successivement, cette quantité > est constante. Or, en géométrie, îious ifgardons cette même quantité comme une des trois coordonnc'^es rectangulaires. Donc, si l'on conçoit ([ue du moment que la corde
est abandonnée à elle-même, le plan des a?, z dans lequel s'exécutent les vibrations se meuve uniformément sans tourner, et restant toujours perpendiculaire aux j, la corde vibrante, entraînée par ce plan mobile, parcourra une surface qui est celle qu'il s'agit de construire ; et il est évident que toute section faite dans cette surface par un plan quelconque perpendiculaire aux y donnera la figure de la corde pour le temps j qui détermine la position du plan coupant.
[PL IV y fig. 2 .) Gela posé, on suppose que les deux extrémités A, B de la corde sont fixes et ne participent pas aux vibrations; ces deux points n'auront donc aucun mouvement dans le plan mobile, et ils parcourront dans le plan des x^ y des droites AC, BD perpendiculaires aux X. D'où il suit que la surface engendrée passera,
1**. Par la droite AC ;
2°. Par la droite BD.
3^. Il est évident que la surface doit passer par la courbe suivant laquelle elle a été pliée dans le plan des a?, z au commencement du mouvement ; courbe qui doit être donnée arbitrairement et connue. Nous la supposons ici couchée sur le plan des x^ y en AMB.
4*". Enfin, au commencement du mouvement, c'est-à-dire lorsqu'on abandonne la corde à elle-même, la vitesse de la droite AB est naissante, et par conséquent nulle : l'ordonnée d'un point quelconque de la courbe donnée AMB doit donc être un maximum dans le sens des r; donc, sur la surface, et pour tous les points de la courbe initiale AMB, on doit avoir
Il suit de là que la surface doit être perpendiculaire au plan des 0?, z dans toute l'étendue de cette courbe.
Voilà donc quatre conditions indépendantes auxquelles les bases des deux surfaces cylindriques, ouïes deux fonctions * et V, doivent satisfaire, pour que l'intégrale générale
2 = $ ( j + cLv) -t- ^' [y — eut)
convienne au cas particulier des cordes vibrantes ; tandis que si les deux fonctions qui entrent dans cette équation étaient composées de la même quantité, et affectées de coefficients pour n'être pas réductibles à une seule, deux de ces (|uatre conditions suffiraient pour les déterminer toutes deux d'une manière complète.
Recherchons actuellement ce que chacune des quatre conditions que nous venons d'exposer exige de la part des deux bases des surfaces cylindriques.
(PL IV y fig. 2.) L'origine des coordonnées rectangulaires étant placée au point A, qui est Tune des extrémités de la corde vibrante, il est évident que les deux équations de la droite AC sont
cT = o, z = o.
Or la première condition énonce que la surface doit passer par cette droite; il faut donc que si l'on substitue pour .r et :: ces valeurs dans T équation
2 = * ( j -h ax) H- M-" (y — ax)^ cette équation soit satisfaite ; on aura donc
ce qui établit une première relation entre les deux fonctions arbitraires *, **. Il suit de là que les bases des deux surfaces cylin-
driques sont parfaitement opposées, puisque, pour la même j, leurs ordonnées sont égales entre elles et de signes contraires, c'est-àdire que si Tune quelconque de ces bases faisait une demi-révolution autour de Taxe AG des 7, elle s'appliquerait exactement sur l'autre. Ainsi, si l'une de ces bases était représentée par la ligne pleine '''M''M'MMiVrM'']Vr'', l'autre le serait par la ligne ponctuée '''N''N'NN'N''N"\ dont les coordonnées correspondantes G'M' et G'N' sont partout égales entre elles et de signes contraires.
Voilà tout ce qu'exige la première condition prise isolément.
C'est pour diminuer le nombre des figures que, dès à présent, je donne aux bases une forme particulière, qui sera justifiée dans la suite.
Rn nommant A la longueur AB de la corde vibrante^ les deux équations de la droite BD sont
Or, d'après la seconde condition, la surface doit passer encore par cette droite ; donc, si l'on substitue ces nouvelles valeurs de x et r. dans l'équation intégrale, il faut que cette équation soit encore satisfaite. On aura donc
a)(j-|- ak) -h H' [y — ak) = o,
ce qui établit une seconde relation entre les deux fonctions arbitraires.
Actuellement, représentons par // la quantité y — ax qui est sous la fonction ^ : la quantité y -\- ax qui est sons l'autre fonction <I> sera 11 -h 2 «A, et Téquation précédente deviendra
et , par conséquent ,
En vertu des deux premières conditions considérées simultanément, on aura donc entre les deux fonctions * et H' les deux relations
* ( j + 2 a A) -h Wy = o, équations qui, retranchées Tune de l'autre, donnent
* ( >• + 2 a A) — * K = o, et, par conséquent,
H ( r -h 2 a A) — Wy -- o.
Ainsi, pour chacime des deux fonctions * et M , on a une équation (jui doit servir à la déterminer.
Les deux équations que nous venons de trouver, Tiuie en »l>, l'autre en *", sont aux différences finies, et, pour chacune d'elles, la différence finie de la variable principale/ est constante et = 9. a A, c'est-à-dire qu'en faisant pour les deux fonctions
Ar = '^' ^A,
on a, pour l'une,
A<Pj = o,
et pour l'autre,
Or ces équations aux différences finies sont très-simples, et leurs intégrales expriment évidemment que chacune des bases des deux surfaces cylindriques est une courbe périodique dont toutes les périodes constamment étendues de la quantité 2 a A dans le sens des jr sont égales entre elles, de manière qu'étant toutes superpo-
sées, elles coïncideraient parfaitement; mais elles ne statuent rien sur la forme d'une de ces périodes, qui doit être déterminée par d'autres conditions.
Donc, après avoir mené par l'origine A , et dans le plan des .r, j, les deux droites AB', A^B, faisant, de part et d'autre de AB, Fangle dont la tangente esta, jusqu'à ce qu'elles coupent la droite BD dans les points B', ^B, ce qui donnera BB' = a A et B^B = — aA, et par conséquent B'^B = ji a A; si sur l'axe AG des r? et à partir d'un point quelconque, on porte cette quantité B'^B un noml)re de fois indéfini tant en avant qu'en arrière, on déterminera sur cet axe une suite d'intervalles égaux ^^A A, A^^A, . . ., pour lesquels les parties (correspondantes de chaque base seront parfaitement égales entre elles, et celles des deux bases seront aussi égales entre elles, mais en sens opposés l'une par rapport à l'autre.
Voilà tout ce qui résulte des deux premières conditions prises simultanément. La nature des périodes doit être déterminée par les autres conditions.
(Considérons actuellement celle des conditions que nous avons énoncée la quatrième, et qui comporte que la surface, dans son intersection avec le plan des .c, z, soit partout perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire que, pour tous les points de la surface qui sont
dans ce plan , on ait ( ^ ) =
Si l'on différentie l'équation intégrale
z = <!> {y -h fuv) -+- ^' [y — eujc)^
en regardant .r comme constante, on a
/dz
mais, pour le plan des x, z, on a
donc, si l'on substitue ces valeurs, Téquation précédente doit être satisfaite. On aura donc
<if'{ax) -+- ^'{—ax) = 0,
et par conséquent, en général,
équations aux différences ordinaires, que Ton peut écrire de la manière suivante :
^.<ï>(r)-rf.^(-j) = o,
et dont l'intégrale est
la quantité 2e étant la constante arbitraire introduite par l'intégration, et qui est toujours la même, quelle que soit la valeur de j. L'équation que nous venons de trouver est entre les coordonnées des bases des deux surfaces cylindriques ; mais , en vertu de Tart. VI, on a
donc, si l'on substitue successivement pour ces quantités leurs valeurs, on aura les deux équations aux différences finies
lir(j) + lir(— 7)=— 2C,
dont chacune appailient à une des bases en particulier.
Avant que d'aller plus loin, il convient de déterminer la constante arbitraire 'le,
(Chacune des équations aux différences finies que nous venons de trouver a lieu pour la base à laquelle elle appartient, quelle que soit la valeur de >'. (considérons le point de cette courbe qui correspond à Torijifine A, et pour lequel on a >* = o ; la première de ces équations deviendra
or les deux cjuantités <l> (o) et <1> ( — o) sont évidenunent égales entre elles, puisqu'elles sont évidemment deux expressions de l'ordonnée de la base à l'origine ; on aura donc
ou
On trouve de même
Donc la (*onstante e^ pour chacune des bases des deux surfaces <'vlindri(jues, est égale à l'ordonnée de cette base à l'origine.
D'après (*ela, considérant sur chacune des deux bases le point a (]ui correspond à l'origine, si pour chacune d'elles on mène par ce j)oint une droite ar |iarallèle à l'axe A(i des > , et qui en sera distantt* de la quantité • 'xe pour Tune, et — *xe pour l'autre ; et si, l'apportant chacMuie de ces deux courbes à la droite ac correspondante, regardée <'onune un nouvel axe des r, on représente leurs nouvelles ordonnées par ïv et f )\ on aura, pour la première de ces <*ourbcs.
ce qui donne, en ajoutant,
flj) + f{— 7) = *(.r) + *(— 7) — 2e.
Or le second membre est nul en vertu de la première équation aux difiërences finies de Tarticle précédent ; donc on aura
on trouverait de même
Ainsi, à la place des deux équations aux difFérences finies de l'article précédent, rapportées au même axe AG des >% on a pour les deux bases, rapportées chacune à son axe particulier ac, la même équation aux différences finies délivrée de la constante arbitraire e, c'est-à-dire qu'en faisant pour les deux bases
on a, pour l'une, et pour l'autre.
Afr = — 2fj, Vf = — 2//.
Les équations aux différences finies que nous venons de trouver
sont faciles à. intégrer, et leurs intégrales expriment évidemment
que, pour la même base, deux ordonnées quelconques wp, ^i^V,
prises à distances égales et de part et d'autre du point a, sont égales
entre elles et de signes contraires. Donc, pour chacune des bases
des deux surfaces cylindriques, le point a qui correspond à l'origine
est un véritable centre de la courbe, dont toute la partie qui est
dans la région des j et z négatifs est symétrique, et semblable à celle
qui est dans la région des y et z positifs ; de manière que si Tune de ces deux parties était construite, l'autre s'ensuivrait nécessairement. Il suit de là que si sur la droite «r, et à partir du point a, on porte de i>art et d'autre deux quantités axi\ a^a égales chacune à BB', c'est-à-dire à la quantité «A, ce qui détermine sur cette droite l'intervalle ^a a d'une période, la portion de la base qui correspond à cette période est partagée par le point a en deux parties de même étendue dans le sens des j, et dont Tune n'est autre chose rjue la répétition de l'autre dans la région diamétralement opposée. Il en est de même des deux périodes an"'^ ""a^a^ et ainsi de suite. Donc si, à partir du point a, on j^artage la courbe, tant en avant rpi'en arrière, en demi-périodes étendues chacune dans le sens des^}' de la quantité a A, ces demi-périodes seront telles, que deux quelconques consécutives seront l'une la répétition de l'autre dans la région diamétralement opposée; et que, de deux en deux, elles seront parfaitement égales et semblables entre elles. Ainsi, pour connaître entièrement les deux bases des surfaces cylindriques, il ne reste plus qu'à déterminer, pour l'une quelconque d'elles, la forme d'une de ces demi-périodes, qui dépend uniquement de la Hgure initiale arbitraire AMB donnée à la corde vibrante.
Non-seulement la constante e que nous avons employée art. VII et VIII est arbitraire, mais encore sa grandeur est absolument indifférente à la surface parcourue par la corde vibrante, surface qui est toujours la même, quelle que soit la grandeur de la constante e.
Kn effet, nous avons vu qu'on obtient les deux caractéristiques de la surface, en coupant les deux surfaces cylindriques par deux plans parallèles aux z, l'un mené par la droite AB', dont l'équation est
V — (LV = o.
l'autre mené par la droite A^B, dont l'équation est
y H- ruv = o,
et qu'on engendre la surface parcourue par la corde vibrante, en faisant mouvoir l'une quelconque de ces deux caractéristiques de manière que, son plan restant toujours parallèle à lui-même, et les z de ce plan restant toujours parallèles entre elles, le point du plan qui était d'abord à l'origine, rendu mobile avec le plan, parcoure l'autre caractéristique. Or, si l'ordonnée d'une des bases à l'origine est H- e, celle de l'autre base à l'origine est — e ; les ordonnées des deux caractéristiques à l'origine sont donc aussi -h e pour l'une et — € pour l'autre. Donc, si pour opérer la génération de la surface, on transporte l'origine mobile de la première caractéristique sur la courbe de la seconde, on abaisse la première de ces courbes de la quantité e, et cette courbe alors passe elle-même par l'origine.
Lors donc qu'ensuite elle se meut de manière que son origine mobile parcoure la seconde, son mouvement est le même que si, les deux caractéristiques étant transportées à l'origine sans changer de formes, on faisait mouvoir l'une de manière que son point qui est à l'origine parcourût l'autre.
On peut donc, sans changer ni la forme ni la position de la surface engendrée, donner à la quantité e la valeur que l'on voudra. Tout se simplifie beaucoup si l'on fait cette quantité e = o\ les axes particuliers cœ des deux bases coïncident alors avec l'axe primitif AC, et layZg*. 2 se change, dans la fig, 3, où les points analogues sont marqués par les mêmes lettres .
Pour achever de déterminer entièrement les bases des deux surfaces cylindriques {/lg> 3), il ne s'agit plus que de construire pour
chacune d'elles la première demi-période AM'A', AN 'A', dont rétendue dans le sens des y est égale à BB', c'est-à-dire à la quantité a A : c'est ce qu'on fera en satisfaisant à la troisième condition de l'art. V, qui est la seule qui n'ait pas encore été employée. Cette condition porte que la surface engendrée coupe le plan des x^ z dans la courbe initiale qui doit être donnée arbitrairement.
Soit A MB la courbe initiale donnée, et couchée sur le plan des et, j, et soit GM une quelconque de ses ordonnées; si, par le pied G de cette ordonnée, on mène deux droites GG', G^G parallèles aux directrices AB'et A^B des deux surfaces cylindriques, et si l'on prolonge ces parallèles jusqu'à ce qu'elles rencontrent l'axe AC en deux points G', ^G, il est évident que, pour le point G de la droite AB, les ordonnées des deux surfaces cylindriques seront égales, l'une à G'M', et l'autre à ^G^N : donc on doit avoir
