G'M'+^G^N = GM

Mais on a, art. VI,

et, art. VIII,

donc on doit avoir

Tx^N = -G'N';

donc chacune des ordonnées G'M', ^G^N est la moitié de l'ordonnée connue GM.

En opérant de la même manière pour tout autre point G de la droite AB, on aura autant d'ordonnées que l'on voudra de la première demi-période de chacune des bases des deux surfaces cylindriques ; les bases seront donc déterminées dans toute leur longueur indéfinie, et il sera facile de construire l'ordonnée z de la surface pour un point P quelconque pris arbitrairement sur le plan des .r, y.

Car, en menant par ce point deux droites PP', PP" parallèles aux directrices des deux surfaces cylindriques, on déterminera sur AC les pieds P', P'^ des ordonnées P'Q', P'^Q'^ des bases correspondantes; et l'ordonnée z de la surface au point P sera égale à la somme de ces deux ordonnées particulières, prises avec le même signe si elles sont placées du même côté par rapport à AC, et avec des signes contraires si elles sont de côtés différents .

Il sera également facile d'engendrer la surface par le mouvement de l'une de ses caractéristiques sur l'autre, car ces deux courbes ne sont autre chose que les intersections des deux surfaces cylindriques par des plans parallèles aux ;:, menés l'un par la droite AB'et l'autre par A^B, intersections qui sont faciles à construire, puisque les bases des cylindres sont entièrement déterminées.

La construction par points que nous venons de donner pour la surface peut être abrégée considérablement, et l'on peut se dispenser de la construction des bases des deux surfaces (cylindriques.

Soit AB la corde vibrante tendue en ligne droite {PL V ^ fig. 4)? soit AMB la figure initiale donnée arbitrairement à la corde, et que nous supposons couchée sur le plan des x^ r; soient AC, BD les deux droites perpendiculaires à AB, par lesquelles nous avons vu que la surface de vait passer, en vertu des deux premières conditions de l'art. V ; à partir du point A, soit divisée la droite AC en parties A A', A'A'^ A'^A'",. . . , toutes égales à l'étendue a A dans le sens des y d'une dem i -péri ode ; et par tous les points A', A'^ A"',... ainsi déterminés, soient menées parallèlement à AB, et jusqu'à la rencontre de l'autre droite BD, les droites A'B', A''B'', A'"B'",... ; soient menées les diagonales AB', A'B qui seront parallèles aux directrices des surfaces cylindriques; enfin, soit construite la

(!Ourbe A/wB qui passe par les milieux des ordonnées de la courbe donnée AMB.

Cela fait, étant donné un point P pris arbitrairement sur le plan des r, r ; pour trouver l'ordonnée z de la surface en ce point, on mènera par ce point, et du côté de la droite AB, deux parallèles aux diagonales AB', A'B, et on les prolongera jusqu'à ce qu'elles rencontrent chacune l'une des deux droites AC, BD; on les réfléchira l'une et l'autre de manière que l'angle de réflexion fait avec cette droite soit égal à l'angle d'incidence, et on les prolongera jusqu'à la rencontre de l'autre droite ; on les réfléchira encore, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'elles parviennent enfin à la droite AB, et la rencontrent entre ses extrémités, l'une en un point y, l'autre en un point ^', ce qui déterminera, pour la courbe AmB, deux ordonnées qn^ (l'ii -i dont la somme donnera l'ordonnée z de la surface pour le point donné P ; en observant que le signe de chacune de ces ordonnées partielles est positif si le nombre des réflexions éprouvées par la droite qui la détermine est pair, et négatif si le nombre de ces réflexions est impair.

Les deux droites menées par le point P, ainsi que nous venons de le dire, après leurs réflexions successives, se rencontrent de nouveau dans des points P', P'^..., p ^ /;'\..., pour lesquels les ordonnées z de la surfaire sont égales à la somme des mêmes ordonnées partielles y//, qn^ et, par conséquent, égales entre elles ; mais ces ordonnées sont positives pour tous ceux de ces points tels (jue P, P', P" qui sont placés dans les demi-périodes impaires, et elles sont négatives pour les points p\ p" qui sont placés dans les demi-périodes paires. Kt parce que tous les points P, P', P''',... sont semblablement placés dans leurs périodes respectives, ain&i

que les points p\ // dans les leurs, il s'ensuit qu'à chaque période

entière tout se renouvelle; et que, pour connaître entièrement la

surface, il suffit de l'étudier dans toute l'étendue de la première

période.

{PL l'y Jig. 5. ) En ne considérant de la surface que la partie (|ui correspond à la première période AA"B''B, recherchons d'abord l'intersection de la surface par le plan parallèle aux z qui termine la période, ce qui se réduit à construire l'ordonnée de la surface pour un point quelconque P' pris sur la droite A'^B'^ : il est clair que cette intersection donnera l'état de la corde vibrante à la fin de la première période, c'est-à-dire après le temps exprimé analytiquement par la quantité :î a A .

Si Ton suit le procédé indiqué art. XII, on mènera les lignes P'wm'P et PVt^'P jusqu'à leur rencontre avec la droite AB; or, de ce que l'intervalle AA'' est é{çal à l'étendue 2 a A d'une [>ériode entière, il suit : i"* que ces deux lignes rencontreront AB dans le même point P ; 2*^ que le point P sera placé sur AB de la même manière que P' sur A"B'' ; 3*^ que chacune de ces lignes aura éprouvé deux réflexions, en u^ u pour l'une, et en v, v' pour l'autre, [/ordonnée en P' sera donc égale au double de l'ordonnée Pw et de même signe ; elle sera donc égale à l'ordonnée PM de la courbe initiale, et dans le même sens par rapport au plan des x^ y. Donc*, la section faite par A"B", et qui termine la première période, est parfaitement égale et semblable à la courbe initiale AMB, et placée du même coté .

Il suit de là (|u'à la fin du temps exprimé par i^aA, la corde vibrante se retrouve dans le même état oii elle avait été al)andonnée à elle-même à l'origine; et parce que tout se renouvelle après chaque période, la corde reprend le même état à des intervalles égaux entre eux et exprimés par la quantité analytique 2 a A.

Pour connaître l'ébit de la corde au milieu d'une période, il faut construire la section de la surface par un plan mené par A'B', parallèlement aux z ; c*est-à-dire construire Tordonnée de c^tte surface pour un point quelconque /> pris sur A'B'. Or il est clair que si, parle point />, on mène les I ignés /;(»M^ et/;//'P jusqu'à la rencontre de la droite AB, i'' ces droites coupent AB dans le même point P ; u*^ le point/? sera i)lacé sur AB d'une manière opposée à celle dont/; est situé sur A'B', c'est-à-dire que l'on aura PB = /;A' ; 3** enfin, les lignes auront éprouve chacune une seule réflexion. L'ordonnée de la surface au point /; sera donc égale à l'ordonnée entière PM de la courbe initiale, mais de signe contraire.

Il suit de là que la section faite par A'B' est égale et semblable à la courbe initiale, mais renversée par rapport à elle; c'est-à-dire que si la courbe initiale est représentée ( fig. 6) par AMB, Tétat de la corde, après une demi-période, est la courbe A/7?B placée de l'autre côté, et telle, que le milieu E de la droite AB est le centre de la figure renfermée par ces deux courbes. D'après cela, toutes les ordonnées de la section faite par A'B' {fig^ 5) sont des minima dans le sens des y, comme celles de la courbe AMB sont des maxima ; ainsi cette courbe est un état initial pour la demi-période suivante. Donc, l'étendue d'une demi-période A A', A A''',... représente la durée entière d'une vibration de la corde vibrante.

[Fig. 5.) Recherchons actuellement l'état de la corde au quart de la première période.

Il est évident que si, par l'intersection E des deux diagonales AB', A'B, on mène ah parallèle à AB, et que si, par cette droite, on fait

passer un plan parallèle aux z, la section faite par ce plan donnera l'état demandé de la corde; il s'agit donc de construire les ordonnées iz de la surface pour les différents points de la droite ab.

Opérons d'abord pour le point E, qui est le milieu de ab. D'après la construction, l'ordonnée z de la surface en ce point est égale à la somme des demi-ordonnées de la courbe initiale aux points extrêmes A, B. Or, quelle que soit la courbe initiale, ses ordonnées aux points extrêmes sont toutes deux nulles; donc l'ordonnée pour le point E est nulle aussi. Donc, au quart de la période, ou lorsque la corde est à la moitié de sa vibration, le milieu de la corde se trouve sur le milieu de la droite AB.

S'il s'agit de l'ordonnée d'un point Q, pris d'une manière quelconque sur ai, après avoir mené par ce point les lignes Qii'q et Q^q jusqu'à ce qu'elles aient rencontré la droite AB dans des points q^q^ pour lesquels les ordonnées de la courbe AMB soient respectivement ç/i, q'n' : il est évident, i° que les deux points q^ q' seront placés à distances égales des deux extrémités A, B, car ces distances seront chacune égales à QE; 2° que l'une des lignes de construction aura éprouvé une réflexion en w'^ tandis que l'autre n'en aura pas éprouvé; que, par conséquent, l'ordonnée qn doit être prise avec le signe négatif. L'ordonnée z de la surface au point Q sera donc égale à q'n^ — qn; cette ordonnée ne peut donc être nulle, à moins que l'on n'ait q'n^ = qn, c'est-à-dire à moins que les ordonnées de la courbe initiale prises à distances égales des extrémités A, B ne soient égales entre elles; ou, enfin, à moins que la courbe initiale ne soit symétricpie de part et d'autre de son milieu.

II suit de là que, lorsque la figure initiale de la corde vibrante est symétrique de part et d'autre de son milieu, à la moitié de la durée de sa vibration, tous les points de la corde sont en ligne droite, c'est-à-dire que, dans chacune des vibrations, tous les points de la corde passent en même temps par la droite AB ; mais que quand la

courbe initiale n'est pas symétrique, dans aucun instant de ta durée de sa vibration la corde ne se trouve en ligne droite, et ses différents points ne passent que successivement par la droite AB.

Maintenant, si Ton opère pour un autre point Q'de la droite ab, pris de l'autre coté du milieu R et à même distance que le point Q , pour trouver l'ordonnée z de la surface en ce point, il faut mener les lignes de construction Q'(/ et Q'r'^y' jusqu'à leur rencontre avec la di'oite AB. Or il est évident que les points de rencontre </., y' sont les mêmes que ceux qu'on trouve pour le point Q, avec cette différence, que c'est celle des lignes de construction qui n'avait pas éprouvé de réflexion dans le premier cas, qui l'éprouve dans le second, et réciproquement; donc l'ordonnée au point Q' est égale à (fn — fi^n\ c'est-à-dire est égale à celle du point Q prise avec le signe contraire.

Il suit de laque, lorsque la figure initiale de la corde vibrante n'est pas symétrique de part et d'auti^e de son milieu, à la moitié de sa vibration la figure de la corde est {fig. (>) une courbe AyteE/u'B dont les ordonnées, prises à distances égales du milieu E, sont égales entre elles, et dont le point E est en même temps centre et point d'inflexion.

{rig> 5.) Enfin, soit PM la plus grande ordonnée de l'état initial : si par le point P on mène les lignes de construction Pw'n' et Pn jusqu'à ce qu'elles rencontrent la droite ab dans les points II, n', ces deux points seront à égales distances de part et d'autre du point E, et il est clair que leur intervalle sera égal à 2 PB; car on aura PB = IlE = En'. Gela posé, si l'on veut construire les ordonnées de la surface pour les points n, n', il faut mener par ces deux points les autres lignes de construction ïiyTf et IlV jusqu'à ce qu'elles rencontrent la droite AB. Or il est évident, i® que ces deux dernières lignes rencontrent la droite AB dans le même point t ; '1^ (jue 1 on a II A ==^ PB; donc les ordonnées de la surface aux

points n, II' seront

P/// — n^, pour la première,

et

— Pm — Yl/Uy pour la seconde ;

elles seront, par conséquent, éjçales entre elles et de si{i;nes contraires.

{Fig. 6. ) De plus, il est facile de voir que, de ces deux ordonnées, la première est un maximum et la seconde un minimum; donc la figure A^E^'B que prend la corde au milieu de sa vibra- 'tion a deux ordonnées YI/lc et II'm' égales entre elles et de signes contraires, dont Tune est un meuvimum et l'autre un minimum. Os deux ordonnées sont, de part et d'autre, h égales distances du milieu E; la distance de chacune d'elles au milieu est égale a Pli, et l'intervalle qui sépare ces deux ordonnées, plus grande et plus petite, est = 2 PB.

Il serait facile de pousser plus loin la discussion de la première demi-période, et de rechercher l'état de la corde à d'autres intervalles plus petits; mais tant que l'état initial n'est pas déterminé, ces recherches ont peu d'intérêt, et nous en resterons là à cet égard.

Nous avons vu que la surface coupe le plan des .i-, ) dans les deux droites indéfinies A A'A". . . , BB'B''. . . , et dans le centre E de chacune des demi-périodes; mais, sous ce point de vue, le centre E n'est pas isolé : il est sur une courbe dans laquelle la surtàce coupe encore le plan des .r, r, et qu'il s'agit de construire.

{Fiff. 7.) Pour cela, toutes choses analogues étant les mêmes dans h/ig. 7 que dans la y/if. 5, soit menée la droite ///• parallèle à AB, et qui coupe la courbe AwB en deux points //, //', dont W^

ooo

ordonnées y^/z, pr^ seront égales entre elles; et par les pieds/;, p' de ces deux ordonnées soient menées des lignes de construction. Cela fait, si dans la première demi-période on compare, pour l'un de ces points, la ligne de construction qui n'a pas encore éprouvé de réflexion avec celle de l'autre point qui en a déjà éprouvé une, et réciproquement; et si l'on considère les points dans lesquels ces deux lignes se coupent, on aura deux solutions, c'est-à-dire que l'on trouvera deux points tt, tt', qui seront tels que l'ordonnée z de la surface sera nulle pour l'une et pour l'autre; car l'ordonnée du point TT est

z =^ p^n! — pu = o,

et celle du point tt' est

2 = — p'n' H- pn = o.

Or les deux points tt, tt' sont évidemment les sommets des angles diagonalement opposés d'un parallélogramme dont E est le centre; donc ils sont en ligne droite avec le point E, et, de part et d'autre, à égales distances de ce point.

En opérant de la même manière pour tant d'autres droites hh que l'on voudra, on trouvera autant de systèmes de points tt, tt' pour lesquels l'ordonnée z de la surface sera nulle, et le lieu de tous ces points sera une nouvelle intersection de la surface par le plan des x^ y. Ce lieu est une courbe v'itEait'u' passant par le point E, qui en est le centre, et par les points v\ u' que détermine le pied P de la plus grande ordonnée de l'état initial AMB, et il se renouvelle d'une manière opposée dans la seconde demi-période en wEV : les points v\ ii' sont donc deux sommets de cette courbe placés, l'un en deçà, l'autre au delà de la droite a^, et à égales distances de cette droite.

Il suit de là que dans le commencement de la durée de la vibra-

tion, et pendant tout le temps représenté par ]iu\ aucun des points de la corde vibrante ne parvient à l'axe AB. A la fin du temps hu\ la figure de la corde, qui est la section faite dans la surface suivant la droite a'w' parallèle à AB, ne coupe point encore la droite AB i/lg- S) j mais elle la touche en B comme A^B : ce point de contact se change à l'instant en un point d'intersection qui se meut de B vers A; sa vitesse, qui commence par être infinie, décroît rapidement jusqu'à la moitié de la vibration, époque à laquelle il se trouve en E, et sa vitesse est alors un minimum. Il continue à se mouvoir vers A, où il parvient, à la fin du temps exprimé par Ai^', avec une •vitesse qui, après avoir crû de plus en plus depuis le minimum en E, est enfin redevenue infinie, et il prend pour un instant infiniment petit l'état de point de contact. Alors la figure de la corde, qui est la section faite dans la surface suivant la droite t^'è' parallèle à AB {Jig. 7), cesse de couper la droite AB {Jig- 8); elle la touche en A, et devient A^'B opposée à A^uB. Ensuite la corde n a plus aucun de ses points intermédiaires sur la droite AB, non-seulement pendant la durée du reste de la vibration, mais encore jusqu'à la fin du temps exprimé par Au {fig* ?)? ^^ ^^^ reprend la figure Au'B {fis- ®)' ^^^ touche en A la droite AB, et oii tout ce que nous venons de dire pour la première demi-période se renouvelle pour la seconde, mais en sens contraire.

( ^^- 9-) Jusqu'ici nous avons supposé que la corde vibrante était terminée à ses deux points fixes A, B, et, dans cette hypothèse, nous avons vu, i'' que toute la surface qui est le lieu des différents états que la corde prend successivement est terminée par les deux droites AC , BD prolongées indéfiniment du coté des y positif, c'est-à-dire du temps futur; 7^ cpe cette surface est

composée de demi-périodes de même étendue dans le sens des^>% dont deux consécutives sont opposées entre elles, et qui, de deux en deux, sont égales et semblables. Mais il peut arriver que la corde AB ne soit qu'une partie d'une corde indéfinie AB, tendue d'une manière uniforme, et dont les seuls points A, B, gênés par des obstacles, ne puissent prendre de mouvement: dans ce cas, si l'on veut reconnaître l'état de la corde pour tous les temps fbturs, il faut construire la surface dans toute l'étendue où l'on peut le faire d'après l'état initial et connu de la partie AB de la corde.

Or, 1** d'après la génération de la surface, il est facile de reconnaître qu'elle est composée des deux demi-périodes qui se succèdent alternativement, tant dans le sens des .r que dans celui des j% comme on le voit dans la yîg*. 9, oii nous avons marqué du n® i les parties du plan des x^ y qui correspondent aux demi-périodes égales à la première, et du n** 2 les parties de ce plan qui correspondent aux demi-périodes égales à la seconde; a*" d'après la construction par points, il est évident que si par les points A, B on mène les droites A A' A'"... et BB'B'^.., projections de deux caractéristiques différentes, on ne peut, d'après l'état initial AMB de la seule partie AB, construire de nouvelles portions de la surface que celles qui sont en avant des deux caractéristiques.

Donc la surface prolongée indéfiniment en avant, mais terminée en arrière par la courbe initiale AMB, et par les deux caractéristiques divergentes, menées en avant par les deux points A, B, (*ontient tous les états par lesquels passe successivement la corde indéfinie lorsque sa partie AB a été mise en vibration.

Ainsi l'état initial de la corde entière étant c^l. AMBilî^, après l'intervalle d'ime demi-période, c'est-à-dire à la fin de la première vibration, la corde aura la figure cl/A'M'M'M'B'UÎ>'; après une période entière, c'est-à-dire à la fin de la seconde vibration, elle aura la figure -i ''A"M"... B'^iD/. Au milieu d'une des vibrations,

elle sera, comme on le voit en UV, composée elle-même de [)ériodes semblables et égales à celle qui {J^g- 6) est représentée par A^E^'B.

Il suit de là que, lorsqu'une partie AB d'une corde indéfinie a été mise en vibration, le mouvement se propage de part et d'autre des extrémités A, B, avec une vitesse telle, qu'après un intervalle de temps égal à la durée d'un nombre quelconque m de vibrations, il a parcouru, de part et d'autre, un espace égal à m fois la longueur AB de la partie mise en mouvement; mais, pendant chaque vibration, ce mouvement n'est pas uniforme, il est intermittent, comme nous avons vu, dans l'article précédent, que l'était celui du point d'intersection de la corde vibrante avec la droite AB.

Donc si, d'après le ton que produit la partie vibrante AB de la corde, le nombre des vibrations qu'elle fait par seconde est /w, et si l'on nomme A la longueur AB, l'espace que la vibration parcourra, de part et d'autre, sur la corde indéfinie, dans une seconde, sera exprimé par /wA.

Nous ne pousserons pas plus loin ces conséquences, qui, quoiqu'elles soient rigoureuses lorsqu'on ne s'occupe que de la construi*tion de l'équation générale

z = a)(j -t- ax) H- ^'[y — ax),

pourraient induire en erreur si on les appliquait sans réserve aux phénomènes des cordes vibrantes. En effet, cette équation n'exprime le mouvement de la corde vibrante que dans l'hypothèse des excursions infiniment petites: or, dans la nature, les excursions, quoique peu considérables, ne sont jamais infiniment petites; car le son qu'elles produiraient alors serait si faible, qu'il serait imperceptible à nos sens. Donc les conséquences que l'on tire de l'équation

précédente ne doivent être regardées que comme approchées par rapport aux phénomènes de l'acoustique.

Nous terminerons en observant que s'il s'agissait de construire en relief la surface dont l'équation est

z = 0(j H- ax) -+- M'(j — rtx),

pour des conditions analogues à celles des cordes vibrantes, et pour xm état initial donné, il sera très-commode de l'exécuter en plâtre, et de la pousser comme une moulure dont le profil serait une des deux caractéristiques que l'on ferait mouvoir le long de l'autre.

Dans ce cas, il serait encore plus simple de n'exécuter de cette manière que la seule première demi-période de la surface, d'en prendre la contre-épreuve, ce qui produirait la seconde demi-période; de tirer ensuite de chacune de ces demi-périodes un certain nombre de plâtres qu'on placerait enfin alternativement les uns à côté des autres, comme il est indiqué dans \^fig. 9.

C'est ainsi que, dès la première année de l'Ecole Polytechnique (i 795), nous avons fait exécuter en relief cette surface, en supposant que l'état initial fût composé de deux droites inégales entre elles. Ce relief existe encore dans la collection de l'Ecole, et on peut le consulter pour étudier la surface d'une manière plus facile.