Hinc facile se<{uitur, hal)eri generaliter
cos (i) L* + cos (2) L- -h cos (3) L- = 1 ,
nec non , dénotante \1 quodcunque aliud punctum superiîcîei sphaerîcae , esse
<'os (i) L . cos (1) L' -h cos (2) L . cos (2) L' -h cos (3) L . cos (3) L' = cos IJ-'.
0. Theorema. Denotantibus L, L', L'', U" quatuor puncta in superficie sphœrœ, atque A anguluni, quem arcus LU, U'I/' in puncto concursus sui formant^ eiit
cos LU', cos UU" — cos UJr cos VU = sin LL'. sin UW. cos A .
Démons tratio. Denotct littera A insuper punctum concursus ipsum , statuaturque
AL = ^ AU=t', AU = t\ AU' = t'".
Habemus itaque
cos LL'' = cos t cos t" -h sin t sin t" cos A , cos L'L'"= cos t' cos t'" -f- sin t' sin t'" cos A , cos LL'" = cos t cos t"' -h sin t sin t"' cos A , cos L'L" = cos «'cos t" 4- sin «'sin i" cos A-,
el pi^iii
cos LJ/'. cas IJir ^ tus LU\ i os L'I/'
. cos / cos t" siii f ' sin f "' )
= cos A { \
rostcost^'smtsiut" — cos/ rosf"'siii«'siiU" — cos«'cos/"siii/sîn/'" )
= cos A (cos t sîn t^ — sin t cos t') (cos f "sin /'" — sin /'' sin /'") zr. cos A . sin (t- — t) , sin («'"—/'') = rosA.sinLL'.sinL"L"'.
CeUTum quum indc a punclo A bini ranii ulriusquc circuli niaximi profiriscantur, duo quîdem ibi angiili formantur. quorum aller altcrîus rompleinentuni ad 180": sed aualysis nostra monstrat, cos ramos adoplandos esse, quorum direcliones cum sensu progressionis a punclo Ij ad L'* ci a puucto \J' ad L'"consentiunl : quibus inlelleclis simul |>alel, quum circuli niaximi duobus punctis concurranl, arbitrarium esse uirum eligalur. Loco anguli A etiam arcus inler polos circulorum maximorum. quorum parles sunl arcus fJ/, I/I/', adhiberi poiest : maniieslo auteni polos taies aceipere oporlel , qui respeciu horum arcuum simîliler jacent, pula \el ulerquc polus ad dexlram jacens^dum a L versus L' alque ab L" versus L'" procedimus. vel ulerquc ad Lnevam.
7. SinI li. 1/, l/'lria puncta in superficies i»ph.Trica. slatuannisque, brevitalis causa .
cos (i) L =rr ,1- , l'os (a) L — r, cos (3) \. z= Z ,
cos (i) V =^ r', cos (2) i; =^ j\ cos (3) 1/ = z\ cos (i) i: = x\ cos (2) 1/ ^y", cos {^) VJ' = z\
nec non
rrs 'z" -r- x'f'z -4- x'jz' — xy'z' — x[) z" — x"y'z = A.
Designel X polum circuli maximi , cujus pars esl arcus LU, el quidem eum, qui respectu hujus arcus similiier jacet, ac punctum (i) respeclu arcus (2) (3). Tune erii , ex iheoremate praîcedente .
) z' — j'z = cos (i) / . sin (2) (3) . sin IJ/. sive, propter (2) (3) = 90*^,
et pennae
zx' — z*x= cos (2) A . V,.-
xy' — x^y = cos (3) i . sîn lAJ.
Multiplicando bas spquationcs rcsp. pcr x", y", z^^ et addendo , obtinemus adjumento theorcmatis sccundi in 5 prolatî
A = cos XL", sîn LL'.
Jam très casus sunt distiiigucndi. Ptimo, quoties U' jacet în eodem circulo maximo ciijus pars est arcus LL', erit WJ' = 90°, adeoquc A = o. Quoties ven) U jacet extra circuliim illum maximum, aderit casus secundus, si est ab eadem parte, a qua est X; tertius, si ab opposita : in bis casibus, puncta L, L', U^ formabunt triangulum sphxricum, et quidem jacebunt in casu secundo eodem ordîne quo puncta (1), (2), (3), in casu tertio vero ordine opposilo. Denotando angulos illius trianguli simpliciter per L, L', U\ atque perpendiculum în superficie spha^rica a puncto L" ad la tus LL' ductum per /?, erit sin p = sinL . sinLL"= sînL'. sinL'L", atque XL" = 90° ^P^ valentesigno superiori pro casu secundo , înferiore pro tertio. Hînc itaque colligimus
di A = sin L . sin LL'. sîn LL"= sîn L'. sînLL'. sinL'L = sinL". sinLL". sinL'L".
Ceterum manifesto casus primus in secundo vel tertio comprehendi censcri potest, nulloque negotio pcrspicitur, ±A exbibere sextuplum soliditatis pyramidîs inter puncta L, L', h" atque centrum sphaerae format». Denique bine iacillime coHîgitur, eandem cxpressionem lii-j A gcneralitcr exprimere solî- (litatem cujusvis pyramidis inter initium coordinatarum atque puncta quorum coordînatae sunt r, >% r; .r', >', z'; x'\ y" ^ z" contentse.
Superficies curva apud punctum A in ipsa situm curvatura continua gaudere dicilur, si directiones omnium rectarum ab  ad omnia puncta super^ ticiei ab A infinité parum distantia ductarum infinité parum ab uno eodemque piano per A transiente deflecluntur : lioc planum superficicm curvam in punclo A tangere dicitur. Quodsi huîc conditioni in aliquo puncto satisfieri iiequit, continuitas curvatui^îe hic inlerrumpitur, uti e. g. evenit in cuspide coni. Disquisitiones prtTsenles ad laies superficies curvas, vel ad laies superficiel parles, restringentur, in (juibus continuîlas curvaturae nidlibi interrumpîtur. Hic tantummodo observamus, methodos, quœ positioni plani tangentis
flctermînandac inscrviunt • pro punctis singularibus , in quibus conlinuitas cui'vaturaî înterrumpitur, vîm siiam pcrdcrc, et ad indeterminata pcrdu<^«M'c debere.
Situs plani taiigentis commodissîme e situ rcctsc ipsi in puncto A normalis rogiioscitur, qu.T ctiam îpsi siiperGcîci curvai noimalls dicitur. Directionem hujus normalis pcr punctum L in superficie sphaîraî auxiliaris rcpr,Tsi'n tabimus^ atque statucmus
cos (i) L = X , cos (2) L = Y, cos (3) L = Z ;
cuordinatas puncti A per jr, y^ z denotamus. Sint porro .ï'H-r/x, y -\- dy. z-\-dz coordinatœ alius puncti îu superficie curva A'; ds ipsius distantia infinité parva ab A \ denique \ punctum superficîei sphaerica™ reprfpsentans directionem élément! AA^ Erit itaque
dx = ds . cos (1)^1 dy = ds , cos (2) X , dz = ds . cos (3) X .
et , quiim esse debeat X L = go'',
X cos (i) X -h Y cos (2) X -h Z cos (3) X = o.
Et combinatione harum aK[uationum dcrivamus
Xdx -h Ydy -h Zdz = o.
Duae habeutur melhodi générales ad exhibendam iudolem superficîei curvîc. Methodus prima utitur ajquatione inter coordinatas x, j^, z , quam reduclam esse supponcmus ad formam W = o , ubi W erit functio îndeterniinatanmi X, y, z. Sît dîfferentîale completum functionis W,
dW = Vdx H- Qdy -h R^z ; eritque in superficiel curva
P^ -\-Qdy-h Kdz = o ,
et proin
P cos (i) X H- Q cos (2) X 4- R cos (3) X = o.
Quiun h^ec sequatio, perinde ut ea quam supra stabilivimus , valere debeat pro directionibus omnium elementorum ds in superficie curva , facile perspi-
