DIO

«iemiis X, Y, Z proportioiiales esse delxîre îpsis P, Q, R, et proin, quuni fiât XX + YY -H ZZ = I , orii vol

vPP-+-QQ-<-RR yPP + QQH-RR v'PPTQQ + RR

vol

V PP 4- QQ -h RR v'PP -4- QQ -+- RR y PP H- QQ -h RR

Metlioclus sccunda sistil r(K)rdinatas iu forma fiiuclionum diiarum >ariabilium /». r/. Siipponamus per difïbrenliaiîoiirm hariiin funoiionum prodire

(Ix =r. adp -\- a'flq .

(ly ^= b dp -r- b'dq , dz =^ cdp -4- c'dq .

quibiis valoribiis iii formula supra data substitiitis. obtiiiemus

(aX -f- hY -f- rZ) dp -f- (a'X -f- i'Y -h c'Z) dq = o.

Quum \\ivc cWjuatio locum haberc debeat independeiiter a valoribus dîffereiitialiiim dp, dq^ nianifesto esse debebîi

a\ 4- èY+ cZ = o, a'X -h 6'Y -f- c'Z = o:

iinde rolligimus X. Y, Z pro|K)rtîoiiales esse debere quantitatîbiis

hc — e//, ca' — ac\ ah' — ha' .

Slaliiendo ilaque, bre\italis causa.

eii

il \A

^ ^hc' — ch'Y 4- (ca' — ac'Y -4- (ah'—ha'Y = A

/;,. ' ch' ,. ra ' — av ' ab'—ha'

r/y — hc -, /^/r — ^rt rw ha — ah \-.- , Y = — ) Z—

Hi^ duabus meihï>dis generalibns accedil tertia^ ubi una coordinatarum

V. g. z exhibctur in forma functionis rcliquaruiii x.y : han: melhodus maiii festo uihil aliud est, nisi oasus specialis vel methodi priniîP , vol seciindiP Quodsi hic statu i tu r

{/z = tdx -4> ud} ,

erit vel

V^ I -h H -^ au \/i -\- n -if nu V I -}- ^/ 4- uu

X= -r---- -. Yz^- --"-.^. Z:.-

Duae solutiones in articule praîcedenteinvenia; manifeslo ad puncta superficiel sphaîrîca; opposita, sivc addircclîoucs oppositas refcruntur, quod cum rci natura quadrat, quura normalem ad utramvis plagam superficiel curva* ducere liceat. Quodsi duas plagas, superficiei contiguas, intcr se distingucre, altcrainque exterîorem alteram inieriorcm vocare placet, ctiam utrique normali suam solutionem rite tribuere liccbit adjumento tlieorematis iu art. Il (7) evolutî , simul atque critérium stabilitum est ad plagam alteram ab altéra distiuguendam.

In methodo prima taie critérium petendum erit a signo valoris quanti ta tis W. Scilicet geueralitcr loquendo superficies curva cas spalii partes, in quibus W valorem positivum obtinet , ab iis dirimet . in quibus valor ipsius W fit negativus. E theorcmate illo vero facile coUigitur, si W valorem positivum obtineat versus plagam exteriorem , normalisque extrorsum ducta concipiatur, solutioncm priorem adoplandam esse. Ceterum in quovis casu facile dijudicabitur, utrum per superficiem integram eadem régula respectu signi ipsius \V valeat, an pro diversis partîbus diversœ : quamdiu coefficientes P, Q, R valores finitos habent, nec simul omnes très evanescunt, lex continuitatis vicissitudinem vetabit.

Si metbodum sccuudam sequimur, in superficie curva duo systemata linearum curvarum concipere possunius : alterum , pro quo p est variabilis , q constans; alterum, pro quo q variabilis, p constans : situs mutuus haruni linearum respectu plaga; exterioris decidere débet , utram solutionem adoptare oporteat. Scilicet quoties très lineœ, puta ramus lineœ prioris systematis a puncto A proficisccns crescente p , ramus posterioris systematis a puncto A egrediens crescente y, atque normali s versus plagam exteriorem ducta sinnliter

jaceiii, ut, indc ab origine abscissarum , axos ipsarum x,y, z resp. (e. g. si tum e iribiis lineis illis, tum e tribus his. prima siiiistrorsum, sccunda dextrorsum , icrtia sursum dirocta concipi {K)test) , solutio prima adoptari débet ; ({uoties autcm si tus mutuus trium lincarum priorum oppositus est situi mutuo axium ipsarum X, >', r, solutio srcuuda valebit.

In mctliodo tertia dispicicndum rsu utrum, dum z incrementum posilivum accipit. mancntibus x et j^ invariatis, transitus fiât versus plagam exieriorem an interiorem. In rasu priori, pro normali extrorsum directa, solutio prima valet , in posteriori seeunda.

Sicuti . per translatam direetionem normalis in superfieiemcurvam ad superfiriem splucrrc, euivis puneto delerminato prioris superfieîei ix'spondei punc-tum determinatum in posteriori , ita etiamqua;vis linea, vel quxvis figura in illa reprsesentabitur per lineam vel figuram correspondent em in hac. In comparalione duaruni figurainim hoc modo sibi muluo eorrespondentium , quarum altéra quasi imago alterius erit, duo momenta sunt respicienda : altcrum,'quatenus sola quantilas eonsideratur; alterum. quatenus abstrahendo a relationibusquantitalivis solum situni contemplamur.

M(mientum primum basis (*rit (juarundam notionum, quas in docirinam de superfieiebus curvis recipere utile videtur. Seilicet cuilibet parti superficiei <'urv;e limitibus determinatis dnetœ cun'utuvam totalem seu integram adscribimus, qu»T per aream figura? illi in superficie sph^rica respondcntem exprîmetur. Ab hac curvatura intégra probe distinguenda est curvatura quasi speci- (ica, c}uam nos mcnsurani ciuvalurœ >ocabîmus : hîee posterior ad punctum superficiei refertur. et denotabit quoti(*ntem qui orilur, dum curvatura intégra elementi superficialis puucto adjai^entis per aream ipsius démenti dividitur, et proin indicat rationem arearum infinité parvarum in superficie ciirva et in superficie splhTrica sibi mutuo respondentium. Ltilitas harum innovationuui per ea. qua3 in posterum a nobis explicabuntur, abunde, ut spcramus, sancictur. (^uod vero altinet ad terminologiam , imprimis prospicîendum esse duximus • ut omnis ambiguitas arceatur, quapropter haud congruum putavimus^^ analogiam tenniuologiiiî in doclrina de lineis curvis planis vulgo receptam (etsi non onmibus piobatam) stricte sequi . secundum quani mensura curvatura; simpliciter audire debuisset curvatura, curvatura intégra autem amplitudo. Sed ({uidni in verbis faciles esse licerel. dimnnodo res non sint inanes, necjuedictif) interprétation! erronew obnoxia?

Silus ûgurac in superficie splirerica vel similis esse potest si lui figura* respondcntis in superficie curva, vel oppositus (invcrsus); casus prior locum habct, ubi binae lineo; in superficie curva ab eodem puncto direclionibus injequalibus, sed non oppositis, proficiscentcs repnrsenlaulur in superficie sph.Trica per lineas similiter jacentcs, puta ubi imago lincx ad dexlram jacenlis ipsa est ad dcxtram; casus posterior, ubi contrarium valet. Hos duos casus pvv signum mensurae curvatura; vel positivum vel negativum distinguemus. Sed manifeslo haer distinctio eatenus tantum locum babere potest, quatenus in utraque superficie plagam determinatam eligimus, in c[ua figura concipi débet. In spha?ra auxiliari semper plagam exteriorem, a cenlro aversam, adliibebinius : in superficie curva etiam plaga exterior, sive qua^ tamquam exterior considéra tur, adoptari potest, vel potius plaga eadem, a qua normalis erecta concipitur; manifeslo enim respectu similitudinis figurarum nihil mutatur, si in superficie curva tum figura ad plagam oppositam transfertur, lum normalis, dummodo ipsius imago semper in eadem plaga superficiei spbicricœ depingatur.

Signum positivum vel negativum, quod pro situ figura; infinité parvcX mensurœ curvatunc adscribimus , etiam ad curvaturam integram figura; finitœ in superficie curva extendimus. Attamen si argumentum omni generalitate amplecti suscipimus, qua?dam dilucidationes requîruntur, qiias liic breviier tantum attingemus. Quamdiu figura in superficie curva ita comparata est, ut singulis punctis întra ipsam puncta dwersa in superficie spliwrica n;spondeant, definitio ulteriori explicatione non indiget. Quoties auiem conditio ista locum non babet , necesse erit , quasdam partes figune in superiicie spb:erica bis vel pluries in compulum ducere, unde, pro situ simili vel opposito, vel accumulatio vel destruciio oriri poterit. Simplicissimum erit in tali casu . figuram in superficie curva in partes taies divisam concipere, qua; singulx per se spectaUe conditioni illi satisfaciant . singulis tribuere curvaturam suam integram, quantitate per aream figura; in superficie splia?rica respondentis, signo per situm determinatis, ac denique figura? toti adscribere curvaturam integram ortam per additionem curvaturarum inlegrarum, qua; singulis partibus rrspondent. Generaliter itaque curvatura intégra figura; est =fkd7^ dénotante Hi elementum area» figura;, A- mensuram curvatunr in quovis puncto. Quod veni attinet ad repra»sentationem geometricam hujus integralis, pnecipua hujus rei momenta ad sc»quentia redeunt. Peripberia* figura; in superficie curva (sub restrictione art. III) semper respondebit in superficie spbxrica linea in se ipsam rediens. Quée si se ipsam nullibi intersecat, lotam superficiem spha'ricam in duas partes dirimet. quaruni altéra respondebit figura» in superficie curva, et cujus area, positive vel négative accipienda. proui n*spectu [>eripheria» sua»

Gj

siinilitcr jacct ut figura in superficie curva resporlu su», vel inverse, exliibi'bit posterions curvaturam iiilegrain. Quolies vero lînea ista se ipsam semel vol pluries secat, exhibebît figuram (^ompliratam, eui tameii area certa ^^que légitime tribui potest , ac figuris absque nodis , ha*eque area , rite intellecta , semper valorem justum curvatura» iiiiegne exliibebit. Attamen ubcriorcm hujus argumenti de figuris généralissime <:oiu'cptis exposilionem ad aliam oecasioneni nobis reservan» debemus.

Invesligemus jani formulam ad rxprimnidam mensuram eurvatur?r pro quo\i.s punelo superfi(i<M curva?. Dénotante di aream elementi bujus superficiel, 7A(h erit an»a projcciionis hujus elenuniti in planum eoordinatarum r, > : etperinde, si dit est area elcnumli resjHmdcîiitis in superficie spb.Trica . erit Z^/2 area projectiouis ad id(îm jdaniim : signum }X)sitivum vel negativum ipsius Z vero îndicabit silum projcctionis sîmîlem vel oppositum sîtuî elementi projecti : manifeslo it.ique îlL'e projectiones candem rationem qiioad quantitatem , sîmidque eandeni r(?lalionein quoad situin, îiiter se tencnt, ut clemeiita ipsa. Consîderenms jam elementum iriangidare in superficie curva , supp:>namusqué coordinatas trium punctorum, quaî formant ipsius projecti oiiem , esse

X H- dx. y -h dy^