T -- ^ SI
» qui sont celles de Théliee ordinaire.
» L'hélice est doue la seule courbe dont les deux courbures sont ronsiantes. » On peut se proposer de trouver les courbes gauches dont 1 une des deux cour- »» bures seulement est constante. Mes formules donnent une srdution lrès-sim[>lr n de ces deux problèmes.
»» pROBLKME IlL Tromper les courbes dont le rayon de torsion -- n une
ffY:
» valeur constante r.
)i Les équations (5) et (6) donnent
(h dx dv dz
y^/'djj' -I- f/r^^ + ( j, dff — q dp ) ^y — 'h' r <h - - 7 'h'
» on a, de plus, par hypothèse, ds^rtlr,^ ou. à cause de l'équalion {k)\
)' iWni il suit L\uv
C^M fly . - /•
-dp
pdt] if dp
dz - : /•
i> i'.vs é(}ualioii$ i'ouriiisM'iit la solulioii du problème* proposé. On doit y consi- >» dorer p et q comnie des fonctions arbitraires d'une variable B\ on peut aussi »» piendrt^ pour variable indépendante lune des deux quantités p et //, ou )» même l'une des irciis <*oordonné<'s ,i', ) , -c.
•I Prenons 3. par exemple, pour variable indépendante « et posons
» ^^ désignant une fonction arbitraire: on déduit de là
»' Kii combinant ctîtte dernière avec la troisième des équations (aii), on obtient
H on peut ainsi t»xpii nuT p et </ en fonction de z , de la manière* suivante :
») et les d<*ux premières des équations (aS) donnent, sans peine.
,/.r ^ -ry-(3:y(3)4-2ry^'(z)~?.y-(3) ^^^ ^ 2^' (3) vV(}»'(3) — ^'(s) — I
»> pROBi.ÊME I\ . 'fr'oiwer les courbes dont Ir rayon de courbure — a Une
dt
valeur constante p.
»• (.)n obtiendra l(;s équations de la coiu'be cherchée , en remplaçant /• pai
» 0 — dans les équations ('iS), il \ienl ainsi
dx =.-. p \ 1 -^- /r ■■- q- r/r/,
[ //// ^ r/y - + \ p dfi - q dpY y
1 , dpd^Q — df/d'p , — j ,
[dp^- + df/' -h {p dfj — q dp -]' . dp d'il — dqd^ p . ; / i i
^/z -- p — -' V I -h /' -\- q (p fiq - - 7 ''//' ) .
'■ [ dp^ -f </'/' -i . p dq — q dp / ]*
» 0*s tk[uations fournissent la solution du problème* proposé, ou ronsidéianl *» Tune des quantités p ou q comme une fonrlîon arbitraire de Vautre; ell<*s » prennent une formi; plus simple , si , désignant par 9 la variable indépendante . » et par ç(6) une foîietion arbitraire, on pose
') il vient ainsi
p "■ ^' (0) eos 0 4- 9 (0) sin 9 .
q ". -p' (0) sin 0 — 'y (6) eos 0 j
r/.r — p ^ sin 0 dô ,
( 25 ) ( ^) ■■-- - p ^^ '- ^.-^' t - eos OrlO,
(i-hv'i
>^» Les exemples que j'ai développés sufilsent, sans qu'il soit nécessaire d\*ti- » Irer dans de plus grands détails, pour montrer l'avantage d'introduin^ en » (iëométrie le système de variables dont j'ai fait usagt». »
9. Dans tout ee qui précède, il n'a été question que de la courbure* ou de la torsion absoliu; des courbes, résultant de hîur écart plus ou moins rapide h Irnr tangente ou à leur plan oscillateur. En supposant les éléments mn^ ?ip^ etc.. d'une courbe mnp^ tous égaux entre eux et à l'unité <le longueur, on a une représentation géométrique simple de la valeur et (pour ainsi parler) de la direction de la courbure de //*/*/;, dans le voisinage du point m, en prolongeant /un d'une quantité nt = nui et tirant tp, La droite //;, écart naissant de la courbe
il sa laiigcnio , L-\priiiiti la roui-Lui'c deiiianclde. Mais il ne s'agit là (jiii; de la courbure absolue ; et on pourrait aussi considérer des i;ourbi déviations relalivc-s. Deux courbes ayant un élément tls commun, les deux> ineiiis i{ui suivent {h sur ces courbes respectives forment un angle inlinimi pelil f/y. t]uc nous iioinmeroiis l'angle deconliugcitcc ix'Iatif; et le rapport de r/i â i/.t uKrsureia la coiubiuv ou la <ié\'iation relative des deux courbes. Le rapport iiiierse sera la valeur de ce qu'on appellera, par analogie, le ciiHrbui-e ou de la déviation relative.
Considérons, pour tihcr les idées, nosden\ courbes comme composées d êlémenls tous égaux entre eux, et prenons pour unité la longueur commune ris de ces éléments. Soit innp l'une des deux courbes , dont tntt , iip, etc., sont les éléments sticecssifs; soîl mn/f l'autre courbe, aux éléments nin, nq, etc.; et lii-inis l'ij : cette droite pif mesurera la courbure ou déviation relative de la courbe miiq par rapport à mrt/i; cl nous dirons qu'elle la mesure en grandeur cl en direction . ce qui nous conduira à regarder comme égale et contraire à la i-iiurbiirt; de iniiq i-elativement à rnitp, la courbure de innp relativement à mnq, mesurée pai' la droite ç/j, éyalt; à pq, mais de direction opposée. Ou pouria nicinc établir entre les courbures relatives de plusieurs courbes qui se touchent en un point m des luis de composition analogues a celles des forces^ el aussi iiiti'uduii'c eu Mécanique la notion des /ôree.s ventrifuges n'iative^ , liées aux conrbuivs relatives comme la force centrifuge ordinaire Test à la courbiii-e absolue.
Kn y rélléebissant , le lecteur verra qu'on [H-ut tirer un grand parti de ces idées générales , sur lesquelles nous ne voulons pas insister ici. Bornons-nous à signaler parmi les combures relatives, celle d'une courbe tracée sur une surface, par rapport à la ligne géodésique tangente. J'ai proposé pour la désigner le nom expiessif de courbure géodésique, que M. Bonnet a bien voulu adopter dans tm Mémoire remarquable inséré au XXXll'' cahier du Journal (^ i Ecole J'olj technique.
