COS W

V^EG On a encore

i^in/ __ ds^ v/K.r//< sin^o) — /) __ tls^ __ y/G.r/o

sin w' ds fis siob) ~" ds ~~ ds '

I représentant Tangle que ds fait avec ds^. Il est inutile d*ajouter que Pangle de ds avec ds^ est o) — /.

Quand les deux systèmes (u) et (t^) soni orthogonaux, les formules se simplîGent : on a alors

cos « = o , d'où F = o ,

et, par suite,

rf.v* = E//tt'-hG//^%

puis

. . \Œ.f/u . v^ fi

sm 1 = — , — 9 cos 1 = — T—

tiS fis

conséqueniment

\/Ë'.du laiig / = 7^ . •

s'G.dv

Une simplification nouvelle aura lieu si Ton réduit à Tunité un des coeHicients E , G. Celte réduction sVfTectuo, du reste, sans que la formule pour rfs^ cesse de convenir à une surface quelconque. Supposons , en effet , que Tc^iuation u = constante soit celle des lignes géodésiques qu'on peut tracer sur la surface à partir d'un point O et dans toutes les directions possibles, ou bien encore celle des lignes géodésiques qu'on peut mener par les divers points d'une* courbe AB avec une direction initiale normale à cette courbe; admettons, en outre, que u désigne dans le premier cas la plus courte distance (sur la surface) de chaque point m au point O, et de même , dans le second cas , la plus courte distance de chaque point m à la courbe AB. M. Gauss prouve qu'on aura alors E==i, en sorte que la valeur de ds* deviendra simplement

Le Mémoire de M. (lauss contient des applications nombreuses de cette formule.