Il existe une autre transformation de la formule générale
ds^ = Edu' -h aFdudu H- Gdv\
en vertu de laquelle on peut supposer, pour une surface quelconque, le coeflîcient F réduit à zéro, et les deux autres coefficients égaux entre eux. En écrivant (X. |3 au lieu de w, ^', et désignant par X la valeur commune des deux coefficients, on a ainsi
Pour effectuer la réduction dont nous parlons, il faudrait, .il est vrai, sa\oir intégrer une certaine équation différentielle du premier ordre, ou, si l'on veut . trouver le facteur à l'aide duquel on rend son premier membre une différentielle exacte. Mais le seul fait de la possibilité d'une telle réduction est très-
remarquable, cl donne lieu à des conséquences intéressantes. On Tétablira couune il suit :
Le second membre de Téquation
ds^ = Edu' -i-2Fdndi^-^Gdi'\
qui est du second degré par rapport aux diflérentielles du^ di^, et qui , par sa nature même , doit rester ]> o tant que l'on n'a pas à la fois du = 0 vidv=o^ est le produit des deux expressions essentiellement imaginaires
du JË^~(F-h \/'Ë(7^T"* v^^)
et
rfa v/F: -f- '^ (F — v/Eïr= F V'=^) .
Soit a -h V ^ — 1 le facteur à Taide duquel la première de ces expressions devient une diilérentielle exacte (on aurait aisément ce facteur si Ton savait intégrer Téquation diflérentielle qu'on obtient en égalant l'expression citée à zéro) , et
désignons par /i (a -4-/3 y — 1) la ditïërentielle résultant de la multiplication
par ce facteur; la seconde expression , multipliée par yi — v V — 1, donnera de
même la diilérentielle d((x — . j3 ^ — 1). On aura donc, en multipliant les deux
di lièrent ici les,
(li'-hv')ds' = dcc'-i-d^',
d'où
ds' = 'k(doL'^d^^),
en faisant , pour abréger,
3. Les deux variables a, ^S constituent un genre remarquable de <'oor- (lonnées sur la surface. Le rectangle da d^ manquant dans l'expression ds^ = / (rfix* -4- ^/|S*), les équations
a = constante, j3 3= constante
représentent deux familles de courbes qui se coupent à aiigle droit, et chaque point ni de la surface est déterminé par la rencontre de deux de ces courbes. On voit aussi que les éléments r/,ç,, ds^ des deux courbes (^) et (a) sont exprimés par
dsx = v^ . da , ds^ = \// . r/jS.
llsuifitquele rectangle dxd^ manque dans l'expression r/5' = ). (r/a ' + ^'|5'),
pour que les courbes déterminées sur la surface par les paramètres a, |3 se coupent à angle droit. Mais l'égalité des coefficients de da* et d^* donne à ces deux systèmes de courbes orthogonales conjuguées un caractère tout particulier. En supposant les difierentielles da^ d^ constantes, on prouve aisément qu'ils divisent la surface en rectangles semblables, et même en carrés, si da = d^. Cette propriété les distingue de tous les autres. Je confonds avec eux , bien entendu, ceux qu'on en déduirait en remplaçant a par une fonction de a , et ]3 par une fonction de |3 , car les lignes (a), (]3) resteraient les mêmes.
Au reste , comme il y a une infinité de facteurs qui rendent le premier membre d'une équation une différentielle exacte , il y a aussi une infinité de systèmes de variables a , j3 qui donnent cfc* = X {dot • -4- éÎ/3 * ) . En effet , au lieu du facteur
/x -4- V V — I qui produit la différentielle rf(a -I-/3 ^ — i), on peut employer le
facteur ct (a -4- i3 V^ — i) ( jx -4- v v' — i) , qui produira la différentielle
En d'autres termes , si Ton pose
en prenant pour ck! la partie réelle, et pour jS' le coefficient de ^ — i dans le second membre, on aura encore ds^ == X'(^âe'' + i^jS"), ce quW peut aisément vérifier. T.a formule
fournit, au surplus, la solution la plus générale du problème proposé. On peut le démontrer comme il suit. Pour que les deux systèmes (a , |3), {«', j3') donnent
^« = X (rfa « -H /i^ *) = X' (rfa'* -^ J/3'*) ,
il faut et il suffit qu'on ait à la fois
et
doL dp dot. dp
La seconde équation exige que l'on ait
dp' ^ doL' __ doi' ^ dp'
'Tu ' ~d^ ~'~ Hp' ~dp
En faisant donc
dp' doi'
doL doL
on eu conclura
r/p w dp
et la première équation
doi
donne ensuite
d'oii
ou
//a' rfa' rfp'
77f = -^'*'rfr = ^rf7'
ce qui, à cause de l'équation
da' da' dp^ ''?'__ 'd7 Hf^ 17 'df'^ ^ ^
fournit encore
dp' ^ doL' dp "" "~ lâ^'
11 est aisé d'en conclure
dW^P'sl~l)^i—d[a^'-^^P'sl~i)
et , par conséquent ,
a'-K ^' y/HT = n (a ifc /3 v^^) -,
ce qu'il fallait démontrer.
4. Les formules précédentes seront d'une grande utilité dans la 4;héoric des lignes tracées sur une surface. Veut-on, par exemple, s'occuper des lignes géodésiques? M. Gauss a donné les équations qui les concernent dans le cas K; plus général de
iMais ces équations sont tr«s-compliquées. On les rend déjà plus maniables en supposant F = o , et en prenant
ds'=Edu'-^Gdi^\
Alors, I étant Tangle sous lequel cette ligne vient couper successivement les diverses courbçs représentées par l'équation u = constante, on trouve
,. I /dCr j dE j \ ai = — ==- \ -r- dv —au]'
2 i/ÊG V^ ^^ /
D'ailleurs , |)our cette ligne comme pour toute autre :
. . JE. du JO.th JE.dfi
sini=^ — : — j cosi = — - — > taiig/ = -V-^
ds ds "^ sJQ.dv
Mais on aura un résultat bien plus simple encore en employant notre dernière expression de ds*^ savoir
car, dans cette hypothèse, et en prenant pour i l'angle avec la courbe (a), il nous viendra
et
. . vX.^a >J\.d^ da
sini= — ; — , cos/ = — -— !-, tangi = -7Tds ds ^ dp
5. Je ne puis m'empècher, à Toccasion de ces formules , d^ajouter Texpressiou du rayon de courbure gèodésiquc d'une courbe quelconque. Soit i Fangle que cette courbe, au point m que nous considérons, fait avec la ligne (u) qui passe par ce point. Soient i -h dl ce que cet angle devient lorsque se transporte à Télément suivant sur la courbe et i + ^< ce qu'il deviendrait pour la ligne géodésique tangente à la courbe en m. Il est clair que di — die^x. l'angle de contingence géodésique, et, par suite, en nommant p le rayon de courbure
géodésique , on a
I Ji — ///
ft ds
Mais la valeur de ai est donnée par la théorie des lignes géodésiques, et nous venons de rappeler qu'en prenant
on a
Donc
i^__dl I (dû dv dEdu\
0 ~" ds 2 v^ËG W" ^^ ^♦^ ^* / Mais
du sin / dv eus /
ds y^E ^ v/G 11 s ensuit que
I di .1 f/G I ^/E . .
- = -r -i :=: -7- COS / =1 — - Sin I.
Si l'angle /est constant, c'est-à-dire si la courbe donnée coupe sous un même angle toutes les courbes (w) , il vient simplement
~ = — --' cos / 1:= —r- sin /.
? 7.G^ ^« 2EVG "^^
Par exemple, pour la courbe (n) elle-même, on a 1 = 0. Son rayon de courbure est donc
p^"^ :iG)fËdu'
Pour la courbe (i') , on aurait i = - •* et le rayon de courbure deviendrait
Il résulte de là , pour - ? en général, cette expression assez remarquable
I fît cos / sin /
p fis f, p,
6. Au reste, on pourrait aussi trouver directement la valeur de p , sans se servir de la ibéorie des lignes géodésiques, et tirer, au contraire , de cette valeur Téquation fondamentale de ces lignes en observant que pour les lignes géodésiques seules on a p = 00 . Un des moyens les plus simples qu'on puisse employer pour cela est de rattacher la valeur de la courbure géodésique à celle de
la courbure absolue. Soient rnn la courbe dont nous nous occupons, et m/i,
npy,,. ses éléments successifs que nous supposerons tous égaux entre eux et à l'unité de longueur. Prolongeons mn de nt = mn^ et tirons tp qui représentera, comme on Fa dit dans la Note I, la courbure absolue de mnp — Pour avoir la courbure géodésique , abaissons du point t une perpendiculaire tq sur la surface, et joignons d'abord «y, puis qp. La droite nt faisant avec la surface un angle infiniment petit, sa projection nq lui est sensiblement égale. Or nq est (on le sait, et cela est presque évident d'ailleurs) le second élément de la ligne géodésique mn,..,^ taFigente à mnp,..^ et osculatrice de la section normale faite dans la surface par le plan fnnq. Donc qp exprimera la courbure géodésique de mnp.,.^ comme tq la courbure absolue de la section normale mnq. Ainsi le triangle rectangle infinitésimal tqp^ par ses trois côtés tp^ tq, qp^ vous donne : 1" la courbure absolue de mnp...<i qui est aussi celle de la section oblique faite dans la surface par le plan mnp des deux premiers éléments^ 2° la courbure absolue de la section normale correspondante mnq *, 3^ la courbure géodésique
de uinp De là d'abord le théorème connu de Meusiiîer, puis une expression
du rayon p de courbure géodésique au moyen du rayon de courbure absolu R de mnp.... En désignant en effet par 0 l'angle tpr/^ qui n'est autre que Tangle du plan osculatcur de mnp,,, avec le plan tangent, vous aurez le rapport de tq à tp =sin 0, c'est-à-dire le théorème de Meusnier, puis
-^^ ou — = cos 0 , tp p
d'où
' (OS ô
7. Il est aisé de voir aussi que le rayon p de courbure géodésique de mnp... n'est autre chose que le rayon de courbure absolu d'une certaine courbe plane nin'p^..^ savoir de la courbe dans laquelle //in^... se transformerait si l'on appliquait sur un plan la surface développable formée par les intersections successives des plans tangents menés le long de mnp... à la surface sur laquelle cette courbe mnp... est situc*e. Ainsi
ds f
est à la fois la valeur de l'angle de contingence géodésique pour mnp... ., et la valeur de l'angle de contingence ordinaire pour ni n' p' L'inlégrale
qui (igure dans certains théorèmes de M. Honnel, s'exprime donc par l'angle des tangentes ou des normales extrêmes de la courbe plane m' n' p' ... ; et cette considération pourra servir à simplifier les énoncés auxquels nous faisons allusion, et à en augmenter encore l'élégance.
