RR, = R'R;=C

et supposons les fonctions y^ et f essentiellement variables. Cela étant, rien n'empêche de substituer à une des variables w, i^ la variable y, et d'exprimer ds* en y et i* par exemple. De même, on pourra exprimer ds'* en f et i^', c'est-à-dire en y et u' puisque f =f* Ainsi désormais il y aura une variable/

commune aux deux ^surfaces, et cette variable exprimera l'un et Tautre des produits égaux RB| , R^R', . L'introduction explicite de la variable /* n'est pas absolument indispensable dans la pratique, où la remplacerait un emploi convenable de l'équation f (li', ^') =f{u, f^) ; mais elle abrège beaucoup l'exposition de notre méthode.

Soit, d'après cela,

et

les fonctions L^ M', N' de y et i^' n'ayant, bien entendu, aucun rapport avec les fonctions L, M, N de/* et u. La variable /* étant la même départ et d'autre , il s'agit de savoir si l'on peut exprimer u* en y* et (^ de manière à vérifier, pour tontes les valeurs possibles dey, Uj dfei du ^ Féquation

A ce point de vue, il faut poser L'équation ds'^ == ds^ se décompose donc dans les trois suivantes :

Les deux dernières donnent

dv V N' et

df- N'P - N^^N ~^'

moyennant quoi la première devient

L'^aM'Q4-N'Q* = L,

ou

P et Q sont des fonctions connues dey, i^, u'. Mais pour qu'on puisse les admettre comme les deux dérivées partielles de (^, il faut qu'elles satisfassent

à la condition d'intégrabilité, qui, développée, donne

On n^aura pas besoin de recourir à Téquation (p) si Téquation ya) contient i^' : il suiBra de résoudre Téquation (or) , puis de voir si la valeur de ^ est telle qu'on ait

Mais si i^' disparait de Téquation (a) , qui dès lors ne pourra être vérifiée quVn devenant identique, on tirera ^'' de Féquation ((3) , et on verra si la valeur de v^' s'accorde avec les équations (y).

Lorsque les équations (y) sont ainsi satisfaites par une valeur de i^' tirée de l'équation (a), ou bien par une valeur de i'' tirée de Téquation ((i), Téquation (a) étant identique , on a ds' = ds\ les deux surfaces A , A' sont formées d'éléments égaux, et la correspondance entre leurs points (f^ i^) , (/, i^') est établie par la valeur de \^'. Ajoutons que si, par hasard, les deux équations (a) , (p) étaient vérifiées d'elles-mêmes, non-seulement on aurait encore ^f' = A, mais dans ce cas, la valeur de ^'', qu'il faudrait déduire, par l'intégration , de Téqua^ion

dv'z=Vdv-\-qdf,

contiendrait une constante arbitraire (ce qui n'avait pas lieu auparavant) , de sorte qu'il existerait alors une infinité de manières de faire correspondre entre eux les éléments d$ et ds\

8. On conçoit, à priori, que ce dernier cas est celui des surfaces de révolution-, et je vais prouver que quand il a lieu la valeur commune de ds et ds convient, en effet, à l'élément linéaire d'une telle surface.

Dans l'hypothèse que je veux discuter, Téquation (a) est identique, et les deux membres de cette équation, qui, en général, contiennent, Tun^^et i', l'autre y et i^', doivent se réduire k une même fonction dey' seulement. Soit donc

Il en résultera

A'=a(/)rf/'+(^./.'V^-f-^y:

d'où

en posant

o (/) dp = da\

et en désignant par ^K la valeur inverse du facteur qui rend

di^yj^

Udf

une différentielle exacte dx. La variable o; remplacera y, et r remplacera v. On trouvera de même

ds" = da'^YJdT'\

¥J étant une fonction de a et t', et Téquation d%'* = ds* se réduira en conséquence à celle-ci

Donc r' ne peut être qu'une fonction de r , et non de r et de 9, comme on devait le croire jusqu'à présent. Par suite, il faut que le rapport de K à K^ soit par lui-même indépendant de a, ou du moins le devienne en mettant pour r' sa valeur en t. Mais cette dernière supposition exigerait que Téquation

ne fût pas identique, et que r' fût une de ses racines; dès lors il y aurait entre r' et r , partant entre ds' eids^ une relation déterminée, sans constante arbitraire, contrairement à ce que nous admettons. Le rapport de K à K' doit donc se trouver de lui-même indépendant de a ; en d'autres termes , K et K' ne peuvent contenir a que dans un même facteur commun 9(^)9 et pour K , par exemple , on doit poser

di , de plus , on tait

b étant une constante à volonté, on aura donc

ds'=zd(j--\-b^rf{(j)dQ\

Or cette dernière équation convient évidemment à la surface de révolution pour laquelle a est l'arc du méridien, i* y (a) le carré de la distance d'un point quelconque de la surface à Taxe de révolution , et Q l'angle compris entre le plan méridien qui passe par ce point et un plan méridien fixe. Si r est le rayon du parallèle et z Tabscisse comptée sur l'axe de révolution , on aura

ainsi

r=iVf(7), z^jdayji — ^

Prenez la constante b assez petite , et la surface sera réelle. I.a proposition que nous avions en vue est donc démontrée. On trouve même, en attribuant à h ditTérentes valeurs, une infinité de surfaces de révolution auxquelles l'élément ds convient. Cela est tout simple et tient à ce que, si la formule ds*= da* -H r* dQ^ appartient aux éléments linéaires ds d'une surface de révolution, elle appartient aussi dès lors à ceux des surfaces toutes différentes pour lesquelles r' et 9' remplaçant r et 9 , on aurait r' = Ar et i6'= 0,

9. Occupons-nous actuellement du cas particulier où RRi est une constante , et pour distinguer le cas où la constante est positive de celui où elle est néga-

tive, soit

RR^ = ±:a^

Je dis que toutes les surfaces que cette équation peut représenter, pour une valeur donnée de a, sont formées des mêmes cléments ds qu'une sphère de rayon a , dans le cas du signe -4- , et qu'une certaine surface de révolution (celle qu'engendre la courbe aux tangentes de longueur .constante a , en tournant autour de son asymptote) dans le cas du signe — .

En effet , si l'on suppose la valeur ded^^ mise sous la forme

ds' = l(da'-^df:,'), on transformera , par la formule du n^ 4, notre équation dans celle-ci

qui , si Ton pose

a-hj3/— 7=ii, a — PV — I = ^'9 deviendra

. ^ di — - = o.

au au 2 a*

Tai trouvé, par des considérations dont je supprime le détail , que l'intégrale complète, avec deux fonctions arbitraires f{u) et ^ (v^), de cette équation aux différences partielles , est

<f' (u) désignant la dérivée de ip (h) , et (p' (f ) celle de <p{u).

Pour vérifier ce fait, je tire d'abord, en passant aux logarithmes ,

logX =Iog(4a')-f-log9'(a)-f-Iog((>'(»')H-f (u) 4-<p(f)

-.lo6[.±e'W-^AMJ^

d'où

du ~(f'(u)^^^'^ ^^gfW-^H") ' .

puis

dudv [i ±1 e^^'^^*^'^Y ^ I db c''f"^"^*^''>

par conséquent

et enfin

rfMogX^ X

dudi' nar

ce qu'il fallait démontrer.

La valeur de X conduit à celle de ds^. Mais d'abord rétablissons au lieu

de II et M leurs valeurs « -f- /3 ^ — i, a — j3 ^ — i ; y (u) et ^ (i^) deviendront

(p(a -f-/3 V — »)> ^'l* — jS V — I )> et devront naturellement être des imaginaires conjuguées pour que X soit réelle. Posons donc

En diflférentiant, puis multipliant membre i membre, nous en conclurons

Par suite , et à cause de ç (a) -H ^ (>') = îfcÇ , on a

Preii(»z le signe supérieur, et vous aurez une expression de ds'^ commune à toutes les surfaces pour lesquelles RR, = a* : prenez le signe inférieur, et vous aurez une expression de ds^ commune à toutes les surfaces pour lesquellivs RRi =: — a-. Donc toute surface contenue dans un de ces groupes est applicable sur une autre surface quelconque du même groupe.

Maintenant, pour trouver les surfaces les plus simples, afin d'y rapporter les autres, soit h une constante à volonté, et remplaçons t et ^ par deux variables nouvelles ô et r, qui soient telles que

11 nous viendra

, labc

i=be '

Js^^-^r^^,-de\

Or cette formule convient à rélément linéaire ds d'une surface de révolution , pour laquelle Q exprimerait la longitude et r le rayon du parallèle de chaque point. On trouve aisément Téquation de cette surface

où z est Tabscisse comptée sur Taxe de révolution. Cette même équation , bornée aux points d'un plan, est en coordonnées rectangles celle du méridien. Dans le cas des signes supérieurs, on peut faire i = i, et la surface devient, pour cette valeur de b , une sphère. Dans le cas des signes inférieurs , on peut faire A = o ; la courbe méridienne qui répond à cette hypothèse, et par conséquent à Téquation

est la trajectoire orthogonale de la série des cercles de rayon a , dont les centres sont sur Taxe des 2. En d*autres termes, c^est la courbe aux tangentes de longueur constante, comme le cercle , méridien de la sphère, est la ligne aux normales de longueur constante : son équation peut en effet s^ écrire

/•' -f- I --7- ) = tangente = a.

Cette courbe, bien connue des géomètres, jouit d'une foule de propriétés curieuses. File a évidemment l'axe des z pour asymptote. On peut appliquer sur la surface de révolution qu'elle engendre (en tournant autour de cet axe) toutes les surfaces pour lesquelles RR, = — a*, et sur la sphère toutes celles pour lesquelles RRi = a*.

10. Quoique ce qui précède, bien compris, me semble suffire, quelques lecteurs pourraient conserver des doutes sur la possibilité de réduire, dans tous les cas où RRi = — a', l'expression de ris* à la forme qui convient à la surface de révolution simple que nous venons d'indiquer, savoir à la forme

ou, si l'on veut, à celle-ci

qui résulte de la précédente en posant

En effet , on ne voit pas clairement quel sens peuvent offrir, quand on y fait

— 6oo —

b = Oy les formules dont nous nous sommes servis pour remplacer r par 6, et ^ par r. Voici une autre méthode de transformation qui lèvera toutes les difficultés. Ecrivez