D'abord , si l'on supposait / =: i , réquation
entrainerait l'égalité des droites correspondantes ds et ds' A^v\s les deux figures. Donc ces deux figures seraient égales ou symétriques. Donc, en les rapportant à deux systèmes convenables d'axes rectangulaires, on pourrait toujours supposer que
Donc aussi , en prenant des axes rectangulaires quelconques^ on devrait avoir, dans ce cas, pour valeurs générales de a', j3', y',
a'=aa-+- i/5-f- <^y -^ g'»
a^ a\, . . ^ étant des constantes liées entre elles par les équations de condition connues
a^ H a'' ^ a'/î =1^ ab -h a' b' -^ a"b" = o,
b^ ;-fc'-' ^b"' =-. I, bc^b'c' -{-b''c'' = o,
c' -hc" -hc"» :r=: I, ac -+- a' c' H- û'' c" = o.
Telle est la solution la plus générale de Téquation
^«'* 4- rf/5'* -+- dy" = l{doL' -h ^^» 4- dy') ,
dans le cas de /= i. Et si le coefficient/, sans être égal à Funitë, était une constante, il suffirait de multiplier, parla racine carrée de cette constante , les valeurs de ot\ j3', y' écrites plus haut.
J'observe, en passant , que ces valeurs de a', j3', y' qu'on vient d'obtenir par des considérations de géométrie, s'obtiendraient aisément aussi par l'analyse: mais la démonstration précédente me semble mériter, par sa simplicité, la préférence.
3. Maintenant, quelle que soit la fonction de a , jS , y qui puisse être prise pour valeur de /, je dis qu'une solution particulière de Féquation
da" H- r/(S'» -f- rf/« ^l[doi^^ d^^ 4- dy^)
conduit de suite à la solution la plus générale que cette équation puisse avoir pour la valeur de / dont il s'agit. Soient, en effet, ol"^ /3", y'' les valeurs parti-
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culières qui fournissent la solution donnée, en sorte que
11 faudra que
da'' -+- rf/3'* 4- dy'' = da"^ -h rf/3"* H- df\
jN'ous voilà ramenés au cas de /= i. Donc a', j3', y' s'exprimeront linéairement, en a", /3", y'', par les formules trouvées ci-dessus. Et remarquez bien que les figures m'm', ni\ . . . , fournies par la solution la plus générale a', |i', y' construite en géométrie sur des axes rectangulaires , et point par point , pour correspondre à la ligure mmi m, . . . que déterminent les cordonnées a , |3 , y , ne différeront réellement pas de celle ou de la symétrique de celle que fournissait la solution particulière donnée a", |3", y"\ car il n'y a, pour ainsi dire, qu'un simple changement de coordonnées dans le passage de a", j3", y" à ^'9 i^'i y' • L'équation
da" -h ///5'* -h dy"" = da'" -h ^jS'" -h dy"^
exprime précisément qu'on a de part et d'autre pour deux points homologues la même distance, et de là ne peuvent résulter, je l'ai déjà dit, que des corps égaux ou symétriques. '
Ainsi, à proprement parler, il ne peut y avoir, pour une valeur de /donnée, qu'une seule solution. Et si Ton parvenait à trouver la valeur de / la plus générale, et une solution propre à cette valeur, on pourrait dire que notre problème est complètement résolu.
4. Montrons d'abord comment le problème peut être résolu pour une certaine forme de valeurs de/, variables avec a, (5, y. Opérons pour cela sur la figure mm^nif . . . une transformation par rayons vecteurs réciproques; je veux dire menons d'un point fixe o, qui sera, par exemple, l'origine des coordonnées a, (3, y, un rayon vecteur à chaque point m de Tespace, puis portons sur ce rayon ou sur son prolongement (c'est un choix à faire une fois pour toutes) une longueur om' en raison inverse de om , en sorte que l'on ait
om = — 9
nm
k étant une constante. On formera ainsi une figure nouvelle dont les divers points m\ m, , m', , . .. correspondront chacun à chacun aux points ni^ m^^ m^^... de l'ancienne figure.
Maintenant, je disque les deux systèmes mr/i, r;i,... et m' m\ m^ ... satisfont à notre équation
da'' 4- rf/3" -f- //y" = / [da^ -h rf/3» 4- r/y« ),
en prenant pour a^ ^^ y les coordonnées de m, et pour a', j3', y' celles de nt\ la valeur de / étant d'ailleurs
En eflet on a , par notre construction ,
en comparant les points m et m'. II faut prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant gu'on porte om^ sur om ou sur le prolongement de om. De même, pour deux autres points correspondants m, et m',,
a = zh î b = "♦" 1 y = ^~
Donc , dans tous les cas ,
et , par conséquent, si m et //?! sont infiniment voisins,
c est-à-dire , comme nous Tavons avancé ,
rla^^ -f. d^" -h dy'' r= l (da' +d^'-hdy^),
avec la valeur
Est-il nécessaire d'ajouter que des deux figures évidemment symétriques auxquelles les points m' donnent lieu , suivant qu'on porte chaque rayon om' sur le rayon correspondant om ou sur son prolongement , c'est la seconde , celle pour laquelle on a
a'--. i^ fi' — ^P / ^7
qui seule est semblable à la figure mm^m^. .. dans ses éléments infiniment petits. Mais toutes deux donnent également
da'' -^d^"-h dy' = l (doc' -h ^j3« + dy' )
et
On peut déduire au reste, de ce qui précède, une valeur de / plus générale, et pour laquelle cependant on ait toujours
//a'' -I- ^/3'* -t- rfy" = / {doL" -h dÇ^ H- df ) :
on n'a pour cela qu'à remplacer a par a — A , i3 par j3 — B , y par y — C, A , B, C étant des constantes quelconques 5 ce qui répond, en géomélrie, à un simple changement de position du point o. Ainsi , en prenant
avec
on continuera à avoir
^ûr'' -h ^/3'' -f. dy' = l (da' -h d^' -h rf/).
Je dois faire observer que le cas où / est une simple constante peut i^tre regardé comme compris dans la formule que je viens d'écrire, en y donnant k kei A, ou à A, A , B et C des valeurs infinies telles que /r et A* -hB* -h C- conservent toutefois un rapport fini.
