Je ferai desornàais

/i = --» d'où l = —y

et je me propose de prouver que la valeur de h qui répond à la valeur de / cidessus, savoir :

est la plus générale qui puisse s'accorder avec l'équation

Comme a', /3', y' sont des fonctions de «, jS, y, il est permis^ réciproquement, de prendre a, jS, y comme fonctions de a', /S', y\ ce qui donnera, par exemple ,

et alors en identifiant les deux membres de notre équation , puis , se rappelant une transformation bien connue en géométrie analytique , on trouve sans peine les équations suivantes :

doL dp dct dp da dp

d7 'd^'^'df l^'^d^ 1^^ ^*

dp d*]/ dp d*! dp dy

7777'^dp^'dp'^'d^W^^^

dy doc. dy da dy dx

du' dtz' ' dp' dp* • dy' f/7' "" '

Or ces équations sont de même forme que celles que M. Lamé prend pourpoint de départ dans son Mémoire sur les coordonnées cwrvûignesy et qu'on trouve à la page 3i8 du tome V du Journal de Mathématiques, Les lettres p^ pt^ pti et x,j^, z, employées par M. Lamé, sont remplacées, pour nous, par a, jS, y, a', jS', y', et les trois quantités qu'il nomme A, A, , /ij par notre seule quantité h. Ainsi , pour nous, /i, = h^ =^ h, 11 suit de là que les valeurs inverses

que M. Lamé emploie aussi , sont de même, pour nous, toutes égales à y Cela

posé, les équations marquées (16 his) ^ que M. Lamé donne à la page 328, nous fournissent de suite

= ^y :nrzr = ^i "■ — r- = o.

dadp ^ dp dy ' dy dct

La première et la dernière de ces équations peuvent s'écrire ainsi :

dh dh

UT. , CLt.

— blîD —

et elles nous apprennent que -^ ne contient ni j3, ni y; la valeur de h ne peut donc être que de la forme

u étant une fonction de jS et y seulement. Mais l'équation

fipdy eipdy

montre ensuite que -r^ doit être une fonction de fj seule. Donc u est de la forme ? (/S) H- '| (7), et, par suite,

D'un autre côté, les équations marquées (17), et données par M. l.amé à la page 329, peuvent, pour nous, s'écrire ainsi :

d' ]oçih dp'

d']oç^/i r/'IogA (dloç^hy

doL^ ~~ \ dy I

r/a' dy' \ ^/p

d-\o^/i r/-log//

log h /d\oghV dp' ~ \ doi )

De la dernière, on déduit sans peine que

équation où /' (a) , ©' (j3) , (p" (3) , . . . . représentent des fonctions dérivées. Le second membre ne contient pas a. Donc le premier aussi doit être indépendant de a. Les deux autres équations nous montreraient de même que ce premier membre ne peut contenir non plus ni |3, ni y; car elles nous le donneraient égal à f" (a) -+- ^p" (y) et à y' (a) -h y" (/5). Donc ce premier membre doit se réduire à une simple constante. De là , réciproquement, il faut conclure que

9"((3) + f' (./), /"(«)-Hf' (7), /"(«)-H?"{/3),

sont aussi des constantes , et même des constantes égales entre elles ^ il en est donc de même def" (a), O)'' (j3), ^^ (y) , puisque l'on a , par exemple ^

/"{«) = î[/"(«)+f (7)J-H^[/"(«)-t-?"(/2)]-^r?"(^)-H4'"(7)]- En désignant par k une constante, on peut poser, dès lors,

d'où Tou conclut , en intégrant ,

A, B, C, G, G', G'' étant des constantes. IVIais, en mettant pour/ (a), 9(l5), ']/ (y) ces valeurs dans

cette quantité devient