rr- -h -TXTî
donc
dy"" do" dtxd^ r/p»
rf'z ^dH , , d^z
€Uc^ dy^ ^ ddd^
Par suite, l'équation (A) se réduit à
doid^
dz d'où l'on conclut que — est une fonction de p seule, et enfin que z est de la
forme
c'est-à-dire que
z = * ( j -h ax) -f- ^ (j — ax) ,
les fonctions ^ et ^ étant quelconques.
3. Rien de plus simple que ce procédé. 11 me semble pourtant que la méthode donnée dès l'origine par d'Alembert lui-même est tout aussi facile, et en môme temps plus directe et plus élégante encore. L'illustre géomètre écrit Téquation (A) sous la forme
d. — d,a^ — dx dy
dx dy
et observe qu'elle exprime alors la condition pour que — dy -^ a^ :7~^'*^ soit la diflerentielle exacte d'une fonction de x et y. Cela étant, il pose
Mais on a déj/i
—- //> H- a} -r dx := du, dx • dy
dz
-j- dx -h -— dy rrr dz, dx dy "
Il est aisé d'en conclure que
d'où il sui t que — -I- « -^ et // -f- «2 ne peuvent être que des fonctions de j^ -|- ax. Et comme on obtient aussi
on voit semblablement que -; « -r- et m — az sont des fonctions de r — clx^
On a donc à la fois
u — az^^{y — ax)'^
donc
2 az = 9 ( r -I- rtx) — "^ [y — ax) ,
c'est-à-dire
- == 4> (j -i- «x) -h y (/ — ax)
comme ci-dessus.
D'Alembert, comme on voit, s'appuie sur la condition d'intégrabilité d'une différentielle à deux variables
M dir -f- N dy.
Il profite, pour intégrer l'équation (A) , de ce que celte équation peut s'écrire sous la forme
dy dx
— ôao —
Une considération du même genre, employée toutefois d'une manière diilérente, m'a conduit à démontrer quelques théorèmes concernant certaines équations très-générales qui peuvent aussi se mettre sous la forme
djr dx
Ces théorèmes, qu'on pourrait aisément généraliser encore, feront Tobjet de la présente Note. Us ont pour résultat d'établir entre deux équations ou deux groupes d'équations aux diil'érences partielles une correspondance telle , que si l'intégration est effectuée d'un côté, on pourra l'effectuer immédiatement de l'autre côté.
4. Dans tout ce qui va suivre , x et j^ représentei*ont les variables indépendantes dont les autres quantités seront des fonctions. Considérons d'abord l'équation
. V a,cz dx
c elk désignant des fonctions données quelconques de x, y^ et z la fonction qui doit vérifier l'équation.
L'équation (i) indique que
^ czdx-hk-T-dy
dx ^
est une différentielle exacte. Soit donc
Il en résultera
d'où
et, par conséquent,
(i his)
cz dx -\-k~dy =z du.
du , dz du cz = -r-^ A— = — , dx dx dy
I du dz I du c dx dx A dr
i du \c dx)
X dy dx
Les équations (i) et (i bis) sont donc tellement liées entre rlles, que si
grale de l'une est donnée, l'intégrale de Taiitre s'en déduira îmnuklialement Connaissant z, on aura n parla formule
// = j lez dx -f- A y dy \
et connaissant u^ on prendia
I (lu
Si c est une fonction de x seulement, l'équation (i) pourra sVcriic
dz
az d.r
dy d.r
Elle aura ainsi la forme de Téquation du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène dont le rayonnement extérieur est nul, c exprimant la capacité pour la chaleur, et k la conductibilité. L'équation conjuguée
I du \c dx]
/• dy dx
a d'elle-même une forme semblable; mais la capacité spécifique y est exprimée par 7» et la conductibilité par -• Voilà donc deux barres de nature diverse qui
ont entre elles une liaison remarquable, et qui sont telles, que les lois du mouvement de la chaleur ne peuvent être connues pour 1 une sans être à Tinstant connues pour l'autre.
