Soit encore Téquation
f dz 11^^ a,c—- fi.k-r-
en vertu de laquelle
dz j , dz ,
c -T- dx -i- k -r-rty
dy dx '
est une différentielle exacte du. 11 nous viendra, dans ce cas,
dz du y dz du
dy dx dr dy
don
et , par conséquent ,
(ihis)
dz 1 du
dz I du
dy c dx
dx k dr
, ï du
j I du c dx
dy dr
Les équations (4) et (4^'-^) sont de même forme; seulement, en passant de l'une à l'autre, on change c en y et A en -• Quant aux intégrales, elles se
fi c m
déduisent Tune de l'autre, puisque Ton a
et
C l \ du . 1 du j \
8. Lorsqu'on y fait c = — À-, les équations (4) et (4 bis) deviennent respectivement
j , dz , , dz
/ D \ dx dy
et
j i du ^ i du
(C) Adi ^'Jd}
dx ' dy
Celte forme est celle de Fëquation d^équilibre de la chaleur dans un corps hétérogène, en se bornant au cas de deux dimensions, c'est-à-dire on supposant la température indépendante de la troisième coordonnée.
J'ai indiqué ailleurs un cas assez étendu dans lequel Féquatiou (B) s^intègre; c'est celui où l'on a
dK)l'k d\\fii
En développant, en effet, les dilTérentiations indiquées dans Téquation (B), puis divisant le résultat par v^Â^, et y ajoutant la quantité niille
z on trouve aisément
\ dx^ "^ dy^ )
dx^ '^ dy^ ""■ ^ ' d'où
z V^ = © ( jr -h j V^ ) 4- ^P ( X — j v' — I ) . Dans la même hypothèse de
d\)fk d\sfi ^
• dx^ ^"fip" '^"'
Tintégration (C) s'intégrera donc aussi. En d'autres termes, Téquation
^ ' dx dy
s'inlègn* encore si, au lieu d'avoir
d\^ d\\pi
dx^ dy^
on a
dx^ dy^
¥ai ell'et, dans celte dernière hypothèse, l'équation (C) s'intègre d'abord et donne , d'après ce qui précède ,
-= = (f{x -h y si'— i) -H (j;(.r — j V— Oî
on a ensuite
r I \ du , i du j \
en vertu de la formule qui termine le n" 7, formule où j'ai eu soin de faire c ^ — k,
9. Je vais considérer maintenant une équation dont Tordre sera supérieur au secopd , celle-ci par exemple ,
dy dx
Diaprés cette équation, je puis poser
c - — ax -\- k -— ay =^ au:
de là résulte
d'oî
ou
et, par conséquent
(5èi>)
dx*^ dy'
d"z du 1 d"z du dx** dx f/^" dy
d"z i du d'^z 1 du dx" c dx dy" /• dy
J i du j^ i du
' C dx ' k dy
dy ilxf
Les équations (5) et (5 A/J) s'intègrent ensemble. Connaissant z, on a de suite
i£ i:^ \ \c -T—" dx -\- k -r- dy \ ; J \ dx'* dy'' - /
connaissant au contraire i/, on a d'abord
d'*z i du d'^z I du
dx"* c dx dr'* / dy
ce qui fait connaître les deux dérivées partielles du n''''"^ ordre,
d'^z d^z dx" dy"*
d'^z En intégrant n fois par rapport à x la valeur de —^j ou aura z ^ maïs Tin-
eue
tégration par rapport à x introduira des constantes ou plutôt des fonctipns arbitraires de y^ qu'on déterminera ou qu*on réduira à leurs vraies valeurs en différentiant n fois par rapport à y l'intégrale z , et comparant le résultat de la
d'^z différentiation à l'expression déjà connue de ^-j^.
