HM]' ^-[-Ê

on pourra écrire

[d-x 1 6',] = Bdu' + ^B'dudç + D"di>-. (Ii;

On reconnaît aisément que le premier membre représente la

4o DE LA THEORIE DES SURFACES

composante normale du vecteur cl^x, et que les vecteurs D,D',D", correspondent aux composantes normales des vecteurs

L'expression (II) conserve la même forme si les variables u et ç, au lieu d'être indépendantes, sont fonctions d'un même paramètre s ; en effet dans ce cas les coefficients

r èx \ '] r <^-^' I 1

des termes en d^u et d^i^ sont nuls en vertu de l'orthogonalité du

ox ^x vecteur e., par rapport aux directions ^— , -— . On peut donc * on Oif ^

écrire

Ddir--h2D'dudç-{-D"dv''

Le second membre de l'équation (II) porte le nom de forme fondamentale du second ordre. L'étude des formes (I) et (II) est d'une importance considérable dans la théorie des surfaces. On montre que les coefficients E,F, G,D,D',D", ne sont pas indépendants les uns des autres, mais qu'ils sont liés par des équations établies par Gauss et Codazzi(^).

Nous nous bornons à rappeler ici le résultat remarquable établi par Gauss d'après lequel l'expression DD" — D'- peut être exprimée exclusivement en fonctions de EjFjG et de leurs dérivées.

18. — Les différentes expressions de D,D',D". — Les conditions de perpendicularité

dérivées successivement par rapport à u et ii i^ donnent L ÔP r' J ~ ~~ L Ô7< I dn \ ' L ài^> r'" J "" "~ L d^ I ô^ J

(') Gonsiiller Darboux, Théorie générale des surfaces, t. III, p. 242 et suivantes.

RELATIONS FONDAMENTALES 4i

d'où l'on déduit

[d.r I de^ "1 f ^-^ 1 ^^v "| ô^ I ôa J L ^" I ^^ J'

On a donc pour les quantités fondamentales du second ordre les expressions suivantes :

\ L ^" Il L 0" I ou \

~lop^ f"J"~ Loi' I ùp J'

ou, si l'on introduit le vecteur normal «,

v/«^ L ô//- I J \/'J^i \ du- du Oc J'

f j^„ I r d-x 11 I r d\r d.r dx ~l

\/nl L àv' I J v'^ L Oc' 0« 0(^ J ■