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CIIAPITRR III

§ 1. — Théorème de Meusnier.

20. — Nous allons étudier la courbure des courbes tracées sur une surface et passant par l'un de ses points M. Soit

l'équation de la surface et (C) l'une de ces courbes. Celle-ci est définie si l'on donne u et v en fonction d'une variable indépendante, que nous supposerons pour plus de simplicité être l'arc s de la courbe.

On a, pour le vecteur tangentiel de la courbe en M,

dx

Oj; du ^x d^

ds

du ds dif ds

Désignons par 9 l'angle que fait la direction e-^ de la normale principale à la courbe avec la direction e., de la normale à la surface ; on a

cos 8 = [e-^ I e^].

Si l'on représente par p le rayon de courbure de (C), on a d'après la première formule de Frenet (n° y),

de a ex d^.v ^= e^

ds p ds^ p

Multiplions les deux membres de la dernière égalité par |e^, ce qui donne

et tenons compte de la relation (voir n° i^) (II')

â-^:LV>'dudv-^\)"ds>^

ds^ nous obtenons ainsi la formule fondamentale

cosO ^dH^^:iY)'diidi'^\)"d^^

E dir' + 2 F diidç -f- G dv'

On constate d'abord, qu'en un point d'une surface, une courbe quelconque passant par ce point a môme rayon de courbure que la section plane déterminée par le plan osculateur à la courbe.

La formule (I) conduit immédiatement au théorème de Meusnier, d'après lequel on peut ramener la recherche de la courbure des courbes passant par un point à celle des sections normales passant par ce point.

Envisageons donc la section contenant la normale à la surface et la tangente à la courbe considérée ; c'est ce que l'on appelle la section normale.

La courbure ry de la courbe ainsi déterminée s'obtient en

posant cosB = ±:i, d'où il résulte la relation

cos 9 ±: I

= 15~ j *^u bien p=zt:K cos (J.

On voit ainsi que le rayon de courbure d'une section oblique est la projection sur le plan de cette section du rayon de courbure de la section normale ayant môme tangente ; c'est là le thèovcnie de Meusnier.

21. — Signe de la courbure. — Nous sommes ainsi conduits h introduire un signe pour la courbure. Nous conviendrons qu'en un point donné la courbure d'une section normale est positive si les vecteurs e-,, (normale principale) et e., (normale à la surface) sont dirigés dans le même sens (') ; dans le cas contraire la courbure sera négative.

(') La direction de Cv, ou, ce qui revient au même, celle de h = -— — est

I L Ô" Ô^' J déterminée d'après la convention adoptée au n" iv [Iniroduciion).