COURBURE DES SECTIONS PRINCIPALES

La courbure - d'une section normale :v = f(s) est donnée par

et, puisque par convention on a

l'expression

représente la courbure en grandeur et en signe.

§ 2. — Courbure des sections principales.

22. — Sections principales. — On se trouve ainsi ramené à l'étude de la variation du rayon de courbure d'une section normale dont le plan tourne autour de la normale au point considéré.

Déterminons les sections qui correspondent au maximum et au minimum de la courbure ; elles portent le nom de sections principales.

Pour une section normale on a

I r de^ \ ~] I r ,/ I T

- = I ^- e, I ou - = \.v" \e-'\.

Mais en dérivant l'équation [a;'\e.,] = o on a [:r"\e.,]-{-[:v'\el]^o; l'expression de la courbure devient donc

^=-[^'\ei]. (II)

Posons, avec M. Grassmann [Programme, p. ;^3), que la variation de la courbure est nulle,

0 [x' I e,; J = o ou [ox' j ei\ + [x | oei] = o.

46 DE LA COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE Si l'on remarque que pour toute rotation autour de e, on a oe., = o et par conséquent oe,' =o, on aura simplement l'équation

[o.r' I K] = o. (III)

Pour obtenir ox' il suffit de considérer les relations

.x''!=. [.r'|e,] = o; elles donnent

[,r' I o.r'j ^= o [:f' | Of,] + \o.v' | e.,] =: o et, puisque oe.,= o, la dernière équation se réduit à

On reconnaît donc que S^' doit être perpendiculaire à la fois à o:' et à e, ou, ce qui revient au même, parallèle au vecteur

Soit / la longueur du vecteur ox', on aura par conséquent

ox' = l\[x'c.,].

L'équation de condition (III) devient alors

[a,-'e.^eJ] = o. (IV)

L'interprétation géométrique de ce résultat est immédiate. En efFet, on peut écrire

[dx e,, [e., -\- ^e,,)] = o,

ce qui veut dire que, pour une section principale, la normale e,, en un point x d'une surface et la normale e.,-\-de,, en un point infiniment voisin X -\- dx se trouvent dans un même plan avec l'élément dx.

Si, de plus, on remarque que les vecteurs e'^ et x' sont tous deux perpendiculaires à e.,, il est évident, d'après ce qui précède, qu'ils doivent être parallèles ; l'équation (IV) se réduit donc à la suivante